1. INTRODUCCIÓN

La lógica estudia las formas de razonamiento, con el objetivo de proporcionar técnicas que permitan establecer si un argumento es válido o no (^{Castillo y Pinta, 2015}). Según Copi y Cohen (²⁰¹³) “sea cual sea la perspectiva desde la que se busca el conocimiento, en la ciencia, en la política o en la manera de conducir nuestra vida privada, empleamos lógica para llegar a razones justificables” (p.15). El estudio de la lógica contribuye a la formación de ciudadanos con sentido crítico, y de esta manera coadyuva al fortalecimiento de la democracia (^{Vázquez, 2020}).

El cálculo proposicional (CP) y el cálculo de predicados (CDP) son ámbitos de la lógica matemática, que se construyen a partir de proposiciones, conectivos y cuantificadores. Estos saberes cobran importancia en diversos contextos. Por ejemplo, en diferentes áreas de la informática como la inteligencia artificial, la programación y el diseño de circuitos lógicos. Según Serna (²⁰¹³), dada la importancia de estas nociones en el desarrollo de algoritmos que los especialistas en ciencias informáticas realizan para solucionar problemas de índole científico o académico, las instituciones de educación deben incluir en sus currículos el estudio del CP y el CDP. Así también, en las demostraciones matemáticas, técnicas relativas al CP y al CDP permiten mostrar la equivalencia del método de demostración directo con relación a métodos indirectos como la demostración por reducción al absurdo y la demostración empleando el contrarrecíproco. Diversos autores han estudiado la relación entre la demostración matemática con el CP y el CDP, y refieren dificultades de los estudiantes para su comprensión (^{García-Martínez y Parraguez, 2018}; ^{Hamanaka y Otaki 2020}).El CP y el CDP juegan un papel importante en la vida de las personas en diversas situaciones, sin embargo su estudio en las distintas instituciones educativas es dispar. En Colombia se estudian estas nociones de la lógica matemática en los niveles secundario y universitario. En el primero se consideran asuntos introductorios, en el segundo se estudian con mayor profundidad en carreras vinculadas a la ingeniería, a las ciencias económicas y a la formación de profesores, entre otros.

Este trabajo se ubica en la temática de la formación de profesores en lógica matemática y se adopta como referencial teórico a la Teoría Antropológica de lo Didáctico (^{Chevallard, 1999}). El propósito central de la investigación que se reporta, es tomar conocimiento de las prácticas de profesores universitarios, que orientan temas vinculados al estudio de CP y CDP a estudiantes para profesor en matemática en una universidad colombiana. A partir de este estudio, se propone una tarea para el estudio funcional de nociones de la lógica matemática.

2. MARCO TEÓRICO

En esta investigación se adopta como marco teórico a la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) (^{Chevallard, 1999}). La TAD es una herramienta potente para describir la actividad docente, dado que es un enfoque que considera como objeto de estudio e investigación didáctica todo el proceso que va desde la creación y la utilización del saber matemático hasta su difusión en las instituciones.

En la TAD se postula que toda actividad humana realizada de manera regular puede ser descrita mediante la noción de praxeología (^{Chevallard, 1999}). En especial, en la TAD se ubica a la actividad matemática dentro de las actividades humanas y las instituciones sociales. Estas praxeologías son también denominadas organizaciones, en el caso de la matemática es organización matemática (OM).

Las praxeologías u organizaciones surgen como respuestas a un conjunto de cuestiones y constan de dos componentes inseparables: el nivel de la praxis o del saber hacer, que se conforma de un conjunto de tareas que se materializan en diferentes tipos de tarea, y de un conjunto de técnicas que se utilizan para llevar a cabo las tareas planteadas; y el nivel del logos o del saber en el que se sitúan, en un primer nivel, el discurso que describe, explica y justifica la técnica, denominada tecnología; y en un segundo nivel, la fundamentación de la tecnología, denominada teoría y que asume respecto a la tecnología el mismo papel descriptivo y justificativo que el de la tecnología respecto de la técnica.En particular, la noción de tarea y de tipo de tareas, supone un objeto relativamente preciso. Representar una proposición simbólicamente es un tipo de tarea, pero representares lo que se denominará un génerode tarea. De manera específica, un género de tarea no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tarea, cuyo contenido está estrechamente especificado (^{Chevallard, 1999}).

El desarrollo y análisis de la actividad matemática presenta dos aspectos inseparables: las Organizaciones Matemáticas (OM) y lasOrganizaciones Didácticas (OD). Las primeras se refieren a la realidad matemática a estudiar, y son construidas por la comunidad matemática. Las segundas, se refieren a la manera en que esto ocurre; tratan del proceso de estudio y construcción del conocimiento desde un punto de vista didáctico. Estos dos aspectos son inseparables, debido a que toda OM es generada por un estudio y a la vez, todo proceso de estudio, se realiza a partir de una OM en construcción. Una OD se sitúa en un espacio determinado por seis momentos de estudio, los cuales en un proceso de estudio específico, no están sujetos a un orden prefijado y pueden aparecer en varias ocasiones. El primer momento, corresponde al primer encuentro con la organización. El segundo momento, es el de la exploración del tipo de tareas y la elaboración de una técnica acorde al tipo de tareas. El tercer momento, se refiere a la construcción del entorno tecnológico-teórico relativo a la técnica. El cuarto momento corresponde al trabajo de la técnica. El quinto momento alude a la institucionalización, cuya finalidad es precisar los elementos que componen de manera definitiva la OM. El sexto momento corresponde a la evaluación, articulado con el momento de la institucionalización, refiere a evaluar la calidad de los componentes de la OM construida (^{Chevallard, 1999}).

Asimismo, Chevallard (¹⁹⁹⁹) propone cuatro tipos de praxeologías según el grado de complejidad de sus componentes, resultando útil para analizar los procesos didácticos institucionales. Las Organizaciones Puntuales (OMP) se generan en la institución por lo que se considera como un único tipo de tarea y se define a partir del bloque práctico-técnico. Las Organizaciones Locales (OML) son el resultado de integrar diversas OMP. Las Organizaciones Regionales (OMR) se obtienen mediante la coordinación, articulación y posterior integración de diversas OMLa una teoría matemática en común. Finalmente, las Organizaciones Globales (OMG) surgen al agregar varias praxeologías regionales a partir de la integración de diferentes teorías.

En particular, Fonseca (²⁰⁰⁴) establece las características de una OML para que sea considerada relativamente completa, siendo que los sistemas de enseñanza deberían, al menos procurar la reconstrucción de una OML. En el proceso de estudio de una OML relativamente completa se distinguen dos partes: una relativa al proceso de construcción o reconstrucción de la propia OM determinada por los seis momentos didácticos (^{Chevallard, 1999}), y otra, relativa al propio producto resultante. En particular, en lo que respecta al estudio de este último, se lo realiza en relación a indicadores matemáticos (^{Fonseca, 2004}; ^{Lucas, 2010}).A continuación se sintetizan los indicadores, siendo los siete primeros formulados por Fonseca (²⁰⁰⁴) y el octavo por Lucas (²⁰¹⁰): OML1.Integración de los tipos de tareas y existencia de tareas relativas al cuestionamiento tecnológico; OML2.Diferentes técnicas para cada tipo de tareas y criterios para elegir entre ellas; OML3.Independencia de los objetos ostensivos que sirven para representar las Técnicas; OML4.Existencia de tareas y de técnicas “inversas”; OML5.Interpretación del funcionamiento y del resultado de aplicar las técnicas; OML6.Existencia de tareas matemáticas “abiertas”; OML7.Integración de los elementos tecnológicos e incidencia sobre la práctica; OML8.La posibilidad de perturbar la situación inicial o modificar la hipótesis del sistema para estudiar casos diferentes permite ampliar y completar el proceso de estudio.

3. METOLOGÍA

Este estudio es cualitativo, de corte exploratorio, descriptivo e interpretativo (^{Hernández, Fernández y Baptista, 2014}). Para alcanzar los objetivos propuestos en la investigación, se analizaron las prácticas de dos profesores universitarios que enseñaron temas relativos al estudio de CP y CDP a jóvenes en formación para profesor de matemática en una universidad colombiana. En función de los resultados obtenidos en esta etapa de investigación se propuso una tarea para el estudio de dichos dominios de la lógica. La selección de los grupos de estudiantes dirigidos por los dos docentes, se realizó con sustento en muestreo por conveniencia (Hernández, Fernández y Baptista, 2014). Se buscó un grupo de individuos que se ajustaran a los requerimientos de la investigación, y que, permitiera el acceso del investigador para realizar observación no participante.

El estudio se llevó a cabo en dos grupos de estudiantes que realizaron un mismo curso, en el mismo programa universitario de una universidad colombiana. Los dos grupos fueron dirigidos por dos docentes, quienes tienen grado de magister. En uno de los grupos se encontraban matriculados 20 estudiantes y en el otro 22 (la edad de los estudiantes oscilaba entre los 17 y 18 años). El curso tuvo una duración de 4 meses; semanalmente se realizaron dos sesiones de clase, cada una de 120 minutos. El diseño curricular de la asignatura se compone de seis unidades; la primera, y de interés para esta investigación, se denomina nociones de lógica proposicional.

En concordancia con el referencial teórico adoptado, la investigación se desarrolló en cuatro fases. La primera de ellas corresponde a la reconstrucción de un Modelo Praxeológico de Referencia (en lo sucesivo MPR) relativo a CP y a nociones básicas de CDP. Este modelo constituye una herramienta para analizar las organizaciones matemáticas descritas en las restantes fases de la investigación. En la segunda fase de la investigación se reconstruyó la Organización Matemática Propuesta a Enseñar (OMPE), la cual se elaboró con base en los materiales propuestos por los docentes para el desarrollo de las clases. Como tercera fase de la investigación, se reconstruyó la Organización Matemática Efectivamente Enseñada (OMEE), dado que no siempre lo propuesto a enseñar coincide con lo efectivamente enseñado. Para esta reconstrucción se requiere información del proceso de estudio; por lo cual, se realizaron observaciones no participantes durante las tres primeras semanas de clases en cada uno de los dos grupos, tiempo a lo largo del cual se estudiaron nociones vinculadas a CP y CDP. Estas observaciones se realizaron durante 24 horas en total (12 horas por cada uno de los dos grupos), y permitieron recolectar la siguiente información: las versiones en audio de las clases, los registros realizados por los profesores en el pizarrón, los talleres y exámenes propuestos por los profesores y los apuntes de clase tomados por los estudiantes. En la cuarta fase, con base en las reconstrucciones del MPR, de la OMPE y de la OMEE se propone una posible tarea de carácter extramatemático, proveniente de una situación real para estudiar CP y CDP, con el objetivo de promover un estudio funcional de la lógica matemática.

La reconstrucción de la OMEE demandó analizar las clases dirigidas por los dos docentes. Para esto, se transcribieron los audios obtenidos en su totalidad. Con el objetivo de realizar un examen a profundidad del proceso de estudio y un examen global del mismo, se elaboraron dos tablas de análisis de datos por cada docente, una denominada primera tabla de análisis de datos (Tabla 1) empleada para realizar un examen en profundidad del proceso de estudio, tal como lo vivieron sus protagonistas; y otra llamada segunda tabla de análisis de datos (Tabla 2), la que permite realizar un análisis global del proceso de estudio, vinculado con el topos del alumno y el profesor dentro del proceso. La primera tabla de análisis de datos se compone de las siete categorías que se indican en la Tabla 1.

Fuente: Elaboración propia

Tabla 1. Categorías primera tabla de análisis de datos 

La Tabla 2, que se indica a continuación, conforma la segunda tabla de análisis de datos

Fuente: Corica y Otero 2011

Tabla 2 Categorías segunda tabla de análisis de datos 

Respecto de las categorías indicadas en la Tabla 1, en la primera columna se identificanlos episodios o subepisodios. Se presenta un cambio de episodio cuando se aborda un nuevo tipo de tareas. Los subepisodios asociados a un episodio, aparecen cuando al estudiar un tipo de tareas se emplea una nueva técnica para resolverla, cuando se introducen nuevos elementos tecnológicos-teóricos o cuando se considera una nueva noción matemática. En la segunda columna se indican los géneros de tareas a los que se vinculan las tareas abordadas. Los tipos de tareasson indicados en la tercera columna. En la cuarta columna se presentan las tareas abordadas por los docentes en las clases. En la quinta columna se describen las técnicas que fueronempleadas para solucionar las tareas. Los elementos tecnológicos se describen en la sexta columna. En la séptima columna (IMC) se señalan los indicadores matemáticos de completitud de una OML que se identifican en el estudio de la tarea respectiva.

Las tres primeras columnas de la Tabla 2: Episodio o subepisodio, Noción matemática, y Género de tarea, permiten realizar una primera descomposición intuitiva del proceso de estudio. En particular, con la columna Noción matemática, se identifican aquellos objetos matemáticos que aparecieron explícitamente para ser estudiados, tanto en el discurso oral del profesor como en el de los estudiantes, en cada episodio o en cada subepisodio.

La cuarta columna, Momento didáctico, indica el momento predominante del estudio (MDP) dentro de cada episodio, así como los momentos secundarios (MDS). Se trata de una información indicativa que sirve para que el observador se sitúe dentro del proceso de estudio y lea su desarrollo en forma compacta. Se distinguen los siguientes momentos: Primer encuentro (PE), Exploratorio (ETET), Constitución del entorno tecnológico-teórico (CETT), Trabajo de la técnica (TT), Institucionalización (I) y Evaluación (E).

En la quinta columna se recogen los Gestos del profesor. Esta categoría se formula con base en la idea de que en el desarrollo del proceso didáctico existen ciertas actividades, que en su mayoría son espontáneas de la práctica docente, siendo propias de las personas que pertenecen a una institución de enseñanza, y las que se construyen a lo largo de los años, a partir de su experiencia en la institución. Estos gestos se definen como sigue:

En la sexta columna se registran los Gestos del estudiante.Estos emergencomo producto de la dinámica del proceso de estudio en el que se encuentran inmersos los educandos. Se identifican dos tipos de gestos del estudiante:

4. MODELO PRAXEOLÓGICO DE REFERENCIA

En este apartado se presenta de manera sintética el MPR relativo a CP y CDP. Este modelo fue construido a partir de los conocimientos de los investigadores y recurriendo a otras fuentes, como material bibliográfico y consultas a expertos. Según ^{García, Barquero, Florensa y Bosch (2019}), la complejidad en la reconstrucción de un modelo de este tipo demanda del análisis y del cuestionamiento de varias fuentes de información, como instituciones productoras del saber matemático e instituciones encargadas de la enseñanza de la matemática. El MPR constituye un modelo alternativo que posibilita analizar y poner en entredicho paradigmas relacionados con maneras de entender un saber matemático particular (^{Chevallard, 1997}; ^{Gascón, 2014}). Los alcances de un MPR van más allá de cuestionar modelos dominantes, este instrumento también favorece la construcción de modelos alternativos Gascón (²⁰¹⁴).

En la Figura 1 se indica un esquema que sintetiza el MPR propuesto, el cual se compone de las preguntas generadoras junto a sus respectivas organizaciones matemáticas y tareas asociadas; también se indican las relaciones entre las mismas.

Fuente:Elaboración propia

Figura 1. Esquema general MPR 

EL MPR reconstruido tiene origen en la cuestión generatriz Q ₀ : ¿Cómo establecer la validez de un razonamiento? De Q ₀ se derivan las preguntas Q ₁ :¿Cómo establecer el valor de verdad de una proposición relativa al CP? Y Q ₂ : ¿Cómo establecer el valor de verdad de una proposición relativa al CDP? En este trabajo se propone dar respuesta a estas preguntas desde dos ramas de la lógica matemática como son el CP y el CDP. Se abordan diversas OM compuestas por tareas, técnicas, definiciones, propiedades y teoremas que describen, explican y justifican el estudio de estos ámbitos de la lógica.

A Q ₀ se asocia OM_0, la que se vincula el tipo de tareas T ⁰ :Establecer la validez de un razonamiento. Q ₁ y Q ₂ son preguntas que derivan del estudio de Q ₀ y dan lugar a dos bloques: uno asociado a Q ₁ relativo al estudio de las relaciones lógicas entre expresiones del CP y el otro relacionado con la ampliación del estudio del CP al CDP que se asocia a Q ₂ .

La pregunta Q ₁ : ¿Cómo establecer el valor de verdad de una proposición relativa al CP? da origen alestudio del tipo de tareas que componen la OM₁ y la OM₂.El tipo de tareas que define a OM₁ es T ¹ :Determinar propiedades de enunciados relativos al CP y relaciones entre estos. En estaOMse comprendeporenunciado, a una expresión del lenguaje cotidiano de la cual puede afirmarse que es verdadera o falsa pero no las dos a la vez. OM₂ se identifica con el tipo de tareas T ² : Determinar propiedades de fórmulas relativas al CP y relaciones entre estas. Se consideran fórmulas a aquellas expresiones conformadas por: letras que representan variables proposicionales, símbolos que representan conectivos y, si es el caso, términos de agrupación útiles para evitar ambigüedades.

El interrogante Q ₂ : ¿Cómo establecer el valor de verdad de una proposición relativa al CDP? conduce al estudio del tipo de tareas asociado a OM₃ Y OM_4. El tipo de tareas que define a OM₃ es T ³ :Determinar propiedades de enunciados relativos al CDP y relaciones entre estos; OM₄ está representada por el tipo de tareas T ⁴ : Establecer el valor de verdad de una fórmula relativa al CDP sujeta a una interpretación.

Los tipos de tareas que constituyen las OM que conforman el esquema general del MPR están asociados a los géneros de tareas: establecer (OM₀ y OM₄) y determinar (OM_1, OM₂ y OM₃). El género establecer hace referencia a tareas en las cuales se requiere verificar o confirmar determinadas características de una proposición; el género de tarea determinar alude a aquellas tareas en las cuales se hacen precisiones con base en información conocida.

Las praxeologías OM_1, OM_2, OM_{3 y} OM₄ emergen a partir de OM₀, y a su vez, cada una de ellas está compuesta por una red de praxeologías propias, que no se exponen en el presente trabajo debido a su extensión. Estas OM se componen de tipo de tareas que se vinculan con los 15 géneros de tareas que se indican a continuación. La OM₁ se compone de tipo de tareas que refieren a los géneros Determinar, Establecer, Conectar, Construir, Representar y Negar. La OM₂ se identifica con tipo de tareas correspondientes a los géneros Determinar, Representar, Conectar, Construir, Establecer, Construir, Inferir, Examinar y Caracterizar. La OM₃ se conforma de tipo de tareas que aluden a los géneros Determinar, Asociar, Conectar, Construir, Transformar, Representar, Establecer y Negar. La OM4 se constituye por tipo de tareas que se corresponden con los géneros de tareas Establecer, Asociar, Determinar, Designar, Conectar, Construir, Convertir, Establecer, Transformar y Negar.

El género Determinar refiere a aquellas tareas en las que se hacen precisiones con base en información conocida; el género Establecer alude a tareas en las cuales se requiere verificar o confirmar determinadas características de una proposición; los quehaceres correspondientes al género Conectar refieren a unir proposiciones de forma que se formen otras más complejas; el género Construir es utilizado para describir tareas que demandan del uso organizado de herramientas y reglas para concebir un propósito; las tareas asociadas al género Representar aluden a tareas que demandan el empleo de símbolos para presentar enunciados; el género Negar alude a tareas que implican aseverar que una proposición no es cierta; al género Inferir se vinculan tareas orientadas a obtener una conclusión a partir de un conjunto de premisas; Examinar es el género asociado a aquellas tareas relacionadas con escudriñar con diligencia y atención un concepto; al género Caracterizar se asocian tipos de tareas en las que se requiere determinar los atributos que distinguen un sistema; el género Asociar refiere a tareas tendientes a juntar dos componentes de un sistema con un objetivo determinado; Transformar es aquel género quealude a tareas relacionadas con el cambio de la forma de una proposición sin modificar su significado; el género Designar hace alusión a tareas que procuran destinar algo para un fin determinado; el género de tarea Demostrar engloba las tareas que requieren probar de manera deductiva un argumento con el fin de asegurar la verdad de una proposición matemática; Precisar es el género asociado a aquellas tareas relacionadas con describir de manera rigurosa; el género Intercambiarhace referencia a tareas que posibilitan, con base en una proposición compuesta por uno de los dos cuantificadores, construir una equivalente, que incluye el otro cuantificador; y el género Convertirrefiere a aquellas tareas en las que se les da significado a variables proposicionales que componen fórmulas.

5. ORGANIZACIÓN MATEMÁTICA EFECTIVAMENTE ENSEÑADA

La globalidad de la investigación implicó la reconstrucción de la OMPE previo a la reconstrucción de la OMEE. Los principales resultados de esta reconstrucción indican que la OMPE se caracteriza por estar compuesta de tareas intramatemáticas. Los enunciados, tareas, entornos tecnológicos son apropiados: se encuentran en correspondencia con el MPR propuesto. Sin embargo, las tareas que proponen los profesores para el estudio del CP y CDP son poco funcionales; se centran en el estudio de técnicas algorítmicas. Se proponen algunas situaciones compuestas por proposiciones o conjuntos de proposiciones sin sentido, que no ayudan a resolver problemas de la vida cotidiana de las personas, ni les brindan mayores herramientas para la toma de decisiones con base en la razón. Tampoco se considera la utilidad de la lógica matemática en otras ciencias (Cardona y Corica, 2020).

En relación con la reconstrucción de la OMEE, con base en la información recogida en la realización de la observación no participante, y con el fin de realizar un análisis en profundidad del proceso de estudio, se confeccionó la primera tabla de análisis de datos, cuyas categorías se describieron en la Tabla 1. En la Tabla 3, con el propósito de ejemplificar el empleo que se realizó de la Tabla 1, se expone y se analiza un ejemplar de tarea resuelto en clase por uno de los dos docentes que participaron en la investigación.

En la Tabla 3 se indica que el ejemplo de tarea correspondeal episodio 9, se asocia al género de tarea Construir y al tipo de tareas Construir proposiciones. Se destaca que en el enunciado de la tarea, expuesto en la cuarta columna, se indica la manera de resolverla, se proporcionan las proposiciones y el término de enlace que conforman la proposición molecular solicitada. Asimismo, en la quinta columna se sugiere una técnica muy simple para solucionar la tarea, que consiste en identificar las proposiciones atómicas y relacionarlas mediante el término de enlace entonces. El entorno tecnológico-teórico empleado para la resolución del quehacer se exhibe en la sexta columna. En la última columna se indica que la tarea se vincula al séptimo indicador matemático de completitud porque se integran nociones relativas al entorno tecnológico-teórico. Se puede advertir que en la tarea se formulan dos proposiciones atómicas ficticias, que no están asociadas a contexto alguno, y se solicita relacionarlas mediante el término de enlace entonces; tarea que da origen a la proposición molecular llueve entonces se suspende el juego. Este último enunciado corresponde a una expresión que no aporta sentido al estudio de la lógica para la toma de decisiones.

6. PROPUESTA DE TAREA PARA EL ESTUDIO DE NOCIONES RELATIVAS A LÓGICA MATEMÁTICA

En función de los resultados obtenidos en las diferentes etapas de la investigación, en el presente apartado se propone una posible tarea. El objetivo es contribuir al fortalecimiento de la enseñanza de la lógica matemática, aportando un punto de partida para motivar nuevas investigaciones que conduzcan a la construcción de tareas con mayor nivel de complejidad. Se aborda una situación real y se asocia al tipo de tareas Establecer la validez de argumentos.

6.1. Tarea para el estudio de nociones de lógica

En las últimas décadas se presentaron avances en la tecnología empleada para realizar transacciones financieras. Los adelantos tecnológicos revolucionaron la manera como las personas realizan compras y pagan bienes y servicios. Estos avances tecnológicos facilitan la realización de transacciones comerciales, pero también conllevan riesgos para los consumidores, especialmente para aquellos que carecen de formación en conceptos básicos de finanzas personales (^{Sierra, 2014}; ^{Turpo, 2017}). Las tarjetas de crédito en particular, se han convertido en un elemento de uso habitual por parte de un número significativo de ciudadanos. Incluso en muchoscasos es imprescindible el uso de estas para realizar ciertas transacciones; razón por la cual cada vez más personas utilizan dichas tarjetas (^{Ramírez, 2015}).

Las entidades financieras permanentemente llevan a cabo campañas publicitarias con el propósito de que sus clientes hagan uso de las tarjetas de crédito. Promocionan estos productos financieros, logrando en muchos casos que los consumidores sientan que es beneficioso adquirirlos; pero generalmente no se les informa de manera clara sobre los costos por el uso, y los riesgos a los que se exponen (^{Nieves y Masías, 2019}; ^{Sierra 2014}). En las estrategias de mercado, se destacan atractivas ofertas iniciales con el propósito de seducir a los consumidores. A menudo, quien emplea una tarjeta de crédito, poco tiempo después experimenta aumento en sus gastos fijos, a raíz de costos adicionales por el uso de la tarjeta.

Según Turpo (²⁰¹⁷), la mayoría de consumidores firma un contrato aceptando una tarjeta de crédito, sin leer debidamente los términos y condiciones asociados a este; aceptando, sin ser conscientes, obligaciones como pago de intereses, comisiones y otros gastos vinculados a la tarjeta. Por otra parte, las entidades bancarias indican a los clientes los beneficios por adquirir dichas tarjetas de crédito, pero no dan a conocer las obligaciones en su totalidad. En particular, en una investigación desarrollada por Turpo (²⁰¹⁷) se concluye que el nivel de conocimiento de las responsabilidades crediticias adquiridas porlos usuarios involucrados en el estudio, es deficiente. Estos resultados también son compatibles con los reportados por Nieves y Masías (²⁰¹⁹); quienes destacan en su estudio el alto porcentaje de clientes de un banco que no conoce la diferencia entre una tarjeta débito y una tarjeta de crédito.

Prelec y Simester (²⁰⁰¹)realizaron una investigación que les permitió afirmar que los consumidores muestran mayor disposición a pagar con tarjeta de crédito que en efectivo. Lo anterior hace razonable suponer que un significativo porcentaje de usuarios de tarjeta de crédito, considera que los costos que deben asumir por pagar en efectivo son semejantes a los costos que deben asumir por pagar con tarjeta de crédito. Lo que da lugar a la siguiente proposición: los costos que deben asumir los consumidores por pagar en efectivo son semejantes a los costos que deben asumir los consumidores por pagar con tarjeta de crédito.

A partir de la situación antes planteada emerge la tarea que se exhibe a continuación.

Tarea

La expresión: los costos que deben asumir los consumidores por pagar en efectivo son semejantes a los costos que deben asumir los consumidores por pagar con tarjeta de crédito, ¿es un argumento válido según la lógica formal?

Seguidamente, se empleará el cálculo proposicional para realizar el estudio formal de la proposición referida. Considérense las siguientes proposiciones atómicas asociadas a la situación descrita, con sus respectivas simbolizaciones.

Pago con tarjeta de crédito (A)

Pago en efectivo (B)

Obtengo el producto deseado (C)

Así, la situación descrita se plantea mediante proposiciones moleculares, cada una con su respectiva representación simbólica.

Si el consumidor paga con tarjeta de crédito para obtener el producto deseado, este caso se asocia a la proposición

Pago con tarjeta de crédito entonces obtengo el producto deseado, que se simboliza A→C

Por el contrario, si el consumidor paga en efectivo, se considera la proposición

Pago en efectivo entonces obtengo el producto deseado, que se simbolizaB→C

Se considera que son semejantes los costos por pagar en efectivo a los costos por pagar con tarjeta de crédito; es decir, se plantea una equivalencia entre dos proposiciones. Lo que permite formular la siguiente proposición compuesta

Pago con tarjeta de crédito entonces obtengo el producto deseado es equivalente a plantear que pago en efectivo entonces obtengo el producto deseado

Cuya simbolización es

Esta última fórmula representa el argumento construido a partir de la manera de razonar de un importante número de consumidores objeto de estudio. A continuación, utilizando dos técnicas propias del cálculo proposicional se establecerá si el argumento indicado es válido o corresponde a una falacia.

6.1.1 Resolución de la tarea mediante deducción

Partiendo de las premisas A→C yB→C, y recurriendo a las reglas de inferencia, se determinará si es posible deducir la proposición (𝐴→𝐶)↔(𝐵→𝐶). En la deducción que se presenta a continuación, la letra P frente a cada proposición indica que esta corresponde a una premisa.

Deducción:

Después de realizar diversos procedimientos intentando llegar a la proposición (𝐴→𝐶)↔(𝐵→𝐶) mediante el uso de distintas reglas de inferencia, no fue posible obtener esta conclusión. Por ejemplo, en casos como estos generalmente es viable aplicar la regla de inferencia modus ponendo ponens o la regla modus tollendo tollens teniendo en cuenta que se tienen proposiciones moleculares que incluyen la implicación, pero en esta ocasión no se cuenta con una proposición atómica adecuada que posibilite aplicar dichas reglas. Tampoco es viable obtener una proposición atómica usando la ley de la simplificación debido a que no se tiene una proposición molecular que contenga la conjunción. Por consiguiente, se concluyó que la técnica empleada no permitió establecer la validez del argumento. El hecho de no poder llegar a una conclusión, no implica que el argumento sea válido o que carezca de validez. Lo que pone de presente una limitación de la técnica utilizada.

6.1.2 Resolución de la tarea mediante una tabla de verdad

En esta propuesta se construye la tabla de verdad indicada en la Tabla 4, con el objetivo de establecer la validez del argumento.

La Tabla 4 pone de presente que la tabla de verdad no conduce a una tautología, lo que permite concluir que el razonamiento realizado por los consumidores carece de sustento lógico. En conclusión, según la lógica formal, el argumento construido con base en la forma de razonar por parte de los consumidores corresponde a una falacia.

Se espera que la solución de la tarea formulada, además de ser un aporte al estudio funcional de temas relativos a la lógica matemática, contribuya a dar sustento a las decisiones que toman los ciudadanos en situaciones reales.

7. CONCLUSIONES

El trabajo que se presenta corresponde a una investigación de carácter cualitativo vinculada a la línea de investigación formación de profesores.

Atendiendo al referencial teórico adoptado, en primer lugar se reconstruyó un MPR relativo al estudio de CP y nociones básicas de CDP, que se origina a partir del estudio de la pregunta generatriz ¿Cómo establecer la validez de un razonamiento? Este modelo permitió analizar la OMPE y la OMEE reconstruidas, y describir sus principales bondades y carencias. También constituyó un instrumento fundamental para la propuesta de una tarea. Esta tiene por objetivo el estudio funcional de temas relativos a la lógica matemática, que trasciende el área de la matemática.

La reconstrucción de la OMEE, y en particular el análisis de las prácticas docentes permite afirmar que hay semejanzas en relación con las tareas propuestas por los dos profesores que intervinieron en la investigación. Se encontraron coincidencias en la mayor parte de géneros de tareas, tipos de tareas y nociones del entorno tecnológico-teórico empleadas. La OMEE se caracteriza por tener bajo grado de completitud. Se propuso el estudio de tareas rígidas y desarticuladas entre sí, no se estudió la eficacia ni los alcances y limitaciones de las técnicas empleadas, no se generaron nuevas técnicas y tampoco se hizo un balance de lo estudiado a lo largo del proceso de estudio.

La construcción del MPR, y la reconstrucción de la OMPE y de la OMEE sirvió como fundamento para formular una tarea de carácter extramatemático y proveniente de una situación real, cuyo hacer demanda nociones de cálculo proposicional. En la formación docente se requiere del estudio del CP y de CDP a partir de tareas que tengan sentido; esto es tanto para tareas de contextos intramatemáticos como extramatemáticos. Son estos estudiantes de profesorado quienes serán los encargados de la formación de estudiantes del nivel secundario y universitario, por lo que se requiere mayores investigaciones en torno a la formación en lógica. Contar con conocimientos de CP y CDP brinda ventajas a los ciudadanos para la toma de decisiones.