Hipervariedades mínimas algebraicas en Sn

Perdomo, Oscar Mario; Mesa P., Héber

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Revista de la Unión Matemática Argentina

versão impressa ISSN 0041-6932versão On-line ISSN 1669-9637

Rev. Unión Mat. Argent. v.47 n.2 Bahía Blanca jul./dez. 2006

Hipervariedades mínimas algebraicas en Sⁿ

Oscar Mario Perdomo and Héber Mesa P.

Abstract: En este artículo se discutirá la existencia de hipervariedades compactas mínimas en la esfera -dimensional que se pueden escribir como la hipersuperficie de nivel de un polinomio homogéneo de grado . Es decir estamos interesados en hipervariedades mínimas de la forma M = {x ∈ ℝn+1 | |x| = 1, p(x) = 0} para algún polinomio homogéneo irreducible p : ℝn+1 → ℝ .

Introducción y preliminares

Sea una variedad n - 1 dimensional compacta y sin frontera, orientable, y φ : M → Sn una inmersión. Para todo p ∈ M existe una vecindad U ⊆ M que contiene a tal que φ(U ) ⊂ Sn es difeomorfa a . Identificaremos con φ(p) , con φ(U ) y cada vector v ∈ T M p con dφ (v) ∈ T Sn p φ(p) . Denotaremos por ν : M → Sn una aplicación de Gauss sobre , es decir, satisface que ⟨ν(p),ν(p)⟩ = 1 , ⟨ν(p),p⟩ = 0 y ⟨ν (p),v⟩ = 0 para todo v ∈ TpM . Así, para todo p ∈ M se tiene que TpSn = TpM ⊕ gen{ν (p )} . Es posible demostrar que para esta aplicación se tiene que dνp(v) ∈ TpM para todo vector . Definimos el operador de forma Ap : TpM → TpM como Ap (v) = - d νp(v ) . No es difícil demostrar que A p es una aplicación lineal autoadjunta, esto es ⟨A (v),w⟩ = ⟨v,A (w)⟩ p p para todo par de vectores v,w ∈ TpM ; esto garantiza la existencia de n - 1 vectores e1,...,en-1 ∈ TpM ortogonales y n - 1 números reales κ1 (p ),...,κn -1(p) tales que Ap (ei) = κi(p)ei para i = 1,...,n - 1 . Estos valores propios de son conocidos como curvaturas principales de en . La curvatura media H : M → ℝ se define en cada punto como el promedio de las curvaturas principales, esto es H (p) = --1-(κ (p) + ⋅⋅⋅ + κ (p)) n- 1 1 n-1 . es llamada mínima si la curvatura media es idénticamente cero y es llamada totalmente geodésica si las curvaturas principales en cada punto de son cero. Diremos que una hipervariedad en n S es algebraica si existe un polinomio homogéneo irreducible f : ℝn+1 → ℝ tal que φ (M ) = f- 1(0) ∩ Sn . Si el grado de es diremos que es algebraica de grado . En el caso en que |∇f (p)| ⁄= 0 para todo p ∈ M podemos definir una aplicación de Gauss en cada punto como -∇f(p)- ν(p) = |∇f(p)| , y ya que es la preimagen de un valor regular de una función diferenciable, entonces se encuentra encajada en .

A la hora de buscar ejemplos de hipervariedades en n S que sean mínimas y algebraicas podemos ver el problema desde dos perspectivas diferentes, considerar el conjunto de polinomios homogéneos y determinar cuáles de ellos reproducen variedades mínimas, o determinar cuáles de los ejemplos conocidos de variedades mínimas en pueden ser modelados por algún polinomio homogéneo.

1. Ejemplos conocidos

A continuación mostraremos algunos ejemplos conocidos de hipervariedades mínimas n n+1 M ⊂ S ⊂ ℝ que se pueden escribir como la preimagen de cero de algún polinomio homogéneo irreducible.

1.1. Ecuadores. Uno de los ejemplos más sencillos son los ecuadores, los cuales son de la forma n-1 n S (v) = {x ∈ S | ⟨x, v⟩ = 0} donde n v ∈ S . En este caso la aplicación de Gauss se puede definir por ν(p) = v , dado que es constante, entonces dνp es idénticamente cero, igualmente el operador de forma. Claramente las curvaturas principales son cero en cada punto, y así, Sn -1(v) es totalmente geodésica y por tanto mínima. Si consideramos el polinomio homogéneo p : ℝn+1 → ℝ definido por p(x) = ⟨x,v⟩ , entonces n-1 -1 n S (v) = p (0) ∩ S , lo que nos indica que n-1 S (v) es algebraica. Esto prueba que los ecuadores son algebraicos de grado 1. Recíprocamente es fácil verificar que si -1 n M = p (0) ∩ S , donde es un polinomio homogéneo de grado 1, entonces es un ecuador. Luego estos son los únicos ejemplos de hipervariedades mínimas algebraicas de grado 1.

1.2. Variedades de Clifford. Sean k,l enteros tales que k + l = n - 1 con 1 ≤ k,l ≤ n - 1 , definimos Mk,l = {x ∈ Sn | l(x21 + ⋅⋅⋅ + x2k+1) - k(x2k+2 + ⋅⋅⋅ + x2n+1) = 0} . No es difícil ver que ∘ ---- ∘ ---- k ( -k-) l( -l-) Mk,l = S n-1 × S n-1 , donde m S (r) es la esfera -dimensional en m+1 ℝ con centro en el origen y radio . Se puede demostrar que las curvaturas principales son constantes y están dadas por ∘ -- l κ1 = ⋅⋅⋅ = κk = k y ∘ -- k κk+1 = ⋅⋅⋅ = κn-1 = - l . Fácilmente se comprueba que Mk,l es mínima. Diremos que una hipervariedad M ⊂ Sn es Clifford si se puede obtener por un movimiento rígido de Mk,l . Note que Mk,l también es algebraica pues Mk,l = p-1(0) ∩ Sn , donde p : ℝn+1 → ℝ es el polinomio homogéneo p(x ) = l(x2 + ⋅⋅⋅ + x2 ) - k (x2 + ⋅⋅⋅ + x2 ) 1 k+1 k+2 n+1 .

En el caso en que k = l = 1 tenemos la superficie mínima algebraica M1,1 en 3 S ; esta superficie es llamada toro de Clifford y va a ser de gran importancia ya que aparece en otras familias de superficies mínimas algebraicas en .

1.3. Variedades isoparamétricas. Una hipervariedad es llamada isoparamétrica si sus curvaturas principales son constantes, es decir, no dependen del punto en la variedad donde se determinan. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, los ecuadores y las hipervariedades de Clifford son ejemplos de hipervariedades isoparamétricas en . Un teorema importante en el estudio de estas hipervariedades afirma que solo existen como máximo dos posibilidades para las multiplicidades de las curvaturas principales, las cuales se denotan m 1 y m 2 [7]. En 1980 Munzner demostró que toda hipervariedad isoparamétrica con curvaturas principales distintas es algebraica de grado . Más aún, él probó que un polinomio homogéneo de grado determina una hipervariedad isoparamétrica, si y solo si satisface las siguientes ecuaciones

g2(m2-m1) g-2 Δp = ----2----|x| |Dp |2 = g2|x|2g- 2

(1)

Un año más tarde, Munzner determinó los posibles valores de para los cuales existen hipervariedades isoparamétricas, específicamente demostró que el grado de un polinomio que es solución de (1) solo puede ser 1,2,3,4, ó .

Todo polinomio homogéneo solución de (1) tiene la propiedad de que para todo - 1 < t < 1 la hipervariedad -1 n Mt = p (t) ∩ S es suave e isoparamétrica, además la curvatura media de varía de forma monótona entre - ∞ y + ∞ cuando varía entre y ; luego existe un tal que la curvatura media de Mt0 es cero, es decir Mt0 es mínima. Se sabe que para g = 1,2,3 estas hipervariedades mínimas e isoparamétricas están caracterizadas: para g = 1 son los ecuadores y para g = 2 las variedades de Clifford; para g = 4,6 hay algunos ejemplos pero no se han caracterizado.

1.4. Ejemplos no encajados. En [1] Lawson demuestra que para el polinomio homogéneo -- pk,m(x ) = Im (zk wm ) se tiene que p- 1(0) ∩ S3 es mínima, donde z = x1 + ix2 y w = x3 + ix4 . Note que estos ejemplos muestran la existencia de superficies mínimas algebraicas de cualquier grado en . Para el caso en que k = 1 y m = 1 se tiene que p1,1 determina el toro de Clifford; se puede verificar que este es el único ejemplo de esta familia que está encajado.

2. Los ejemplos de Lawson

Ejemplos de hipervariedades mínimas en son escasos. En 1970, Lawson construyó una gran familia de superficies mínimas y compactas en 3 S , [1]. Estos ejemplos mostraron que toda superficie compacta, excepto el espacio proyectivo, se puede inmersar en 3 S de manera mínima. Más aún, toda superficie compacta y orientable se puede encajar en . Lawson dividió esta gran familia de superficies en varias subfamilias. En esta sección describiremos una de estas familias y abordaremos la pregunta sobre si estas superficies son o no algebraicas.

2.1. Superficies ξm,k . Consideremos las circunferencias 3 C1 = {(x ∈ S | x1 = x2 = 0} y 3 C2 = {x ∈ S | x3 = x4 = 0} . Para cada par de enteros no negativos y tomemos puntos P1, P2 ∈ C1 y Q1, Q2 ∈ C2 tales que la distancia en entre y sea m+π1- y la distancia en entre y sea -π- k+1 . Construyamos el polígono P1Q1P2Q2 tal que sus lados sean segmentos de geodésica y dos vértices son unidos a través del segmento de geodésica más corto entre ellos. Denotaremos a este polígono geodésico Γ m,k . Consideraremos 𝔐 Γ m,k la superficie en solución al problema de Plateau asociada a esta curva cerrada, entonces es mínima y ∂(𝔐 Γ m,k) = Γ m,k . La geodésica que pasa por y la notaremos , la que pasa por y la notaremos , y análogamente denotamos y γ 4 . Note que toda geodésica en , cuando es vista como un subconjunto de , está contenida en un plano 2 dimensional que pasa por el origen. Es fácil verificar que γ1 ⊂ gen {P1,Q1 } , γ2 ⊂ gen {P2,Q1 } , γ3 ⊂ gen {P2,Q2 } y γ4 ⊂ gen {P1,Q2 } . A cada geodésica asociaremos una isometría rγi : S3 → S3 que consiste en una reflexión sobre el plano donde la geodésica se encuentra. La primera simetría rγ 1 se determina como sigue rγ (x) = 2(⟨x,P1⟩P1 + ⟨x, Q1⟩Q1 ) - x 1 ; las demás se definen de manera análoga. Denotaremos G Γ m,k el grupo generado por las simetrías asociadas a cada geodésica, esto es G Γ m,k = ⟨rγ1,rγ2,rγ3,rγ4⟩ . Sea ξm,k = g∈G∪ g(𝔐 Γ m,k) ⊂ S3 Γm,k ; se demuestra que esta es una superficie mínima, orientable, compacta y sin frontera de género . Acerca de la algebraicidad de estas superficies, se tiene que ξ1,1, es el toro de Clifford y por tanto una superficie algebraica. Lawson en [1] conjetura que ξ2,2 no es algebraica, la conjetura aún sigue abierta. Nosotros demostramos que si ξ2,2 es algebraica, entonces su grado debe ser impar mayor o igual a .

Figura 1

Figura 1: Región fundamental

3. Condición y conjetura

Para cada polinomio n+1 p : ℝ → ℝ de grado definimos 2 1 ⟨ 2 ⟩ Expr (p) = |∇p | Δp - 2 ∇ |∇p | ,∇p . Note que es un polinomio homogéneo de grado 3k - 4 . Es conocido que si es algebraica y mínima, entonces el polinomio irreducible que determina a satisface que se anula en , [1]. Polinomios que satisfacen esta propiedad serán llamados polinomios que satisfacen la condición de minimalidad. En general no es cierto que todo polinomio que satisface la condición de minimalidad determina una hipersuperficie mínima. Por ejemplo, el polinomio p : ℝ5 → ℝ definido por p(x ) = x21 + x22 - x23 - x24 satisface la condición de minimalidad, pero el conjunto p- 1(0 ) no es la imagen de una inmersión ya que p-1(0) tiene una singularidad en ± (0,0,0,0,1 ) .

Note que el problema de hallar estos polinomios no es algebraico ni de ecuaciones diferenciales parciales, por que se requiere que Expr (p) se anule en el conjunto -1 p (0) donde es desconocido.

En el caso en que divida a Expr (p) , es decir, si p | Expr (p) , claramente se tiene que satisface la condición de minimalidad, pero no sabemos si es cierto que si esta condición se cumple entonces deba ser un múltiplo de . Observamos que si en lugar de estar trabajando con polinomios sobre los reales, estuviésemos trabajando con polinomios sobre los complejos, entonces el teorema de los ceros de Hilbert garantizaría que el polinomio debería dividir al polinomio Expr (p) . Es decir, si se tuviese un teorema de los ceros de Hilbert para polinomios sobre los reales, entonces, el problema de hallar hipervariedades mínimas en sería un problema algebraico, un problema que se reduce a resolver un sistema de ecuaciones. Algunos ejemplos sencillos de polinomios y de variable real, donde se anula en todos los puntos donde se anula , pero no es un múltiplo de , ocurren porque tiene "pocos ceros reales" en el sentido de que el conjunto -1 p (0) está contenido en una variedad de dimensión menor que y no determina una subvariedad -dimensional, como ocurre en general.

Por esta razón esperamos que si exigimos al polinomio anularse en una variedad -dimensional entonces se tenga una versión del teorema de los ceros de Hilbert en ℝn+1 . Propondremos la siguiente conjetura:

Conjetura: Si n+1 p : ℝ → ℝ es un polinomio homogéneo tal que -1 p (0) es una hipervariedad mínima, entonces p | Expr (p) .

En el caso en que el grado de sea uno o dos, dado que se conocen las hipervariedades mínimas en cada caso, se puede demostrar que la conjetura es cierta. Más aún, los polinomios que determinan hipervariedades isoparamétricas de grado 3 satisfacen la conjetura. Esto se demuestra usando la ecuación (1) de la sección 1.3 y el hecho de que en este caso m1 = m2 , [7].

Si la conjetura fuese probada, el problema de determinar hipervariedades mínimas en n S se convertiría en un problema algebraico. Si denotamos por k n+1 P (ℝ ) al espacio de polinomios homogéneos de grado en ℝn+1 , podemos considerar la función ψ : Pk(ℝn+1 ) × P2k-4(ℝn+1 ) → P3k -4(ℝn+1 ) definida por ψ (p,q) = Expr (p) - pq , y entonces estaríamos interesados en encontrar los ceros (p,q) de este operador con irreducible, ya que éstos determinarían los posibles ejemplos de hipervariedades mínimas algebraicas.

4. Resultados e ideas de la demostración

En esta sección se discutirán algunos resultados parciales obtenidos. Como se puede apreciar después de pensar un poco en el problema de encontrar polinomios que satisfacen la condición de minimalidad, la dificultad de este problema aumenta a medida que el grado del polinomio y la dimensión de la esfera aumentan. El primer caso interesante es el caso de los polinomios de grado 3 en 4 ℝ , es decir, superficies algebraicas en 3 S . Este caso lo resolvimos completamente, y demostramos que no existen superficies algebraicas de grado 3 que estén encajadas; luego demostramos que la únicas que están inmersas son los ejemplos de Lawson de grado 3 discutidos en la sección 1.4. Desde el punto de vista algebraico se ha demostrado que los únicos polinomios irreducibles en el espacio 20 dimensional de polinomios homogéneos de grado 3 en 4 ℝ que satisfacen la condición de minimalidad son los obtenidos por el polinomio 2-- p(x) = Im (z w ) , donde z = x1 + ix2 y w = x3 + ix4 , salvo un cambio ortogonal de coordenadas. El siguiente caso en orden de dificultad es el de polinomios de grado 4 en . La dificultad en este caso aumenta considerablemente ya que la dimensión del espacio de polinomios homogéneos en cambia de 20 a 35 cuando el grado de los polinomios cambia de 3 a 4. En general, la dimensión del espacio k n+1 P (ℝ ) es (n+k) k . Nosotros consideramos el caso de los polinomios de grado 4 en 4 ℝ y demostramos que ninguno de estos polinomios determinaba una de las superficies ξm,k , es decir, demostramos que ninguna superficie de esta familia de ejemplos de Lawson es analítica de grado 4.

Una observación importante en este estudio de hipervariedades algebraicas es que todas ellas tienen simetría antipodal, esto se debe a que si x ∈ p- 1(0) entonces - x ∈ p-1(0) . Concentrándonos por un momento en superficies algebraicas regulares en 3 S , es decir, superficies tales que |∇p (x)| ⁄= 0 para todo - 1 x ∈ p (0 ) = M , podemos notar que es una superficie encajada en y por lo tanto orientable. Si identificamos cada punto con su antipodal en obtenemos una superficie compacta y encajada en ℝP 3 , donde para cada x ∈ M se tiene que $^ [x] = {x,- x} ∈ M$ . Acerca de superficies encajadas en 3 ℝP se tiene el siguiente teorema.

Teorema 1 [6]. Sea una superficie no orientable y compacta. se puede encajar en ℝP 3 si y sólo si la característica de Euler de es impar.

Resolvamos ahora la pregunta ¿cuándo la superficie es orientable? Note que T ℝP 3 = T S2 ∐ T S2 ∕~ [x] x -x , donde identificamos cada vector v ∈ T S2 x con 2 - v ∈ T- xS y representa la operación unión disjunta de conjuntos. Dado que ℝP 3 es orientable, entonces es orientable si y sólo si existe un campo vectorial normal ^ν : ^M → T ℝP 3 . Si el grado del polinomio que determina a es par, entonces ∇p (x ) es impar y [ ∇p(x)] ^ν([x]) = |∇p(x)| está bien definido y por tanto es orientable. Análogamente si el grado de es impar, entonces ^ M no es orientable. Note que usando el teorema anterior y el hecho de que la característica de Euler de toda superficie compacta sin frontera y orientable es par, se demuestra que la característica de Euler de es impar si y sólo si el grado de es impar.

A continuación enunciaremos los resultados obtenidos por los autores en esta línea. Aunque no presentaremos las demostraciones correspondientes, daremos algunos puntos claves de su desarrollo.

Teniendo en cuenta que χ (M ) = 2χ (M^ ) , entonces del Teorema 1 y las observaciones hechas acerca de la orientabilidad de , deducimos información sobre la superficie en términos de su característica de Euler según la paridad del grado del polinomio homogéneo que la determina.

Resultado 1 [3]. Sea 3 M ⊂ S una superficie algebraica regular. es de grado par si y sólo si la característica de Euler de es par.

La demostración se obtiene directamente del Teorema 1 y de las observaciones hechas arriba.

Resultado 2 [4]. No existen superficies mínimas algebraicas encajadas de grado tres en .

La demostración de este resultado consiste en considerar un polinomio general de grado 3 en y suponer que este satisface la condición de minimalidad. Luego, sin pérdida de generalidad, se hacen algunas consideraciones sobre el polinomio, correspondientes al hecho de suponer que el punto (0,0, 0,1) es un punto de la variedad, y que el espacio tangente en (0,0,0,1 ) es el espacio { (x, y,0,0) : x,y ∈ ℝ } . Estas consideraciones brindan algunas ecuaciones sobre los coeficientes de , en particular algunos de estos coeficientes se anulan, disminuyendo el número de variables a considerar. Una vez hecha esta reducción se determinan algunas soluciones de la ecuación p(x) = 0 en términos de sus coeficientes, un problema difícil, pues el polinomio es general; en realidad estamos encontrando puntos sobre la superficie p-1(0) . Estas soluciones también satisfacen la ecuación Expr (p)(x) = 0 dada la condición de minimalidad, y esto nos brinda nuevas ecuaciones sobre los coeficientes de . Ahora se desea encontrar suficientes ecuaciones sobre estos coeficientes como para determinar el polinomio ó llegar a una contradicción con la existencia de dicho polinomio. Un paso clave en la demostración de este teorema fue utilizar el hecho de que la superficie no puede ser topológicamente un toro por el Teorema 1, y por lo tanto, las curvaturas principales deben anularse en algún punto [1].

Resultado 3 [5]. Salvo un cambio de coordenadas, la única superficie mínima e inmersa en que es algebraica de orden 3, es la dada por el polinomio p1,2 de la sección 1.4.

La demostración de este teorema es análoga a la anterior pero algunas ecuaciones sobre los coeficientes del polinomio que determina la superficie mínima se hacen usando los siguientes dos lemas:

Lema 1 [5]. Si esta inmersa de manera mínima en 3 S y para algún subespacio tres dimensional V ⊂ ℝ4 se tiene que M ∩ V es una circunferencia de radio 1, entonces debe ser un ecuador.

Lema 2 [5]. Todo polinomio de grado 3 en 4 ℝ que satisface la condición de minimalidad debe anularse en un subespacio dos dimensional.

Resultado 4 [3]. Ninguno de los ejemplos de Lawson ξm,k con suma de índices impar es algebraico. Aún más, no tienen simetría antipodal.

Para la demostración de este teorema se realizó una división de la esfera 3 S en subconjuntos que denominamos cuadrantes generalizados, y determinamos cuáles de estos cuadrantes eran ocupados por la superficie ξm,k estudiando la acción del grupo G Γ m,k sobre esta familia de cuadrantes. Demostramos que en el caso en que m + k es impar, la superficie ocupaba un cuadrante, pero no el cuadrante antipodal, concluyendo así que la superficie no puede tener simetría antipodal.

Resultado 5 [3]. Si ξm,k es una superficie algebraica regular, entonces ξm,k es de grado impar si y solo si es par. En particular ninguno de los ejemplos de Lawson ξ k,m con par, es algebraico de grado par.

En el caso de que la superficie ξm,k sea algebraica de grado par se concluye por el Resultado 1 que la superficie ^ξm,k tiene característica de Euler par. Dado que la característica de Euler de ξm,k es 2 - 2mk , entonces ^ξm,k tiene característica de Euler 1 - mk , y por lo tanto es impar. Análogamente el resultado se tiene cuando suponemos que ξm,k es de grado impar.

Resultado 6 [3]. Si la superficie ξ m,k es algebraica de grado , entonces n > max {m, k} .

Note que si un polinomio en tiene muchas raíces, entonces su grado debe ser al menos igual al número de raíces; para la demostración de este resultado razonamos de manera análoga. Suponemos que existe un polinomio de grado tal que ξm,k = p- 1(0 ) ∩ Sn y demostramos que este polinomio se anula en un conjunto de planos, lo que permite una escritura del polinomio que da la condición buscada sobre el grado de . Esto se deriva del siguiente lema:

Lema 3 [3]. Sean u ,...,u ,v ,...,v ∈ Sn- 1 1 k 1 m tales que para todo 1 ≤ i ≤ k , 1 ≤ j ≤ m se tiene ⟨ui,vj⟩ = 0 y para i1 ⁄= i2 , j1 ⁄= j2 cada par de vectores ui1,ui2 y vj1,vj2 son linealmente independientes. Si n f : ℝ → ℝ es un polinomio que se anula en los conjuntos Wi,j = {x ∈ ℝn : lui(x) = 0 y lvj(x) = 0} , entonces existen polinomios n p, q : ℝ → ℝ tales que ( ) ( ) k m f(x ) = iΠ=1lui(x) p(x) + Πj=1lvj(x) q(x) , donde lu(x) = ⟨u,x⟩ .

Resultado 7 [3]. Ninguno de los ejemplos de Lawson ξ m,k es algebraico de grado cuatro.

La demostración de este teorema se obtiene aplicando algunos de los resultados anteriores y usando algunas ideas de la demostración del Resultado 2. Note que el Resultado 6 implica que las únicas posibles superficies algebraicas de grado 4 son ξ1,1 , ξ1,2 , ξ1,3 , ξ2,2 , ξ2,3 , ξ3,3 . El Resultado 5 garantiza que ξ1,2 , ξ2,2 , ξ2,3 no lo son y ξ1,1 es el toro de Clifford. Para demostrar que ξ1,3 y ξ3,3 tampoco son algebraicas de grado 4, se supone la existencia de un polinomio homogéneo tal que satisface la condición de minimalidad y -1 n ξm,k = p (0) ∩ S . Dado que se conocen algunos puntos de la superficie podemos encontrar ecuaciones para los coeficientes de usando la ecuación Expr (p )(x ) = 0 y así se llega a una contradicción.

References

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[2] Munzner, H. Isoparametrische Hyperflachen in Spharen (geometrischer Teil), Math. Ann. 251, (1980) pp 57-71. [ Links ]

[3] Mesa, H. Superficies mínimas algebraicas de grado cuatro en 3 S . Tesis de Maestría, Universidad del Valle, 2005. [ Links ]

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