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Revista de la Unión Matemática Argentina
versión impresa ISSN 0041-6932versión On-line ISSN 1669-9637
Rev. Unión Mat. Argent. v.47 n.2 Bahía Blanca jul./dic. 2006
Hipervariedades mínimas algebraicas en Sn
Oscar Mario Perdomo and Héber Mesa P.
Abstract: En este artículo se discutirá la existencia de hipervariedades compactas mínimas en la esfera -dimensional
que se pueden escribir como la hipersuperficie de nivel de un polinomio homogéneo de grado
. Es decir estamos interesados en hipervariedades mínimas de la forma
para algún polinomio homogéneo irreducible
.
Sea una variedad
dimensional compacta y sin frontera, orientable, y
una inmersión. Para todo
existe una vecindad
que contiene a
tal que
es difeomorfa a
. Identificaremos
con
,
con
y cada vector
con
. Denotaremos por
una aplicación de Gauss sobre
, es decir,
satisface que
,
y
para todo
. Así, para todo
se tiene que
. Es posible demostrar que para esta aplicación se tiene que
para todo vector
. Definimos el operador de forma
como
. No es difícil demostrar que
es una aplicación lineal autoadjunta, esto es
para todo par de vectores
; esto garantiza la existencia de
vectores
ortogonales y
números reales
tales que
para
. Estos valores propios de
son conocidos como curvaturas principales de
en
. La curvatura media
se define en cada punto como el promedio de las curvaturas principales, esto es
.
es llamada mínima si la curvatura media es idénticamente cero y es llamada totalmente geodésica si las curvaturas principales en cada punto de
son cero. Diremos que una hipervariedad
en
es algebraica si existe un polinomio homogéneo irreducible
tal que
. Si el grado de
es
diremos que
es algebraica de grado
. En el caso en que
para todo
podemos definir una aplicación de Gauss
en cada punto
como
, y ya que
es la preimagen de un valor regular de una función diferenciable, entonces
se encuentra encajada en
.
A la hora de buscar ejemplos de hipervariedades en que sean mínimas y algebraicas podemos ver el problema desde dos perspectivas diferentes, considerar el conjunto de polinomios homogéneos y determinar cuáles de ellos reproducen variedades mínimas, o determinar cuáles de los ejemplos conocidos de variedades mínimas en
pueden ser modelados por algún polinomio homogéneo.
A continuación mostraremos algunos ejemplos conocidos de hipervariedades mínimas que se pueden escribir como la preimagen de cero de algún polinomio homogéneo irreducible.
1.1. Ecuadores. Uno de los ejemplos más sencillos son los ecuadores, los cuales son de la forma donde
. En este caso la aplicación de Gauss se puede definir por
, dado que
es constante, entonces
es idénticamente cero, igualmente el operador de forma. Claramente las curvaturas principales son cero en cada punto, y así,
es totalmente geodésica y por tanto mínima. Si consideramos el polinomio homogéneo
definido por
, entonces
, lo que nos indica que
es algebraica. Esto prueba que los ecuadores son algebraicos de grado 1. Recíprocamente es fácil verificar que si
, donde
es un polinomio homogéneo de grado 1, entonces
es un ecuador. Luego estos son los únicos ejemplos de hipervariedades mínimas algebraicas de grado 1.
1.2. Variedades de Clifford. Sean enteros tales que
con
, definimos
. No es difícil ver que
, donde
es la esfera
-dimensional en
con centro en el origen y radio
. Se puede demostrar que las curvaturas principales son constantes y están dadas por
y
. Fácilmente se comprueba que
es mínima. Diremos que una hipervariedad
es Clifford si se puede obtener por un movimiento rígido de
. Note que
también es algebraica pues
, donde
es el polinomio homogéneo
.
En el caso en que tenemos la superficie mínima algebraica
en
; esta superficie es llamada toro de Clifford y va a ser de gran importancia ya que aparece en otras familias de superficies mínimas algebraicas en
.
1.3. Variedades isoparamétricas. Una hipervariedad es llamada isoparamétrica si sus curvaturas principales son constantes, es decir, no dependen del punto en la variedad donde se determinan. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, los ecuadores y las hipervariedades de Clifford son ejemplos de hipervariedades isoparamétricas en . Un teorema importante en el estudio de estas hipervariedades afirma que solo existen como máximo dos posibilidades para las multiplicidades de las curvaturas principales, las cuales se denotan
y
[7]. En 1980 Munzner demostró que toda hipervariedad isoparamétrica con
curvaturas principales distintas es algebraica de grado
. Más aún, él probó que un polinomio homogéneo
de grado
determina una hipervariedad isoparamétrica, si y solo si
satisface las siguientes ecuaciones
| (1) |
Un año más tarde, Munzner determinó los posibles valores de para los cuales existen hipervariedades isoparamétricas, específicamente demostró que el grado de un polinomio que es solución de (1) solo puede ser
ó
.
Todo polinomio homogéneo solución de
tiene la propiedad de que para todo
la hipervariedad
es suave e isoparamétrica, además la curvatura media de
varía de forma monótona entre
y
cuando
varía entre
y
; luego existe un
tal que la curvatura media de
es cero, es decir
es mínima. Se sabe que para
estas hipervariedades mínimas e isoparamétricas están caracterizadas: para
son los ecuadores y para
las variedades de Clifford; para
hay algunos ejemplos pero no se han caracterizado.
1.4. Ejemplos no encajados. En [1] Lawson demuestra que para el polinomio homogéneo se tiene que
es mínima, donde
y
. Note que estos ejemplos muestran la existencia de superficies mínimas algebraicas de cualquier grado en
. Para el caso en que
y
se tiene que
determina el toro de Clifford; se puede verificar que este es el único ejemplo de esta familia que está encajado.
Ejemplos de hipervariedades mínimas en son escasos. En 1970, Lawson construyó una gran familia de superficies mínimas y compactas en
, [1]. Estos ejemplos mostraron que toda superficie compacta, excepto el espacio proyectivo, se puede inmersar en
de manera mínima. Más aún, toda superficie compacta y orientable se puede encajar en
. Lawson dividió esta gran familia de superficies en varias subfamilias. En esta sección describiremos una de estas familias y abordaremos la pregunta sobre si estas superficies son o no algebraicas.
2.1. Superficies . Consideremos las circunferencias
y
. Para cada par de enteros no negativos
y
tomemos puntos
y
tales que la distancia en
entre
y
sea
y la distancia en
entre
y
sea
. Construyamos el polígono
tal que sus lados sean segmentos de geodésica y dos vértices son unidos a través del segmento de geodésica más corto entre ellos. Denotaremos a este polígono geodésico
. Consideraremos
la superficie en
solución al problema de Plateau asociada a esta curva cerrada, entonces
es mínima y
. La geodésica que pasa por
y
la notaremos
, la que pasa por
y
la notaremos
, y análogamente denotamos
y
. Note que toda geodésica en
, cuando es vista como un subconjunto de
, está contenida en un plano 2 dimensional que pasa por el origen. Es fácil verificar que
,
,
y
. A cada geodésica
asociaremos una isometría
que consiste en una reflexión sobre el plano donde la geodésica
se encuentra. La primera simetría
se determina como sigue
; las demás se definen de manera análoga. Denotaremos
el grupo generado por las simetrías asociadas a cada geodésica, esto es
. Sea
; se demuestra que esta es una superficie mínima, orientable, compacta y sin frontera de género
. Acerca de la algebraicidad de estas superficies, se tiene que
es el toro de Clifford y por tanto una superficie algebraica. Lawson en [1] conjetura que
no es algebraica, la conjetura aún sigue abierta. Nosotros demostramos que si
es algebraica, entonces su grado debe ser impar mayor o igual a
.
Figura 1: Región fundamental
Para cada polinomio de grado
definimos
. Note que
es un polinomio homogéneo de grado
. Es conocido que si
es algebraica y mínima, entonces el polinomio irreducible
que determina a
satisface que
se anula en
, [1]. Polinomios que satisfacen esta propiedad serán llamados polinomios que satisfacen la condición de minimalidad. En general no es cierto que todo polinomio que satisface la condición de minimalidad determina una hipersuperficie mínima. Por ejemplo, el polinomio
definido por
satisface la condición de minimalidad, pero el conjunto
no es la imagen de una inmersión ya que
tiene una singularidad en
.
Note que el problema de hallar estos polinomios no es algebraico ni de ecuaciones diferenciales parciales, por que se requiere que se anule en el conjunto
donde
es desconocido.
En el caso en que divida a
, es decir, si
, claramente se tiene que
satisface la condición de minimalidad, pero no sabemos si es cierto que si esta condición se cumple entonces
deba ser un múltiplo de
. Observamos que si en lugar de estar trabajando con polinomios sobre los reales, estuviésemos trabajando con polinomios sobre los complejos, entonces el teorema de los ceros de Hilbert garantizaría que el polinomio
debería dividir al polinomio
. Es decir, si se tuviese un teorema de los ceros de Hilbert para polinomios sobre los reales, entonces, el problema de hallar hipervariedades mínimas en
sería un problema algebraico, un problema que se reduce a resolver un sistema de ecuaciones. Algunos ejemplos sencillos de polinomios
y
de variable real, donde
se anula en todos los puntos donde se anula
, pero
no es un múltiplo de
, ocurren porque
tiene "pocos ceros reales" en el sentido de que el conjunto
está contenido en una variedad de dimensión menor que
y no determina una subvariedad
-dimensional, como ocurre en general.
Por esta razón esperamos que si exigimos al polinomio anularse en una variedad
-dimensional entonces se tenga una versión del teorema de los ceros de Hilbert en
. Propondremos la siguiente conjetura:
Conjetura: Si es un polinomio homogéneo tal que
es una hipervariedad mínima, entonces
.
En el caso en que el grado de sea uno o dos, dado que se conocen las hipervariedades mínimas en cada caso, se puede demostrar que la conjetura es cierta. Más aún, los polinomios que determinan hipervariedades isoparamétricas de grado 3 satisfacen la conjetura. Esto se demuestra usando la ecuación (1) de la sección 1.3 y el hecho de que en este caso
, [7].
Si la conjetura fuese probada, el problema de determinar hipervariedades mínimas en se convertiría en un problema algebraico. Si denotamos por
al espacio de polinomios homogéneos de grado
en
, podemos considerar la función
definida por
, y entonces estaríamos interesados en encontrar los ceros
de este operador con
irreducible, ya que éstos determinarían los posibles ejemplos de hipervariedades mínimas algebraicas.
4. Resultados e ideas de la demostración
En esta sección se discutirán algunos resultados parciales obtenidos. Como se puede apreciar después de pensar un poco en el problema de encontrar polinomios que satisfacen la condición de minimalidad, la dificultad de este problema aumenta a medida que el grado del polinomio y la dimensión de la esfera aumentan. El primer caso interesante es el caso de los polinomios de grado 3 en , es decir, superficies algebraicas en
. Este caso lo resolvimos completamente, y demostramos que no existen superficies algebraicas de grado 3 que estén encajadas; luego demostramos que la únicas que están inmersas son los ejemplos de Lawson de grado 3 discutidos en la sección 1.4. Desde el punto de vista algebraico se ha demostrado que los únicos polinomios irreducibles en el espacio 20 dimensional de polinomios homogéneos de grado 3 en
que satisfacen la condición de minimalidad son los obtenidos por el polinomio
, donde
y
, salvo un cambio ortogonal de coordenadas. El siguiente caso en orden de dificultad es el de polinomios de grado 4 en
. La dificultad en este caso aumenta considerablemente ya que la dimensión del espacio de polinomios homogéneos en
cambia de 20 a 35 cuando el grado de los polinomios cambia de 3 a 4. En general, la dimensión del espacio
es
. Nosotros consideramos el caso de los polinomios de grado 4 en
y demostramos que ninguno de estos polinomios determinaba una de las superficies
, es decir, demostramos que ninguna superficie de esta familia de ejemplos de Lawson es analítica de grado 4.
Una observación importante en este estudio de hipervariedades algebraicas es que todas ellas tienen simetría antipodal, esto se debe a que si entonces
. Concentrándonos por un momento en superficies algebraicas regulares
en
, es decir, superficies tales que
para todo
, podemos notar que
es una superficie encajada en
y por lo tanto orientable. Si identificamos cada punto con su antipodal en
obtenemos una superficie
compacta y encajada en
, donde para cada
se tiene que
. Acerca de superficies encajadas en
se tiene el siguiente teorema.
Teorema 1 [6]. Sea una superficie no orientable y compacta.
se puede encajar en
si y sólo si la característica de Euler de
es impar.
Resolvamos ahora la pregunta ¿cuándo la superficie es orientable? Note que
, donde identificamos cada vector
con
y
representa la operación unión disjunta de conjuntos. Dado que
es orientable, entonces
es orientable si y sólo si existe un campo vectorial normal
. Si el grado del polinomio
que determina a
es par, entonces
es impar y
está bien definido y por tanto
es orientable. Análogamente si el grado de
es impar, entonces
no es orientable. Note que usando el teorema anterior y el hecho de que la característica de Euler de toda superficie compacta sin frontera y orientable es par, se demuestra que la característica de Euler de
es impar si y sólo si el grado de
es impar.
A continuación enunciaremos los resultados obtenidos por los autores en esta línea. Aunque no presentaremos las demostraciones correspondientes, daremos algunos puntos claves de su desarrollo.
Teniendo en cuenta que , entonces del Teorema 1 y las observaciones hechas acerca de la orientabilidad de
, deducimos información sobre la superficie
en términos de su característica de Euler según la paridad del grado del polinomio homogéneo
que la determina.
Resultado 1 [3]. Sea una superficie algebraica regular.
es de grado par si y sólo si la característica de Euler de
es par.
La demostración se obtiene directamente del Teorema 1 y de las observaciones hechas arriba.
Resultado 2 [4]. No existen superficies mínimas algebraicas encajadas de grado tres en .
La demostración de este resultado consiste en considerar un polinomio general de grado 3 en
y suponer que este satisface la condición de minimalidad. Luego, sin pérdida de generalidad, se hacen algunas consideraciones sobre el polinomio, correspondientes al hecho de suponer que el punto
es un punto de la variedad, y que el espacio tangente en
es el espacio
. Estas consideraciones brindan algunas ecuaciones sobre los coeficientes de
, en particular algunos de estos coeficientes se anulan, disminuyendo el número de variables a considerar. Una vez hecha esta reducción se determinan algunas soluciones de la ecuación
en términos de sus coeficientes, un problema difícil, pues el polinomio es general; en realidad estamos encontrando puntos sobre la superficie
. Estas soluciones también satisfacen la ecuación
dada la condición de minimalidad, y esto nos brinda nuevas ecuaciones sobre los coeficientes de
. Ahora se desea encontrar suficientes ecuaciones sobre estos coeficientes como para determinar el polinomio
ó llegar a una contradicción con la existencia de dicho polinomio. Un paso clave en la demostración de este teorema fue utilizar el hecho de que la superficie no puede ser topológicamente un toro por el Teorema 1, y por lo tanto, las curvaturas principales deben anularse en algún punto [1].
Resultado 3 [5]. Salvo un cambio de coordenadas, la única superficie mínima e inmersa en que es algebraica de orden 3, es la dada por el polinomio
de la sección 1.4.
La demostración de este teorema es análoga a la anterior pero algunas ecuaciones sobre los coeficientes del polinomio que determina la superficie mínima se hacen usando los siguientes dos lemas:
Lema 1 [5]. Si esta inmersa de manera mínima en
y para algún subespacio tres dimensional
se tiene que
es una circunferencia de radio 1, entonces
debe ser un ecuador.
Lema 2 [5]. Todo polinomio de grado 3 en que satisface la condición de minimalidad debe anularse en un subespacio dos dimensional.
Resultado 4 [3]. Ninguno de los ejemplos de Lawson con suma de índices impar es algebraico. Aún más, no tienen simetría antipodal.
Para la demostración de este teorema se realizó una división de la esfera en subconjuntos que denominamos cuadrantes generalizados, y determinamos cuáles de estos cuadrantes eran ocupados por la superficie
estudiando la acción del grupo
sobre esta familia de cuadrantes. Demostramos que en el caso en que
es impar, la superficie ocupaba un cuadrante, pero no el cuadrante antipodal, concluyendo así que la superficie no puede tener simetría antipodal.
Resultado 5 [3]. Si es una superficie algebraica regular, entonces
es de grado impar si y solo si
es par. En particular ninguno de los ejemplos de Lawson
con
par, es algebraico de grado par.
En el caso de que la superficie sea algebraica de grado par se concluye por el Resultado 1 que la superficie
tiene característica de Euler par. Dado que la característica de Euler de
es
, entonces
tiene característica de Euler
, y por lo tanto
es impar. Análogamente el resultado se tiene cuando suponemos que
es de grado impar.
Resultado 6 [3]. Si la superficie es algebraica de grado
, entonces
.
Note que si un polinomio en tiene muchas raíces, entonces su grado debe ser al menos igual al número de raíces; para la demostración de este resultado razonamos de manera análoga. Suponemos que existe un polinomio
de grado
tal que
y demostramos que este polinomio se anula en un conjunto de planos, lo que permite una escritura del polinomio
que da la condición buscada sobre el grado de
. Esto se deriva del siguiente lema:
Lema 3 [3]. Sean tales que para todo
,
se tiene
y para
,
cada par de vectores
y
son linealmente independientes. Si
es un polinomio que se anula en los conjuntos
, entonces existen polinomios
tales que
, donde
.
Resultado 7 [3]. Ninguno de los ejemplos de Lawson es algebraico de grado cuatro.
La demostración de este teorema se obtiene aplicando algunos de los resultados anteriores y usando algunas ideas de la demostración del Resultado 2. Note que el Resultado 6 implica que las únicas posibles superficies algebraicas de grado 4 son ,
,
,
,
,
. El Resultado 5 garantiza que
,
,
no lo son y
es el toro de Clifford. Para demostrar que
y
tampoco son algebraicas de grado 4, se supone la existencia de un polinomio homogéneo
tal que satisface la condición de minimalidad y
. Dado que se conocen algunos puntos de la superficie podemos encontrar ecuaciones para los coeficientes de
usando la ecuación
y así se llega a una contradicción.
[1] Lawson, H. Complete minimal surfaces in . Ann. of Math. (2) 92 1970 335-374. [ Links ]
[2] Munzner, H. Isoparametrische Hyperflachen in Spharen (geometrischer Teil), Math. Ann. 251, (1980) pp 57-71. [ Links ]
[3] Mesa, H. Superficies mínimas algebraicas de grado cuatro en . Tesis de Maestría, Universidad del Valle, 2005. [ Links ]
[4] Perdomo, O. Non-existence of regular algebraic surfaces of spheres of degree 3. Aceptado para publicación en The Journal of Geometry. [ Links ]
[5] Perdomo, O. Characterization of minimal algebraic surfaces of the sphere with degree 3. En preparación. [ Links ]
[6] Perdomo, O. nonembeddability of the Klein bottle in and Lawson's conjecture. Rev. Acad. Colombiana Cienc. Exact. Fís. Natur. 29 (2005), no. 110, 149-154. [ Links ]
[7] Solomon, B. The harmonic analisys of cubic isoparametric minimal hypersurfaces I: dimensions and
. Amer. J. Math. 112 (1990), no. 2, 157-203
Oscar Mario Perdomo
Universidad del Valle,
Cali - Colombia
iosperdom@univalle.edu.co
Héber Mesa P.
Universidad del Valle,
Cali - Colombia
hebermes@univalle.edu.co
Recibido: 26 de enero de 2006
Aceptado: 7 de agosto de 2006