CAMPO GRAVITATORIO Y ESPACIO-TIEMPO CURVADO POR LA MATERIA

La ley de gravitación universal expresa las fuerzas mutuas entre dos cuerpos cualesquiera de masas mi, y mi, cuyos centros de masa están separados por una distancia d, a través de la conocida expresión:

En donde F es el módulo de las dos fuerzas, que son mutuas, atractivas y orientadas en la exacta dirección entre los centros de masa de los cuerpos, y G = 6,67x10^-11 N-m²/kg², es la constante de gravitación universal

Ahora nos interesa comenzar pensando en términos clásicos el caso de un cuerpo esférico de masa M situado inmóvil en el origen de un sistema inercial de referencia, cuyo campo gravitatorio se estudia con ayuda de una partícula móvil de masa m despreciable. Con la masa despreciable de esta partícula exploradora se logra que su propio campo gravitatorio no altere el campo en estudio, y que la fuerza aplicada al cuerpo central no afecte su estado de reposo en el origen.

Los posibles movimientos de la partícula exploradora en el campo gravitatorio central son las conocidas trayectorias cónicas predichas por las leyes de Kepler/Newton. Estos movimientos son explicados por la teoría clásica en función de la fuerza gravitatoria dada por la expresión (1), la cual, por unidad de masa de la partícula móvil define el vector campo gravitatorio.

Pero en la RG estos movimientos se explican de una manera radicalmente distinta: se reserva el concepto de fuerza para todas las fuerzas de la teoría clásica excepto las de origen gravitatorio. De manera que en RG nuestra partícula de prueba estrictamente se considera libre de fuerzas, y sus movimientos posibles se explican a través de la geometría que adopta el espacio-tiempo (en adelante E-T) en presencia del cuerpo de masa M.

En RG se considera, en efecto, que el E-T tiene cierta estructura geométrica condicionada por la presencia de la materia, cuyo movimiento a su vez es condicionado por dicha geometría. Para tener una primera idea introductoria de lo que esto significa es bueno pensar en lo más simple: el movimiento de partículas libres de fuerza.

Los movimientos posibles de las partículas libres de fuerzas en la teoría clásica (en la cual libres de fuerzas significa libres de la acción gravitatoria, y además de todas las otras), son los movimientos uniformes a lo largo de trayectorias rectilíneas (Principio de Inercia).

Pero debido a que la presencia de materia está inexorablemente unida a efectos gravitatorios, de manera que no existen las partículas libres de influencias gravitatorias, en la RG se decide no tratar a la gravitación como a las demás fuerzas, sino considerarla como un condicionante de la estructura del E-T. Y se reserva el nombre de fuerza a las acciones mecánicas que derivan de interacciones de otro tipo. Es decir, para evitar confusiones, libres de fuerza, en RG, significa libre de todas las acciones que en la teoría clásica se consideran no gravitatorias, pero no libres de acciones gravitatorias.

De manera que el movimiento de las partículas libres de fuerza en RG, está condicionado por la gravitación exis tente, cuya influencia determinará que tenga lugar según ciertas líneas llamadas geodésicas del E-T, y no según líneas rectas recorridas uniformemente. Esto lleva a desarrollos muy complejos que no interesan en este trabajo, pero se puede lograr la comprensión necesaria de las nociones elementales a través del caso simple e ilustrativo de una superficie esférica, como se presenta a continuación.

Espacios curvados, geodésicas y geometrías no euclidianas

Si hubiera seres viviendo en un mundo bidimensional, y este fuera un plano, en él podría haber coordenadas cartesia nas xi y X2, y el Principio de Inercia diría que las partículas libres de fuerza se mueven uniformemente en líneas rectas, dadas por funciones lineales xi(t) y X2(t).

Pero para seres viviendo en una superficie esférica no habría coordenadas cartesianas, y el Principio de Inercia diría que las partículas libres de fuerza deben moverse uniformemente en trayectorias que no se desvíen hacia algún lado, las cuales serían los círculos máximos de este mundo esférico. Éstos serían el equivalente a las líneas rectas del mundo plano, y estarían dados por ciertas ecuaciones correspondientes. En general se llama geodésicas a estas líneas, equivalentes en sus características a las líneas rectas de los mundos planos; considerándose planos los espacios en los que vale la geometría euclidiana.

Porque en esta superficie esférica lo que fallaría, esencialmente, es la geometría euclidiana. En efecto, no podría haber coordenadas cartesianas, porque cualquier intento de trazar en la vecindad de una línea "recta" (supongamos que llamamos así a las geodésicas/círculos máximos), otra recta paralela, fracasa, ya que estas líneas irremediable mente se cortan cuando se prolongan suficientemente. Y en general se encontraría que fallan muchas otras cosas de la geometría euclidiana: la suma de los ángulos interiores de un triángulo no daría 180°, el cociente entre la longitud de una circunferencia y la distancia al centro no daría 2n, etc.

si el radio de curvatura tiende a infinito, la superficie esférica se aplana, y se cumple en ella toda la geometría habitual, euclidiana.

Ahora bien, es fácil entender la noción de curvatura de una superficie esférica, ente de dos dimensiones, visualizándola contenida en el espacio de tres dimensiones. Pero a partir de las relaciones que se cumplen entre los elementos geométricos contenidos dentro de la misma superficie, es posible calcular su curvatura intrínsecamente, sin salir de sus dos dimensiones.

Aunque es más difícil de imaginar, es posible definir la curvatura (y el radio de curvatura, y otros elementos asociados con la curvatura) del espacio tridimensional (o de cualquier número de dimensiones), sin necesidad de imagi narlo contenido en un espacio de más dimensiones. Cuando se cumple la geometría euclidiana se dice que el espacio es plano, con curvatura nula.

resulta que la geometría euclidiana, que en la teoría clásica se presupone como la única posible, en RG solamente corresponde al caso particular del E-T vacío, sin cuerpos materiales. Allí las geodésicas son líneas rectas recorridas uniformemente. Una partícula sobre la que nadie actúe, seguiría una de estas trayectorias.

Pero en cambio, ejemplificando con un típico proyectil ideal de la enseñanza escolar, este sigue cierta trayectoria curva aunque nadie actúe sobre él. La mecánica clásica dice que aunque no se ve fuerza alguna actuando, está actuando la gravedad terrestre, y le atribuye una fuerza correspondiente. La RG dice que no se ve fuerza actuando porque no la hay, ya que la gravedad no se considera fuerza, y que la línea curva que sigue el proyectil es una geodésica del E-T, el cual tiene cierta geometría condicionada por la gravedad.

Espacio curvado por una masa central

Comencemos con los aspectos geométricos simples de nuestro sistema en estudio: un cuerpo de masa M en el origen (de lo que sería clásicamente un referencial inercial). En principio es fácil ver que la simetría esférica corresponde tanto al tratamiento clásico como relativista de este caso. De manera que utilizaremos las coordenadas esféricas habituales: r, 9, p, donde las coordenadas angulares deben tener absolutamente el mismo significado y tratamiento que en el caso clásico .

Por otra parte, las líneas del espacio que conservan 9 y p constantes deben ser líneas rectas radiales, iguales en ambas teorías. Pero no así la longitud entre dos puntos de una de estas líneas: la distancia entre A y B, situados sobre la misma línea radial, puede no ser igual al valor absoluto de la diferencia rA- rB.

Es decir, en la RG se encuentra que se podría definir la coordenada radial r como el valor de la distancia al centro, pero en ese caso la longitud de una circunferencia de radio r centrada en el origen no valdría 2nr. Y si se opta por definir el valor de la coordenada r a través de la longitud de la circunferencia recién mencionada, por la expresión r = (longitud circunferencia) / 2n, entonces ella no indicará la distancia al centro. Esto es una de las manifestaciones del hecho de que según la RG, en presencia de la masa M el espacio debe ser curvo, no puede ser plano.

Vale aclarar que la definición: r = longitud/2n para una circunferencia centrada en el origen, es la que utilizaremos en este trabajo. Y con esta definición de la coordenada radial, por medio de cálculos que no interesan aquí, la RG demuestra que, si denominamos pa la distancia radial, ella está dada

Comparando con la expresión (3) se ve que rg es el radio que debería tener el cuerpo de masa M para que la velocidad de escape desde su superficie fuera la de la luz, según un cálculo totalmente clásico (sorprendentemente esta expresión también es válida en la RG). Esto sugiere que rg es un valor muy pequeño para la cantidad de masa M, mucho más pequeño que el radio de cualquier planeta, astro, o cuerpo celeste "normal" que tenga esa masa.

Por ejemplo para un cuerpo como nuestro planeta, Mt = 6x10²⁴ kg, y rg = 9 mm. Para el Sol, algo más grande, Ms = 2x10³⁰ kg, rg = 2964 m. Durante cierto tiempo, hasta que se entendieron bien algunas consecuencias de las ecuacio nes, se consideró que era imposible que algún proceso físico comprimiera la cantidad de masa M en un radio tan pequeño como rg. Ahora este radio es un parámetro básico de los AN, que consisten en materia encerrada precisa mente en el interior de esta pequeña región.

Se denomina horizonte del agujero negro a las superficie esférica de radio rg, la cual separa el interior del exterior. En el exterior, r > rg, ocurren las cosas que vamos a examinar en este trabajo.

Vemos que si estamos muy lejos del cuerpo central (r >> rg), según la expresión (2') tendremos que dp = dr, y podremos describir con tranquilidad nuestra vecindad en el espacio con la habitual geometría euclidiana.

Pero en la cercanía del horizonte la situación cambia radicalmente. El espacio está muy "curvado", y no funciona la geometría habitual. El espacio está comprimido en la dirección radial, y se comprime infinitamente justo en el radio gravitatorio. Aunque no es de interés especial aquí, puede verse que la expresión (2') es integrable. El integrando diverge en rg, pero la divergencia es débil, y es posible calcular fácilmente la distancia entre dos valores dados de r (ver ejemplos en Apéndice 1).

El tiempo curvado por la masa central

No solamente el espacio está curvado en la vecindad de rg. Ya sabemos por la RE que el ritmo de transcurso del tiempo depende de la velocidad de cada observador, pero ahora, además, el tiempo transcurre a distinto ritmo en diferentes valores de r (o sea, es influido por la mayor o menor proximidad de M).

La concepción clásica del tiempo es la del tiempo absoluto, la cual sobreentiende que hay o habría alguna manera de conocer instantáneamente lo que ocurre en otros lugares. Ahora es necesario desprenderse de estas nociones, y manejar con mucho más cuidado el tema del tiempo, completando la noción de que el E-T en conjunto está curvado.

Para comenzar de la manera más simple, digamos que es posible atribuir a cada punto del espacio, especificado por los valores de r, 0, y p, un valor de "coordenada temporal", t, que va aumentando continuamente mientras trans curre el tiempo, como se muestra en la siguiente representación gráfica elemental, limitada a la coordenada radial (figura 1).

Si consideramos dos observadores en reposo, A, y B, la representación gráfica en la figura 2 muestra con las co rrespondientes rectas horizontales, que cada uno conserva el valor de su ordenada, r, para todos los sucesivos valores de t (es decir: cada uno está en reposo), mientras la intersección de estas rectas horizontales con cualquier recta vertical indica el mismo valor, por ejemplo ti, o por ejemplo t2, para ambos observadores (habría gráficas similares para cada una de las coordenadas angulares, que no interesa mostrar porque consideraremos solamente movimientos radiales, con valores constantes de 0y de p).

Ahora la situación no es tan simple como en la física clásica: la noción de que el tiempo puede fluir con diferente ritmo en los diferentes lugares nos introduce una gran complicación, y no sabemos a priori cómo debemos graduar las líneas horizontales con los valores del tiempo. De manera que vamos a proceder de la manera más sencilla posible, reproduciendo procedimientos que se utilizan en la RE para resguardar algunas nociones elementales.

Comencemos considerando un observador en reposo cualquiera: A. Él tiene libertad para fijar cualquier instante como origen del tiempo, y adoptar cualquier duración como unidad. Pero por razones prácticas no tiene libertad para cambiar la duración de su unidad a medida que transcurre el tiempo (es decir, no quiere hacer eso). De manera que adopta algún fenómeno físico que se repite con regularidad, es decir, un reloj , para graduar uniformemente su línea del tiempo en toda su extensión.

Con su línea temporal así uniformemente graduada, él pauta la graduación de sus vecinos tanto para los r mayores como menores (para nuestros fines siempre en la región fuera del horizonte), por medio de señales luminosas, como se indica en la figura siguiente para el vecino B en la misma línea radial.

En un instante cualquiera ti, A envía una señal luminosa a B, quien al recibirla en tx la refleja instantáneamente de vuelta hacia A, quien la recibe en t2. Luego A comunica a B que debe asignar el valor tx = (ti + t2) /2.

Repitiendo luego una vez más toda la operación, el observador B ya tendrá dos valores que le permitirán subdividir uniformemente su escala, sincronizada, con la escala temporal de A.

la misma operación permite coordinar, o mejor dicho definir, cómo se asignan los valores de t a todos los obser vadores fuera del radio problemático rg (que son los únicos que nos interesan aquí). Vale agregar, además, que a partir de cualquiera de los observadores en reposo en esta región puede definirse el valor de t para todos los demás (en la misma y en diferentes líneas radiales), y lo que se obtenga será equivalente en todos los casos, ya que cualquier definición solamente diferirá de cualquier otra en un factor constante y una elección arbitraria del origen.

Ahora bien, como se aclarará en los próximos párrafos, con este procedimiento se construye una escala temporal que indica simultaneidad entre distintos observadores, pero no indica que el tiempo transcurra con el mismo ritmo para todos. En el caso presentado solamente A, tendrá la escala temporal indicando cómo transcurre su tiempo. Para B la escala estará bien construida, mostrará un transcurso uniforme del tiempo, pero con otro ritmo, como si su unidad fuese diferente. Si A y B, poseen sendos relojes idénticos que utilizan para graduar su unidad de tiempo, la graduación recién construida solamente será exacta para A, que es quien definió la graduación. B encontrará que la graduación es demasiado rápida, o lenta, como corresponde a la expresión (5) que veremos enseguida.

En este punto es necesario remarcar que este procedimiento es el mismo que utiliza cualquier observador inercial para sincronizar los relojes de su referencial en RE. Además es válido en física clásica, aunque allí es redundante, ya que cualquier observador interpreta que es posible conocer instantáneamente lo que indica cualquier reloj de su referencial y de cualquier referencial.

De manera que para este caso que nos interesa, la figura 3 nos muestra cómo se ha definido la variable temporal para el referencial consistente en el conjunto de todos los observadores imaginables en reposo en todos los r > rg. Para todos estos observadores, la escala temporal está sincronizada de modo que todos los eventos en un mismo valor de t son simultáneos .

la noción de la RG de que el tiempo transcurre a distinto ritmo en los diferentes lugares se concreta en la idea de que la misma cantidad At = t2 - ti, representa un transcurso de tiempo diferente en rA que en rB.

Específicamente la RG nos permite decir que el transcurso del tiempo en cada lugar fijo fuera del horizonte está dado por el llamado "tiempo propio", z (denominación que alude a que es propio de cada observador en reposo), dado por:

Expresión en la que vemos que infinitamente lejos del origen (o sea del cuerpo de masa M), prácticamente t es lo mismo que z. Pero en los valores menores de r el tiempo transcurre más lentamente que lo que indica el valor de t, y vemos que nuevamente tenemos un problema al acercarnos a rg. coloquialmente diríamos que el tiempo tiende a congelarse allí, respecto de la variable temporal t.

Volviendo a la presentación de la graduación de la variable temporal, podemos agregar ahora (evitando profundi zar mucho) que A puede observar simultáneamente su reloj y (a través de un telescopio) el de B, y al hacerlo com prueba que, suponiendo rA < rB, la marcha del reloj de B es más rápida que la del suyo (siendo que ambos relojes son idénticos).

Lo mismo puede corroborar B: él desde su telescopio también confirma que su reloj es más rápido que el de A. A diferencia de lo que ocurre comparando determinaciones de tiempos entre observadores inerciales en RE, aquí el efecto no es recíproco: el tiempo transcurre más lentamente más cerca del cuerpo masivo central, y todos los obser vadores concuerdan con ello.

Y vale aclarar que, además, al igual que en RE, el tiempo propio de cualquier observador móvil pasando por un lugar dado, a su vez sería otro tiempo diferente de lo definido por (5).

EL INCREÍBLE "FRENADO" DE LA LUZ

Ahora bien, el mejor mecanismo para conectar o relacionar observadores en diferentes lugares, es por medio de se ñales luminosas, como ahora analizaremos limitándonos a la dirección radial, tanto hacia el origen, como hacia fuera.

El postulado básico de la relatividad de que la velocidad de la luz debe ser c en cualquier condición y circunstancia, significa, para una señal luminosa marchando en dirección radial, para un observador en reposo, que este debe registrar que avanza la distancia dp en un intervalo drde su tiempo propio, de manera tal que:

Como ya estamos acostumbrados, para r infinitamente grande tenemos la expresión habitual c = +dr/dt, pero en la cercanía del horizonte dr/dt es menor en valor absoluto que c, y se anula sobre el mismo.

La figura 3 muestra el viaje de dos rayos de luz lanzados radialmente desde A en t = 0, uno hacia el centro y otro hacia fuera.

El comportamiento de la luz lanzada hacia el centro resulta totalmente sorprendente: la figura muestra que se acercará asintóticamente a rg para t^ x. Y nunca lo alcanzará.

Esto parece absurdo, pero además de ser lo que dice (6), es consistente con la idea básica de que la luz no puede escapar de un AN, ya que la marcha de la luz es reversible. Invirtiendo el sentido del tiempo en la figura 3 para el rayo que va hacia el centro, tendríamos un rayo emergiendo como se muestra en la figura 4. Este rayo no podría emerger si proviniera de un punto en el horizonte, pero puede hacerlo porque proviene de algún punto fuera del horizonte, aunque muy cercano. Cuanto más cercano al horizonte sea el punto de partida, mayor es el lapso que debe transcurrir para que el alejamiento del horizonte se haga perceptible.

De manera que por chocante que parezca, ¡se requiere que t llegue a infinito, para que la luz llegue al horizonte! Y no solamente la luz. Cualquier partícula material lanzada radialmente hacia el centro viajará aumentando continuamente su velocidad, pero nunca alcanzará la velocidad de la luz. Siempre será dejada atrás por ella. Y por lo tanto también requerirá que t llegue a infinito para llegar al horizonte. En la figura 5 se ilustra el viaje de partículas lanzadas radialmente hacia el centro desde A.

De manera que t debe llegar hasta el infinito para que la luz o las partículas lleguen al horizonte . Y esta variable t es el tiempo para los observadores lejanos. Esto indica que los observadores lejanos deberían esperar un tiempo infi nito para que un agujero negro pueda "devorar" toda la materia que los astrofísicos dicen que devora.

Debe notarse que hasta es difícil describir la situación con palabras. Es claro que dr/dt ^ 0 para la luz cuando r ^ rg, pero, ¿cómo podemos decirlo?

Decir que la velocidad de la luz tiende a cero allí es incorrecto: la velocidad de la luz, registrada por cada observador en cada lugar por el que esta pasa, no es dr/dt, ya que está dada por (6), y vale siempre c.

Sin embargo, la luz deja de avanzar en las coordenadas (t, r), que son las del referencial. En estas coordenadas nunca llegará al horizonte, que está muy cerca, y al cual se acerca hasta distancias indescriptiblemente pequeñas. Y casi exactamente las mismas consideraciones valdrían para una partícula cayendo radialmente, la cual en esa zona alcanzaría velocidades muy cercanas a la de la luz, pero siempre menores, cumpliendo: |dr/dt|partícula |dr/dt|luz.

También sería incorrecto decir que la detención de estos móviles (señal luminosa o partícula), es "aparente", por que el efecto no es aparente: es tan real como cualquier registro de las coordenadas r(t) de cualquier movimiento que se describa.

Es posible preguntarse: ¿cómo es esto? ¿Hay un error? ¿Mienten los astrofísicos?

es muy importante tener presente que además de lo considerado hasta aquí, sí hay un efecto aparente que se origina en lo que "puede ver" algún observador determinado. Esto tendría que ver con la posibilidad de enviar señales luminosas (o electromagnéticas en general) a un cuerpo que cae, construido de manera de responder automática mente (por ejemplo reflejando la señal hacia el emisor, o por ejemplo pidiendo a un observador en reposo en ese lugar que responda al emisor), y esperar la respuesta.

Si consideramos un instante inicial to en el cual parte un cuerpo lanzado radialmente hacia el centro con velocidad vo por un observador en reposo en r, y se considera la recepción de la respuesta a señales enviadas al cuerpo en ti, es posible prever que para ti próximo a to, la respuesta llegará muy rápidamente, en ti = ti + 2(vo/c) (ti-to). Pero a medida que ti aumente, la distancia y la velocidad del cuerpo aumentarán, y aumentará la demora en recibir respuesta.

según el comportamiento previsto de dr/dt para luz y partícula, es claro que esta demora aumentará sin límites cuando ti aumente suficientemente, y decir que la demora aumentará infinitamente significa que la respuesta nunca llegará. Vale mencionar que además se agregará el efecto de que la frecuencia de la luz disminuirá, también infinita mente (por efecto Doppler si es reflejada, y por efecto gravitacional si es enviada por un observador en reposo en la zona), en el viaje hacia fuera, lo que haría imposible detectar la respuesta aún si llegara (no entraremos en más detalles sobre este "enrojecimiento" de la luz, porque sólo agrega más razones para que no se detecte una respuesta).

Es importante entender que esta imposibilidad de ver a la partícula cruzando el horizonte, debido a la demora infinita y al enrojecimiento infinito también, de la luz que intervendría, es un efecto aparente que no debe ser con fundido con la imposibilidad de cruzar el horizonte expresada por las funciones r(t).

Ahora bien, hay que tener en cuenta que además de que el tiempo rde los observadores en reposo en la vecindad del horizonte se va congelando con respecto a nuestro tiempo t de observadores más alejados, el tiempo propio de la partícula que pasa por ese lugar cerca del horizonte con una velocidad que se acerca cada vez más a la de la luz (como veremos pronto al hacer unos cálculos), se va congelando a su vez con respecto al rde los observadores en reposo. De manera que tal vez no sería imposible que en el tiempo propio de la partícula que cae todo el proceso tenga una duración finita.

UN CÁLCULO EJEMPLIFICADOR

Nada mejor que un ejemplo numérico para dar claridad a todo lo discutido. Supongamos que el Sol fuera un AN, para utilizar números familiares redondeándolos un poco. Es decir, consideremos la Tierra orbitando en una circunferencia de 1,50x10® km de radio, alrededor de un AN con la masa del Sol: M = 2x10³⁰ kg.

Es claro que el campo gravitatorio que encuentra la Tierra, así como las características de su movimiento orbital, son exactamente los mismos si M está contenida en el radio del Sol (7x10⁵ km), o en un radio menor que rg (rg = 2GM/c² = 2964 m), o en un punto geométrico.

La pequeñez del radio del horizonte, rg, nos dice inmediatamente que el factor (1- rg/r), que aparece en todas las intervenciones de la RG, se mantiene igual a 1,00000 con 5 cifras significativas o más, para cualquier situación que ocurra fuera del radio del Sol. De manera que en esta zona la RG debe producir casi exactamente lo mismo que puede calcularse con la teoría newtoniana, con modificaciones tan leves como el famoso corrimiento del eje mayor de la órbita de Mercurio, de 43" /siglo.

Podemos ver que pequeñas correcciones del orden de 10^-3, recién se esperan para r £ 3000 km, que ya casi sería el centro del Sol, pero aún es mil veces mayor que rg.

Continuando con el ejemplo, consideremos una partícula material cayendo radialmente desde el reposo en el in finito, e iniciamos la cuenta desde que cruza la órbita de la Tierra, ri £ 1,50x10¹¹ m, con vi £ 42,2x10³ m/s (como puede calcularse jugando un poco con las órbitas circulares o la conservación de la energía).

La expresión (12) nos indica que (2/3c) (r1^3/2) / (rg^1/2) £ 2371133,3 s « 2,37x10⁶ s « 27,44 días (carece de sentido incluir la resta en el numerador, ya que solamente corregiría microsegundos), es el lapso máximo de que se dispone, para hacerle llegar señales a la partícula (desde un emisor en reposo en n, desde que la partícula pasa por allí).

Es útil comparar primero con el valor obtenido con un cálculo totalmente newtoniano clásico.

Una simulación según el cálculo newtoniano (ver Apéndice 2) permite obtener que el tiempo demorado para que la partícula llegue a rg (en un cálculo ideal con el Sol puntual), es 2371115,2 s (y luego, en 10 q.s más llegaría a r = 0). Y dado que la luz demoraría (r1 - rg) /c £ n/c = 500 s en llegarle desde el punto de partida en la órbita de la Tierra, el tiempo disponible para enviarle señales sería de unos 2370615 s.

Una simulación con las fórmulas relativistas por otra parte (también Apéndice 2), permite obtener la coordenada t para el tiempo demorado por la partícula en llegar a la inmediata vecindad del horizonte, en donde dr/dt tiende a anularse definitivamente para mantenerse así hasta t^x¡. Este valor de t resulta ser 2371115,3 s, igual en 7 cifras al resultado del cálculo clásico.

De manera que queda perfectamente corroborado el cálculo (levemente sobreestimado, como habíamos pre visto), del tiempo límite t* según (12).

Y por otra parte también queda perfectamente claro que la casi totalidad del viaje no se distingue de lo que predice el cálculo clásico , porque además de que la curvatura del espacio se hace importante solamente en la inmediata vecindad del horizonte, la velocidad no alcanza valores relativistas hasta esa zona: en un simple cálculo clásico de conservación de la energía la velocidad de nuestra partícula llega a c en rg (por definición de rg), y a c/10 en r = 100rg).

APARENTE, RELATIVO Y RELATIVISTA

Hemos hecho un cálculo que se limita al movimiento en caída libre exactamente radial desde el infinito. La razón para elegir ese cálculo es que para él específicamente disponemos de las expresiones necesarias con ayuda de las coorde nadas (X, T), y no para otros casos. Pero las fórmulas utilizadas muestran (y los números del ejemplo lo destacan enfáticamente), que el movimiento transcurre de manera perfectamente clásica hasta la inmediata vecindad del ho rizonte, que es la única parte en la cual tienen lugar los comportamientos relativistas, extraños para la descripción clásica.

De manera que para estos comportamientos extraños que ahora vamos a interpretar, es irrelevante que el inicio de la caída haya sido desde el infinito, o desde algún otro punto distante cualquiera.

Así, las conclusiones a que llegaremos serán igualmente válidas para cualquier caso de caída libre radial desde un punto lejano al origen, con o sin velocidad inicial.

Lo que hemos encontrado es que el viaje es esencialmente clásico hasta tal vez 10 rg. Pero el radio del horizonte es muy pequeño, y tanto rg como 10 rg constituyen distancias ínfimas en comparación con el viaje considerado. Y aunque las diferencias entre la teoría clásica y la RG se pueden comenzar a notar cuando r se acerca a 100 rg, no se hacen drásticas hasta que r es casi igual a rg.

Efectivamente, en los últimos milisegundos de un viaje de varios días (o meses), el valor absoluto de dr/dt, que según tanto la teoría clásica como la RG, ha llegado a ser del orden de la velocidad de la luz, bruscamente, en vez de aumentar hasta el infinito como lo indicaría la teoría clásica en esos últimos milisegundos, cae a casi cero!

En las coordenadas (t, r) la partícula viajera se detiene de manera inimaginablemente brusca - contra toda intuición mecánica (ver figura 11.b).

no solamente la partícula lo hace. Si hubiera luz acompañando o persiguiendo a la partícula, ella tendría exacta mente el mismo comportamiento allí.

Si pensamos en muchas partículas cayendo desde distintas direcciones amontonándose todas contra el horizonte junto con la luz, sin poder avanzar y cruzarlo, tenemos una imagen casi grotesca, totalmente reñida con las leyes mecánicas, que nos impulsa a preguntar: ¿qué fuerza puede estar deteniendo y haciendo que se aplaste toda esa materia contra esa superficie inmaterial?

Nos sentimos impulsados a decir que la Mecánica no permite esto, y que algo como la verdadera descripción es la que se hace con las coordenadas (T, X), en las cuales partícula y luz cruzan el horizonte sin ningún impedimento ni demora.

Pero pensar así es un error, y una buena manera de entenderlo es a través del conocido ejemplo de los mesones p, muy utilizado a veces para entusiasmar a públicos no especialistas, presentándoles razones para creer en la realidad de la "dilatación temporal".

Se sabe que estos mesones se producen en la alta atmósfera como resultado de la interacción de los rayos cósmi cos con partículas atmosféricas. Como resultado de estas interacciones se producen muchas partículas, y entre ellas estos mesones que parten con velocidades muy cercanas a las de la luz (del orden del 99,98 % de c), y tienen una vida media del orden de 2,2xi0^-6 s, luego de la cual se desintegran a su vez en otras partículas. Ahora bien, la altura media a la que se producen estos mesones es de unos 30 km, y viajando a la velocidad de la luz ellos podrían recorrer hasta desintegrarse una distancia media de unos 600 m. Pero una gran fracción de ellos es detectada a nivel del mar, es decir después de haber recorrido 30 km. Y dado que su velocidad no podría superar (ni alcanzar) la de la luz, ello implica que han viajado al menos durante 10^-4 s, es decir un tiempo casi 50 veces superior a lo que es la duración de su vida media. Resultado espectacular que se suele presentar a las audiencias noveles como muestra de la "dilatación temporal" que predice la RE para los viajeros con velocidades cercanas a c.

lo que nos interesa en este momento es que tenemos dos tiempos en el relato. Uno es el intervalo de tiempo propio del viajero: Ax = 2,2 ps. Es una de las propiedades características de estos muones: su vida media.

El otro es At = 100 ps. Es el tiempo que vive el muon en nuestro referencial de observadores terrestres. No es indicativo de propiedades de la partícula, ya que depende de la velocidad relativa entre esta y el observador.

Pero ambos valores son igualmente reales. Ninguno es aparente. En nuestro referencial de observadores terres tres, el muon ha vivido realmente 100 ps, y eso no contradice que en su referencial propio haya vivido los 2,2 ps que lo caracterizan.

Además de esto efectos relativistas, podría haber efectos aparentes si hubiera posibilidades de que observadores situados en diferentes lugares vieran los procesos de creación y aniquilación (por ejemplo captando señales luminosas que se produjeran de alguna manera en cada evento). Estos observadores, restando el instante en que lo vieron nacer, de aquél en que lo vieron morir, atribuirían otras diferentes duraciones a la vida del muon, que serían aparentes, y dependientes de la ubicación relativa de cada observador.

Ni en el caso del muon, ni en nuestro caso del AN estamos interesados en estos aspectos aparentes.

De manera que, volviendo al caso que nos interesa, aunque t no es la variable más adecuada para describir el tiempo muy cerca del horizonte, no es una variable sin sentido físico: es el tiempo de los observadores lejanos, y ha sido definido de manera de sincronizar todos los relojes estáticos del referencial que tiene en reposo al AN, de manera que eventos que ocurren en iguales valores de t son simultáneos para todos estos observadores (estáticos).

Es decir, el observador lejano no puede ni intenta ver, pero sí puede saber que allá, en la vecindad del horizonte, el tiempo transcurre tan lentamente en relación con la variable t, que prácticamente puede decirse que el tiempo se ha congelado allí. La partícula y la luz prácticamente se han detenido para él, porque el tiempo del lugar por el que están pasando prácticamente se ha congelado en relación con su tiempo. Y así puede esperar hasta el infinito el ob servador lejano, y la luz y la partícula viajera seguirán congeladas sin cruzar el horizonte (estamos abusando un poco del concepto de congelar, en función de su valor representativo).

Sin embargo el astrofísico, que es un simple observador lejano más, usuario de la coordenada t, dirá que luego de t* + ri/c ya cruzaron el horizonte; que el agujero negro ya habrá devorado esta partícula, y que por eso no podremos comunicarnos con ella. ¿Miente el astrofísico? Para aclarar esta situación es necesario revisar un detalle que se en tiende mejor haciendo otro cálculo numérico.

UN ÚLTIMO DETALLE

Es ilustrativo tratar de calcular a qué distancia del horizonte está la partícula después de un At razonable, digamos 100 s, después de comenzar la caída de dr/dt mostrada en la figura ii.b, o sea, digamos, después de estar aproxima damente 100 s "congelada", según el criterio del observador lejano.

En el Apéndice 3 se muestra el cálculo, según el cual la diferencia r-rg luego de solamente 100 s de congelamiento, es del orden de 10^-1t|7 metros. Es decir, estamos ante una distancia inimaginablemente pequeña. La calculadora no puede manejar esos números. La calculadora de bolsillo suele manejar hasta 10^-100. La longitud de Planck es del orden de 10^-35 m. Y ahora estamos hablando de 1o^-10000000.

Son distancias que no tienen sentido físico, y su pequeñez influye porque la materia de la partícula, al agregarse a la masa M, hace aumentar el valor de rg. Y este aumento, por pequeño que sea, fácilmente puede resultar mucho mayor que estas distancias. Efectivamente, según la expresión (3) un incremento SM produce un incremento 8rg = (8M/M) rg. Así tenemos que si agregamos la masa de un electrón a la masa del Sol (supongámosla distribuida en una capa esférica, para seguir teniendo un problema con esa simetría), vemos que el radio gravitatorio se incrementa en: Srg = 0,5x10^-60 rg = 1,5x10^-57m. Este incremento es enormemente superior a lo que le faltaba a la capa esférica de