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Cuadernos de historia de España

versión On-line ISSN 1850-2717

Cuad. hist. Esp. v.78 n.1 Buenos Aires ene./dic. 2003

 

De Arismetica. Un manual de aritmética para mercaderes

Betsabé Caunedo del Potro

Universidad Autónoma de Madrid

RESUMEN

El objeto de este trabajo es presentar un manuscrito de aritmética comercial del siglo XIV escrito en castellano. Este tipo de escritos constituye una prueba de la práctica de una actividad didáctica de esta disciplina en Castilla, puesta al servicio de un comercio activo, que establecía relaciones entre mercaderes castellanos y centros europeos tanto atlánticos como mediterráneos. La nueva producción aritmética aparece íntimamente ligada a la "revolución" comercial y urbana, y contaba en Castilla con una rica tradición andalusí, tradición que permitió a la sociedad castellana utilizar, en un momento determinado, todo el acervo cultural matemático que poseía y conocía desde años atrás y que iba a ser objeto de nuevas y fecundas influencias.

El manuscrito estudiado presenta una pequeña colección de problemas (48), que deben proporcionar unos conocimientos apropiados de las operaciones con fracciones.

PALABRAS CLAVE: Aritmética mercantil castellana - Siglo XIV.

ABSTRACT

The aim of this work is to introduce a manuscript on commercial arithmetic written in Castilian in the fourteenth century. This kind of document proves the general practice of an educational activity on the subject in Castile, meant to serve a lively trade which involved deals between Castilian merchants and European centres both Atlantic and Mediterranean. The new arithmetic production is closely linked to the urban and commercial "revolution", there being a rich Andalusi tradition in Castile, which enabled Castilian society to use all the mathematical cultural heritage acquired over a long time, and which would be affected by new influences.

The document contains a small collection of problems (48) meant to provide the reader with the appropriate knowledge on operations with fractions.

KEY WORDS: Castilian commercial arithmetic - Fourteenth century.

   A lo largo del siglo XIV fueron elaborándose en el heterogéneo territorio que conformaba la Corona de Castilla los primeros escritos, en nuestro idioma, de lo que podríamos denominar aritmética mercantil.(1) Constituyen buenos ejemplos de una auténtica literatura técnica sobre las aplicaciones al campo del comercio de una nueva aritmética que se difundió por Europa en las primeras décadas del siglo XIII, como consecuencia del contacto del mundo musulmán y la Europa latina en la amplia frontera sureuropea, a través de la gran vía de comunicación que fue el Mediterráneo.

   La existencia de estos escritos propios supondrían una prueba de la práctica de una actividad didáctica en Castilla de esta nueva disciplina puesta al servicio de un comercio activo que establecía relaciones entre mercaderes castellanos y centros europeos, tanto atlánticos como mediterráneos. Es uno de los instrumentos técnicos que nos ayudan a explicar la explosión que conoce la Europa medieval -también Castilla- en su actividad mercantil, pues esta producción aritmética aparece íntimamente ligada a la "revolución" comercial y urbana. Parecía destinada a facilitar los intercambios comerciales, a la vez que éstos estimulaban su rápido y eficaz desarrollo.(2) La destreza en el cálculo mercantil sería una de las "condiciones" requeridas por todo aquel que quisiese dedicarse al comercio. Las otras dos serían dinero o patrimonio y conocimientos contables.(3)

   De todos es sabido que la península italiana estuvo a la vanguardia del nuevo proceso de desarrollo comercial, especialmente la Toscana. La encontramos también a la vanguardia en el campo de la disciplina matemática, creando para su aprendizaje unos manuales específicos -Manuales de Ábaco- y una institución constituida por las Escuelas de ábaco que garantizaban la instrucción demandada por los nuevos hombres de negocios.(4) Estos textos, considerados como descendientes del Liber Abacci de Leonardo da Pisa,(5) se multiplicaron a buen ritmo, siendo más de 300 los manuscritos conservados en Italia anteriores a 1500.(6) Todos muy similares, responden a una misma exigencia y se estructuran de igual forma. Utilizan números indoarábigos, describen el sistema de numeración posicional en base 10, las operaciones y reglas esenciales: suma, resta, multiplicación, división, regla de tres… e insertan una serie más o menos larga de problemas resueltos. En estas obras, aparentemente claras y sencillas, se eliminan las citas y cualquier disgregación teórica para centrarse en lo que se cree que realmente interesaba al mercader, al hombre de negocios y a todo aquel que quisiere aprender la nueva aritmética, pues todas ellas van a estar escritas en lenguas vernáculas.(7) Razones de comodidad e inteligibilidad lo aconsejaban si se quería garantizar su uso por un público que ya no conocía el latín.

   De la península italiana, estos manuales se propagaron a otros puntos de Europa occidental.(8) Es probable que también a la península ibérica, cuyos reinos se beneficiarían de sus contactos con el mundo italiano para aprender el cálculo mercantil junto a otros muchos instrumentos técnicos que rápidamente adaptan, desarrollan y difunden. Sin embargo, si la influencia italiana puede estar ajena a toda duda, no podemos olvidar que nuestro país se benefició de otra fuente -importante y directa- digna de tener en cuenta para explicar la existencia y circulación de este tipo de literatura técnica, y que fue una riquísima tradición andalusí.(9) Una tradición que permitió a la sociedad castellana utilizar en un momento determinado, cuando la misma lo reclamó, todo el acervo cultural matemático que poseía y conocía desde años atrás y que la propia península había puesto a disposición del occidente europeo,(10) incluida ¿por qué no? la propia Italia. Un posible origen hispano atribuye Jens Hoyrup al considerado primer tratado de álgebra en lengua vulgar, el Tractatus Algorismi de Jacopo de Firenze.(11) Reivindica lo que él llama "particular idiosincrasia" para este tratado, y esa idiosincrasia es precisamente este origen hispano, desdeñando la vía tradicional de transmisión, la de Fibonacci, que consideran todos los tratados italianos.

   Recordemos que fueron dos las contribuciones más excepcionales del saber árabe en el campo de la aritmética. Una, la introducción de un nuevo sistema de numeración, y otra, el volver a dar a la disciplina una finalidad práctica al aplicarla a situaciones muy concretas de la vida diaria que exigían resultados cuantitativos. Destacamos, sin lugar a dudas, la introducción a gran escala del sistema numeral indio. Tanto es así que incluso este nuevo sistema perdió su auténtica denominación de origen para adaptar el de sus difusores. Y al lado de las cifras hindúes, el valor y uso del 0, la notación posicional en base 10 y las reglas necesarias para operar con ese sistema de numeración de posición.(12) Y de la finalidad pragmática, de su concepción de herramienta para otras ciencias, queremos destacar aquí, por su clara vinculación con la actividad mercantil, el surgimiento de la aritmética comercial, disciplina que recibe el nombre de Al Muawalat, y que sin lugar a dudas fue inspiradora de los tratados de aritmética mercantil, ampliamente difundidos en Occidente desde el siglo XIII, con los que comenzábamos estas líneas. Cuenta la península -que supo crear en la Córdoba califal un clima científico análogo al de Bagdad(13) beneficiándose desde el primer momento de las nuevas concepciones- con un testimonio importante de este género, una versión latina, de la segunda mitad del siglo XII, atribuida a Johannes Hispalensis y que lleva el título de Liber Mahameleth. Esta obra, estudiada por el profesor Sesiano,(14) plantea un esquema que después seguirán todas las aritméticas comerciales occidentales, popularizadas, como hemos visto, por los italianos. Una primera parte que podríamos denominar teórica, con la descripción de las operaciones aritméticas fundamentales: suma, resta, multiplicación, división, regla de tres, raíz cuadrada… y una segunda, práctica, que contiene una colección de problemas, aplicaciones de la aritmética a la vida diaria, sobre compra y venta de mercancías, contratación de obreros, distribución de alimentos, cambios de moneda, pequeños ejercicios de geometría; temas característicos, pronto "clásicos" en este tipo de tratados.

   Por esas mismas fechas, también en la península, se iba formando otro importante componente que resultaría imprescindible en la cadena de transmisión de la que estamos hablando: el eslabón judaico. Éste aportaría una nueva perspectiva que los mismos judíos van a transportar a los reinos cristianos peninsulares y a otros puntos del occidente europeo al compás de unas determinadas circunstancias históricas.(15) Dos nombres: Abraham bar Hiyya y Abraham Ibn Ezra.16 Dos obras clave en nuestra tradición aritmética: una Enciclopedia, Fundamentos de la inteligencia y fortaleza de la ciencia, y Libro del número. La Enciclopedia… de Abraham bar Hiyya se estructura en dos partes. En la primera, el autor se ocupa de la aritmética como ciencia o teoría de los números siguiendo de cerca la Introducción a la aritmética de Nicómaco, y en la segunda, de la ciencia del cálculo o logística, que también divide en dos partes: una que destina a la explicación de las operaciones aritméticas básicas, y otra, complementaria, que recoge casos prácticos, que corresponden a lo que claramente podemos denominar aritmética mercantil.(17) El Libro del número distribuye su contenido en siete capítulos, "puertas", que también explican las operaciones aritméticas fundamentales, después de haberse referido al valor de posición de las cifras 1-9 y utilizar un signo para señalar la ausencia de cantidades en una posición determinada, un gargal, "círculo", "rueda", "cero".(18)

   De momento, hemos señalado dos importantes componentes en esa rica tradición a la que aludíamos. Con ellos no está completa la cadena de transmisión. Nos falta, lo que deliberadamente hemos dejado para el final, un tercer elemento: el cristiano-latino, originario de esa tradición, y sobre el que se produciría la irrupción del saber árabe que traía consigo un caudal de conocimientos clásicos, más rico que el que se había conservado en Occidente, y que, por lo tanto, oscureció el sustrato occidental. Estos primeros cimientos cristiano-latinos, merecen, desde mi punto de vista, una mayor atención que la que hasta este momento se les ha prestado. De este conjunto, varios nombres, aunque también será en dos de ellos en los que fijemos fundamentalmente nuestra atención: Boecio y Beda el Venerable. De la mano de Boecio (435-480) llegó una primera tradición clásica en el campo de la matemática. Utilizando fuentes griegas compiló selecciones latinas de tratados elementales sobre aritmética, geometría y astronomía. Escribió Institutio Arithmetica,(19) una traducción resumen de la Introductio Arithmetica de Nicómaco. Su bajo nivel en matemáticas descendió todavía más en compilaciones posteriores: en las de Casiodoro (475-570),(20) y en las de S. Isidoro de Sevilla (560-636), que especialmente nos interesa destacar, ya que su obra, Las Etimologías, que dedica el libro III al estudio de las cuatro ciencias matemáticas, tuvo una enorme y rápida difusión estando presente en casi todo monasterio medieval.(21) Esta presencia aseguró la transmisión de una herencia que la obra recogía, conservaba y exponía. En algunos de estos cenobios no solamente se limitaban a conservar. También se estudiaba concienzudamente aunque con objetivos muy diferentes a los que hemos expuesto como propios de la "revolución comercial". Uno de esos objetivos fue la determinación de la mayoría de las fiestas religiosas, movibles, y definidas, desde el Concilio de Nicea, por la celebración de la Pascua.(22) Uno de esos estudiosos, preocupado además de por la historia de su país, por la determinación del calendario eclesiástico, fue Beda el Venerable.(23) Ello le llevó a cultivar profundamente la aritmética y a interesarse además por su enseñanza y difusión. En esta línea compuso De Arithmeticis Prepositionibus, colección de 55 problemas aritméticos y geométricos destinados a "desarrollar el ingenio de los jóvenes", a los que anteceden algunas anotaciones sobre los números.(24) Muchos de estos problemas, ya clásicos en tiempos de Beda, aparecen con las precisas adecuaciones de tiempo y lugar en prácticamente todos los tratados de aritmética medievales y renacentistas.(25) No hace mucho tiempo, David Singmaster presentaba varias recopilaciones de este tipo de problemas, resaltando las dificultades para establecer una correcta distribución geográfica de las fuentes de origen e insistiendo en la procedencia oriental de muchos de estos ejercicios que superaban así el origen griego tradicionalmente admitido.(26) Se sorprendía enormemente que Alcuino de York en sus Prepositiones ad acuendos juvenes presentase algunos problemas de este tipo,(27) y explicaba esa "sorprendente sorpresa" en los contactos que el artífice del primer movimiento general de recuperación occidental había mantenido con el mundo árabe. Pero olvidaba a Beda, en quien, sin lugar a dudas Alcuino directamente se habría inspirado. Los "estrenos europeos" que se han contemplado en Alcuino, hay que remontarlos a su antecesor Beda, quien evidentemente no pudo tener ningún contacto con el mundo musulmán. En él, la presencia de los mismos puede seguir sorprendiéndonos.(28)

   En la península ibérica confluían, pues, estas tres aportaciones: latina, arábiga y judaica. El marco peninsular resultaba inmejorable para su fusión, a la vez que también se mostraba receptivo a los conocimientos llegados de Italia y que difundían con respecto al comercio unos usos y prácticas mercantiles y empresariales sumamente eficaces. El ambiente puede resultar pues adecuado para presentar un nuevo manuscrito de aritmética comercial castellano, en el que se amalgaman todos los elementos citados y también expresamente el italiano. En la explicación que el autor nos da a uno de los problemas, parece referirse a un "interlocutor" italiano.(29) La existencia de estos diferentes tratados, en los que se observan distintas influencias, constituyen una prueba más de la importante vía de comunicación que, también en este campo, seguía siendo el Mediterráneo, produciendo unos modelos circulantes por todo su sector occidental.

   El manuscrito, De Arismetica, se conserva en muy buen estado en la Real Academia Española, Ms. 155, encuadernado en una miscelánea titulada Escritos Diversos: Dichos de sabios y filósofos; Libro del regimiento de la salud; Regimiento para conservar la salud de los omes; Coplas de Mingo Revulgo… entre los que se intercalan, muy brevemente, unas notas sobre las estaciones, recetas médicas, Sentencias de Salomón, notas sobre el componente de oro y plata en diferentes monedas y sobre algunos signos del zodíaco y sus características,(30) todos ellos foliados con numeración moderna en el margen superior derecho. Fue Bartolomé J. Gallardo a través de sus Ensayos de una biblioteca de libros raros y curiosos (31) quien nos ofreció una primera noticia de la existencia de este interesante documento.

   Creemos que el tratado, que aparece titulado De Arismetica, está incompleto, aunque forma un todo coherente y perfectamente inteligible. No se inicia como es habitual, con una invocación religiosa. Tampoco se presenta la obra ni se especifica su uso, valor y utilidad. Le falta un pequeño índice o resumen y otra parte, muy importante en estos manuales, una exposición general del sistema de numeración indo-arábigo -que por supuesto es el que utiliza en la obra-, del valor de posición, y una somera explicación de cada una de las operaciones fundamentales. Prescinde, pues, de todos estos aspectos generales, y comienza directamente con una colección de problemas, que si bien no es muy numerosa en cuanto a cantidad se refiere -consta de 48 problemas- sí podemos afirmar, sin embargo, que posee una calidad extraordinaria en cuanto al contenido y resolución de los problemas planteados. Con un enfoque muy predefinido ya al comienzo del libro, se nos indica: Este libro es muy bueno y muy provechoso para saber partir e multiplicar enteros e rotos,(32) deja muy claro que el objetivo del mismo será conferir al lector unos conocimientos apropiados de las operaciones con fracciones,(33) para inmediatamente ser aplicados a las operaciones de cambio y mercaderías. Nos pone un ejemplo referido a la venta de cáñamo(34) e insiste en la utilidad de estas operaciones para un mercader. También encontramos en la colección algunos problemas de proporciones y aleaciones en lo que consideramos un tímido acercamiento a este tipo de problemas cada vez más complejos.

   Debemos destacar en el libro de aritmética un planteamiento intachable de todos los problemas que allí se describen y en el que solamente hemos detectado errores en siete problemas de los 48 que componen la colección. Debemos soslayar, no obstante, que dichos errores podrían fácilmente atribuirse a la copia del documento o a pérdida de datos en la misma. En su mayoría pueden ser obviados, ya que simplemente por abstracción de las operaciones matemáticas realizadas por el autor podemos obtener los datos correctos.

   En una primera clasificación de los problemas, atendiendo al procedimiento o recursos matemáticos utilizados para su solución:

- Operaciones con fracciones

- Operaciones elementales únicamente como suma, resta, multiplicación y división.

- Proporciones.

   Encontramos en el manuscrito 42 problemas de fracciones, 4 de proporciones y 2 de operaciones elementales:

Operaciones elementales........ 2....................... 4,16 %............. (4 %)
Proporciones......................... 4....................... 8,33 % ............ (8 %)
Fracciones.............................. 42..................... 87,50 %........... (88 %)

   Se cumple, pues, el objetivo marcado por el autor en el comienzo de la obra; transmitir de una manera concisa sus conocimientos de las operaciones con fracciones. En ellas, el autor demuestra una considerable maestría; prueba de la misma es la soltura en el planteamiento de los problemas con procedimientos adecuados y directos que permiten llegar rápidamente a las soluciones. Es bien conocido para lectores habituales de este tipo de manuscritos que si de forma bastante generalizada, encontramos colecciones de problemas correctamente enfocados y solucionados, en muchas ocasiones aparecen resueltos con multitud de operaciones, a veces reiterativas y tediosas que alargan innecesariamente la obtención de la solución y complican extraordinariamente el aprendizaje de la materia. No es en absoluto el caso que nos ocupa; el autor utiliza procedimientos cortos y directos, que nos permiten obtener una rápida solución del mismo. También nos añade la facilidad de la comprobación realizada por el mismo, en aquellos problemas de mayor complejidad en los que podríamos tener alguna duda de la veracidad del resultado.

   Otra característica de este libro es que se resuelven la totalidad de los problemas planteados, no como en la actualidad, que en cada lección se resuelven muy pocos problemas y se enuncian muchos más para que resuelva el alumno. En nuestro caso, como en el de todos los libros de aritmética medievales que hemos consultado, el problema, enunciado y resultado, forman una unidad, un todo integrado.

   Consideremos ahora la segunda clasificación, por tipo de problema:

Cálculo. Encontrar uno o varios números que cumplan unas condiciones

Cálculo. Agilidad mental, resolver situaciones que tienen asociados números

Hallar precios de productos o cantidades de productos relacionados

Repartir dinero

Aleaciones

Intereses. Rentas

Equivalencia de moneda

Resumimos así esta clasificación:

Cálculo...................................... 20.................... 41,66 %........... (42 %)
Cálculo (agilidad mental)............. 2...................... 4,16 %............. (4 %)
Precios productos....................... 16.................... 33,33 %........... (33 %)
Repartir dinero........................... 2...................... 4,16 %............. (4 %)
Aleaciones.................................. 2...................... 4,16 %............. (4 %)
Interés........................................ 5...................... 10,42 %........... (10 %)
Equivalencia de moneda.............. 1...................... 2,08 %............. (2 %)

   Elegimos a continuación cinco problemas del manuscrito haciendo una valoración de sus planteamientos y resultados. Se trata de multiplicar, dividir, restar fracciones o números mixtos, y de su aplicación a problemas de la vida cotidiana: aleaciones y precios de productos.

   Para multiplicar enteros e rotos por enteros fase así. Pongamos que quieres multiplicar 25 2/3 por 47. Primeramente multiplica el 3 que es puesto de yuso del 2 por 25 e fasen 75 e después añádele el 2 que es puesto ençima del 3 e fasen 77, después multiplica 47 por los 77 e fasen 3619 e parte éstos por el 3 que es puesto de yuso del 2 e viene 1206 1/3 e tanto monta la cuenta.(35)

   E sy quisieres faser por otro modo, farás en esta guisa, multiplica 47 por 25 e fasen 1175, después multiplicarás 47 por el 2 que es puesto ençima del 3 e fasen 94, agora parte estos 94 por el 3 que es puesto de yuso del 2 e viénete 31 1/3, agora añádele los 31 1/3 a los 1175 e serán 1206 1/3 segunt salieron a la cuenta sobre dicha. Asy que por estos dos modos farás estas e otras semejantes cuentas.(36)

   Resulta notable, tanto en este problema como en el resto de la colección, la claridad de que hace gala el autor, tanto en el planteamiento de los problemas como en la utilización de los recursos matemáticos utilizados para su solución. Demuestra con ello una notable maestría y destreza en la solución de los mismos, permitiéndose en algunos de ellos, como en el que acabamos de citar, ofrecernos la solución mediante dos métodos diferentes. Nada podemos objetar de los procedimientos matemáticos utilizados, ni de los resultados de las operaciones, ya que resultan impecables desde cualquier punto de vista; únicamente deberíamos resaltar que hoy día se consideran vigentes ambos procedimientos como método normal de cálculo en los centros de enseñanza.

   Para partir enteros e rotos por enteros e rotos, fásese asy. Pongamos que quieres partir 27 1/3 por 3 1/4. Primeramente multiplica el 4 que es puesto de yuso del 1 por el 3 e fasen /// 12 e añádele el 1 que es puesto ençima del 4 e fasen 13 e estos 13 es tu partidor, agora multiplica estos dichos 4 por los 27 e fasen 108, después multiplica estos dichos 4 por el 1 que es puesto arriba del 3 e fasen 4 e este 4 pártelo por el 3 que es puesto yuso del 1 e vienete ha 1 1/3 e este 1 1/3 añádelos a los 108 e serán 109 1/3, agora parte estos dichos 109 1/3 por los dichos 13 que son tu partidor e venirte han 8 16/13 e por que destos 16/13 es la mayor suma la de arriba que la de abaxo, multiplica los 3 que están abaxo del por los dichos 13 e serán 39 e pon los 16 ençima dellos e serán 16/39 e añádele los 8 enteros e serán 8 16/39 ,e tanto monta esta cuenta e por esta regla farás todas las otras semejantes a éstas.(37)

   He aquí lo que denominaríamos en la actualidad una operación de dividir dos números mixtos, lo que podríamos considerar como operación compleja dentro del campo de las fracciones. Verificamos igualmente una gran soltura y simplicidad en la realización de las operaciones, que nos hacen ver realmente que el problema es resuelto de forma irreprochable por el autor. Queremos ver en la facilidad del autor por proporcionarnos una solución, una invitación a realizar este tipo de operaciones, ya que él no ve ninguna dificultad en la aplicación de sus procedimientos.

   Para sacar un roto de otro, para mientes quel roto que quisieres sacar de otro que sea menor, que si fuere mayor non se puede sacar, como /// quien dixese quiero sacar _ de 1/5, aquí deves responder que non se puede faser por quanto el medio es mas quel quinto e lo mas non se puede sacar de lo menos, mas quien dixiese quiero 1/5 sacar de _ farás desta guisa, multiplica el 1 que está ençima del 5 por el 2 que es puesto de yuso del 1 e serán 2, después multiplica el 1 que esta arriba del 2 por los 5 que es puesto de yuso del 1 e son 5, después saca 2 de los 5 e quedarán 3, después multiplica el 2 que es puesto de yuso del 1 por el 5 que es puesto de yuso del 1 e fasen 10, después tomarás los 3 que quedaron e ponlos arriba del 10 e fasen 3/10 e tanto monta la cuenta.(38)

   Tenemos un ejemplo de resta de fracciones en el que el autor, tratando de resolver cualquier duda que se nos pueda presentar en el futuro, inicia su planteamiento con un problema imposible de resolver para la época; estamos ante una operación de resta de fracciones que originaría un número negativo, en palabras del autor "quel roto que quisieres sacar de otro que sea menor". Dada la inexistencia de números negativos en la época, el autor de una manera sencilla, pero contundente, nos indica que no se puede realizar esta operación planteándonos la misma en el sentido. Tenemos a continuación una clarísima y corta descripción del método utilizado para realizar dicha operación a la cual se añade un resultado correcto como en las otras ocasiones. Resaltamos una vez más la vigencia de las mismas en la actualidad.

   E si te dixeren, yo tengo de tres suertes plata, la una suerte es de 1 marco, 7 onças 1/3 de onça de plata fina e la otra suerte de 6 onças e _ de plata fina e la otra de 7 onças _ de plata fina, e de todas estas 3 suertes tengo 348 marcos tanto de uno como de otro, quiero yo afinar esta plata para saber quanto ha en ella de plata fina, primeramente farás en esta manera, ayuntarás las 3 suertes que dichas son que tienen de plata fina la 1 7 1/3 e la otra 6 1/4 , la otra 7 1/2 que fasen por todos ayuntados los 21 /// 1/12, estos 21 1/12 partirás por 3 por quanto son 3 suertes de plata e salen a la parte 7 1/36 de marco por 348, que es todo.(39)

   Inútil sería el dominio de las operaciones con fracciones si no tuviésemos la oportunidad de aplicarlas en la vida real. Considerado como uno de los problemas más importantes del momento, he aquí un problema de aleaciones que refleja una de las aplicaciones más características de las operaciones con fracciones. Aunque sin entrar a fondo en problemas complejos de aleaciones, que requieren conocimientos específicos para determinar la pureza de los metales, el autor nos anima a entrar en la problemática de las mismas iniciándonos en los casos de aleaciones simples que se pueden resolver fácilmente con los conocimientos de fracciones. Correcto enfoque y resultados, como ya nos tiene acostumbrados el autor.

   Regla para multiplicar de la medida de las varas, así de paño como de lienço como de todas las otras cosas que se devan medir /// con vara, en la qual vara ay _, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8/ quando quier que non ha vara entera, e farás así, pongamos que quieres multiplicar 13 varas e _ a 35 _, multiplica las 13 por el 2 e añádele el 1 que está ençima e serán 27 medias varas, luego multiplica los 35 por el 2 e añádele el 5 que está ençima e serán 71, luego multiplica estos 71 por los 2 e serían de menos todos 1917, luego multiplica las nominaçiones que están de baxo de las rayas disiendo, 2 veses 2 son 4, estos 4 son tu partidor, parte por ellos los 1917 e salirte han e la partiçión çierta e bien fecha 479 _.(40)

   Es éste un problema de la vida cotidiana, correspondiente a los precios de productos. Con la pulcritud y claridad que caracteriza el manuscrito, se realizan las operaciones de manera muy concisa, ofreciendo no sólo el resultado del problema sino también operaciones parciales, para un seguimiento más fácil del procedimiento. Con una visión amplia del problema del cálculo, nos indica que este tipo de operaciones se pueden emplear para cualquier cosa, en palabras del autor medida de las varas, así de paño como de lienço como de todas las otras cosas que se devan medir...,(41) dejando claro las innumerables aplicaciones de estas operaciones.

   El manuscrito concluye con la inserción de unas tablas de multiplicar, con el fin de facilitar su aprendizaje, su memorización. El autor diferencia entre tabla menor y tablas mayores.(42) La tabla menor consiste en una simple relación de las tablas del 1 al 9; mientras que las tablas mayores, además de incluir las anteriores, nos presentan la de números más elevados: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 29, 31, 33, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 57, 59, 61 en las que también aparecen resultados de multiplicar números superiores a 10, que igualmente debían memorizarse.

   Con la presentación de este nuevo manuscrito de aritmética comercial queremos aportar nuevos datos ilustradores de una auténtica literatura técnica circulante en el Mediterráneo occidental, bastante desconocida hasta el momento, pero que constituye también un aspecto importante y significativo en los estudios sobre comercio bajomedieval castellano.

Apéndice

   Mercancías citadas en el enunciado de los problemas

Aceite Cera Lienzo
Aceituní Cobre Lino
Algodón Estaño Paño
Alumbre Grana Peltre
Azogue Hierro Plata
Cáñamo Lana Sebo

Notas

1. Un buen ejemplo de los mismos lo constituye el manuscrito 46 cobijado en la Real Colegiata de S. Isidoro de León, integrado por una breve explicación del sistema de numeración en base 10, de las operaciones aritméticas fundamentales, espeçias, y una larga colección de 192 problemas resueltos. Caunedo del Potro, B. y Córdoba de la Llave, R., El arte del alguarismo. Un libro castellano de aritmética comercial y de ensayo de moneda del siglo XIV, Salamanca, Junta de Castilla y León, 2000.        [ Links ]

2. La creación de instituciones y técnicas que permitieron que las compañías castellanas redujesen costes y fuesen, por tanto, más eficaces y competitivas, es considerado por Hilario Casado como una de las razones del éxito y crecimiento del comercio castellano. Ver, por ejemplo, Casado Alonso, H., "Comercio y Nacimiento del Estado moderno en Castilla (s. XV - XVI). Algunas reflexiones a la luz de nuevas corrientes de investigación internacional", en El Estado en la Baja Edad Media. Nuevas perspectivas metodológicas, Zaragoza, Universidad de Zaragoza, 1999, pp. 51-75.        [ Links ]

3. Así lo considera al menos el franciscano italiano Luca Pacioli en su obra Summa de Aritmética geometría proportioni et proporcionalita, publicada en Venecia en 1494, clave para la historia del comercio y sobre todo para la historia de la contabilidad. Hernández Estévez, E. ha realizado un excelente trabajo con estudio introductorio, traducción y notas del título noveno, tratado XI de la Summa de Aritmética geometría proportioni et proporcionalita que se refiere a la contabilidad. Hernández Estévez, E., Luca Pacioli. De las cuentas y las Escrituras, Madrid, 1994.        [ Links ]

4. Un panorama general sobre las escuelas y maestros de ábaco nos lo ofrece Franci, R. y Rigatelli, L. T., Introduzioni all Aritmetica Mercantile del medievo e del Rinascimiento, Urbino, Quatro Venti, 1982, especialmente pp. 25-7, y un programa específico del funcionamiento de las más prestigiosas, Goldthwaite, R., "Schools and Teachers of Commercial Arithmetic in Renaissance Florence", Journal of European Economic History, 1 (1972), pp. 418-433.        [ Links ]         [ Links ]

5. En 1202, Leonardo da Pisa, Fibonacci (1170-1240) publica en lengua latina su Liber Abacci. En el mismo intentó mostrar las ventajas del sistema decimal y de las cifras hindúes sobre el sistema romano y su numeración. Está estructurado en 15 capítulos. Del I al VII, presenta las cifras hindúes y las operaciones elementales con números enteros y fraccionarios, y del VIII al final plantea y resuelve problemas de muy diversa índole: de sociedades, de cambio, de aleaciones, conversiones monetarias… Su figura es estudiada y ensalzada por Sarton, G., Introduction to the History of Science, II-II, Baltimore, Williams & Wilkins, 1927-1948, pp. 611-613 (repr. Nueva York, 1975). También por todas las historias de las matemáticas generales, por ej. Boyer, C. B., Historia de las matemáticas, Madrid, 1986, Alianza, pp. 326-329, quien se lamenta de la inexistencia de versiones latinas accesibles de la obra y remite al trabajo de Boncompagni, B., Scritti di Leonardo Pisano, I (Liber Abacci), II Practica geometriae, Opera Minora, Roma, 1857, p. 62. Sobre su obra y época, Morelli, M. y Tangheroni, M., Leonardo Fibonacci. Il tempo, le opere, l´ereditá scientifica, Pisa, I.B.M.,1994.         [ Links ]         [ Links ]

6. Van Egmond, W., "How algebra came to France", en Mathematics from Manuscript to Print (1300-1600), Hay, C. (dir.), Oxford, Clarendon Press, 1988, pp. 127-143, encontramos esta cifra en la p. 129. La gran mayoría se describen en otro trabajo del mismo autor, el importante catálogo Practical Mathematics in the Italian Renaissance; a Catalogue of Italian Abbacus manuscripts and printed book to 1600, Florencia, 1980. Después de la publicación del mismo se identificaron, según el autor, una docena más.         [ Links ]

7. Su papel cultural estaba establecido. Verger, J., Gentes del saber en la Europa de finales de la Edad Media, Madrid, Complutense, 1999, p. 11. Explica también la eclosión de las lenguas vernáculas como reflejo del crecimiento de un cierto sentimiento nacional.        [ Links ]

8. Este número elevado contrasta con la relativa escasez de textos conservados en otros lugares. En Francia, por ejemplo, se conservan 25, y ocupa una segunda posición en el conjunto de la producción de la aritmética comercial. Una lista de los manuscritos franceses más importantes nos la ofrece Beaujouan, G., "Les arithmetiques français des XIV-XV siècles", Actes du VIII Congrès international d´histoire des sciences, Florencia-Milán, 1956, París, I, pp. 84-87. Ver sobre la producción aritmética en otros lugares el resumen que ofrezco en Caunedo del Potro, B. y Córdoba de la Llave, R., El arte del alguarismo…, pp. 51-56.        [ Links ]

9. No podemos afirmar con seguridad que se conociese el Liber Abacci, pero sí creemos que los autores "castellanos" conocían a San Isidoro de Sevilla, los libros Muamalat, a Abraham bar Hiyya, a Abraham ibn Ezra… importantes piezas de esa rica tradición a la que nos referiremos más adelante. Si se establecen analogías, si se puede decir que unos tratados y otros son similares, es porque todos bebieron, se inspiraron, en unas mismas fuentes, fuentes que no solamente Fibonacci supo aprovechar.

   Beaujouan, G., "The place of Nicolás Chuquet in a tipology of fifteenth-century French arithmetics", en Mathematics from Manuscript to Print…, pp. 73-88, comenta la dificultad de encontrar unas vías certeras de transmisión. En el mismo sentido se manifiesta Van Egmond, W., "How algebra come…", p. 136.

10. Si nos ceñimos a la península esta labor se desarrollaría fundamentalmente en el siglo XI y sobre todo en el siglo XII, cuando acudieron pensadores de diferentes lugares con el afán de traducir del árabe al latín. La labor fue ingente y selectiva. Se buscaba un tipo de obras concreto, obras científicas en general, que suponen el 68% de todos los títulos traducidos. De ellos, nos interesa resaltar que el 47% fueron de matemáticas. Lomba Fuentes, J., "Aportación musulmana a la renovación filosófica del siglo XII", XXIV Semana de Estudios Medievales, Renovación intelectual del Occidente Europeo, Pamplona, Gobierno de Navarra, 1998, pp. 135-167, p. 148. Comenta estos porcentajes que él toma de Vernet, J., El Islam y Europa, Barcelona, El Albir, 1982, pp. 69-70.         [ Links ]         [ Links ]

11. Hoyrup, J., "Vat. Lat. 4826 Jacopo de Firenze, Tractatus algorismi. Preliminary transcription of the manuscript with ocasional commentaries", Filosofi og Videnskabsteori Pa Roskilde Universitetscenter, 1999, 3, 1-114, y "Jacopo da Firenze and the beginning of Italian Vernacular Algebra", Filosofi og Videnskabsteori Pa Roskilde Universitetscenter, 2003, 6, 1-35.        [ Links ]

12. Esta nueva numeración fue trabajada con ahínco por Mohammed Ibn Musa al Khowarizmi en la Casa de la Sabiduría de Bagdag en su brillante siglo IX. Su nombre, mal traducido y deformado, se inmortalizaría para siempre en el término algoritmo con la acepción técnica actual, y su obra fundamental Hijab al-Jabar Wa'l Muqabalah en el de álgebra (al-jabar). Su importancia se destaca en todas las historias de las matemáticas, por ejemplo, Boyer, C. B., Historia de la matemática, Madrid, Alianza, 1986, pp. 295-297.         [ Links ]

   La obra de Al-Khowarizmi, se conoce en el occidente europeo a raíz de las campañas de traducción del siglo XII. Es de destacar que su aritmética no se ha conservado en su texto árabe y sí en versión latina, Algoritmo de numero indorum, reelaborado como Liber algorismi de practica arithmetica por Juan de Sevilla en el siglo XII, y que su tratado de álgebra, en el que esta ciencia aparece como independiente de las demás ramas de las matemáticas, fue traducida al latín por lo menos en dos ocasiones, una por Roberto Chester y otra por Gerardo de Cremona. La versión de R. Chester se realizó en Segovia, en 1145, Liber Algebrae et Almucabala, y la de Gerardo de Cremona en Toledo, pocos años después, De Jebra et Almuqabala, Catalá, M. A., "El nacimiento del álgebra", en Historia de la ciencia árabe, Madrid, Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 1981, pp. 30-31. También lo explica Vernet, J., La cultura hispano-árabe en Oriente y Occidente, Barcelona, Ariel, 1978, p. 123. Parten de estas versiones, Franci, R. y Totti Rigatelli, L., "Towards a history of Algebra. From Leonardo of Pisa to Lucca Pacioli", Janus 72 (1985), pp. 17-82 para presentar los trabajos de álgebra italianos. Sobre el libro de aritmética, ver Romano, D., La ciencia hispano- judía, Madrid, Mapfre, 1992, p. 121, cuando analiza a Johannes Hispannus (1135-1153).
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13. Se formaron una serie de escuelas de matemáticas, astronomía, medicina, botánica… que no solamente explican a los autores árabes orientales -cuyas obras ya se habían empezado a conocer a lo largo del siglo IX- sino que las comentan, contrastan y completan. Vernet, J., "La ciencia en el Islam y Occidente", en Estudios sobre historia de la ciencia medieval, Barcelona, Universidad Autónoma, 1979, pp. 32-33, expone la rapidez de la transmisión de estos conocimientos. En la corte emiral de Abderramán II (822-529) se conocía la obra de Al-Khowarozmi. Este mismo autor, en otro de sus trabajos, La ciencia en Al-Andalus, Barcelona, 1986, pp. 28 y siguientes, desarrolla con más detenimiento la difusión de la numeración "arábiga" y sus ventajas. Ya en ese fecundo siglo X nos interesaría destacar la escuela de astrónomos andalusíes fundada por Maslama de Madrid, ya que sus miembros fueron cultivadores de la aritmética y geometría. Su obra puede seguirse en el trabajo de J. Samsó, Las ciencias de los antiguos en Al-Andalus, Madrid, 1992, pp. 80-83, y también en Vernet, J., La ciencia en Al-Andalus…, pp. 52-53.        [ Links ]         [ Links ]

14. Sesiano, J., "Le liber Mahameleth, un traité mathématique latin composé au XII siècle en Espagne", Histoire des Mathématiques arabes, Premier Colloque International sur l'Histoire des mathématiques arabes, Alger, 1968, pp. 69-98, y "Der Liber Mahameleth des Johanes Hispalensis", XVIIIth. International Congress of History of Science, Hamburgo-Munich, 1989, p. 8. En la actualidad prepara una edición completa del libro que esperamos con interés.        [ Links ]

15. Sáenz Badillos, A., "Aportaciones literarias, filosóficas y científicas de los judíos a la renovación intelectual del occidente europeo en el siglo XII", en Renovación intelectual del Occidente…, pp. 315-348, nos habla del convulso siglo XII judío, del ocaso cultural de diferentes juderías y de su emigración hacia los reinos cristianos, Languedoc, Provenza, norte de Africa, Egipto…

   David Romano analiza la labor de transmisión a través de tres modalidades cronológicamente sucesivas: los compendios, las traducciones y las obras originales, Romano, D., "El papel judío en la transmisión de la cultura", Hispania Sacra, 40 (1988), pp. 955-977.
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16. Abraham bar Hiyya trabajó en Barcelona entre 1133 y 1145. Escribió en hebreo una amplia serie de obras que recogen lo más notable de la ciencia árabe: aritmética, geometría, óptica, cosmografía y astronomía. Ver sobre su obra, Romano, D., "El papel judío...", p. 965 y en La ciencia hispano-judía, Madrid, 1992, pp. 99-100. Sáenz Badillos, A., "Aportaciones literarias…", p. 317, destaca su labor innovadora al abordar temas que no se habían tratado todavía en lengua hebrea.         [ Links ]

   Sobre Abraham Ibn Ezra (1140-1167), el "tuledano" remitimos también a los trabajos de D. Romano, La ciencia hispano…, p. 107, y a la de Sáenz Badillos, A., "Aportaciones literarias…", pp. 324-332.

17. Millás Vallicrosa, J. Ma, "La obra enciclopédica de R. Abraham Bar Hiyya", en Estudios sobre historia de la ciencia española, I, Madrid, CSIC, 1987, pp. 219-262. El contenido matemático ha sido estudiado por Levey, M., "The Encyclopedia de Abraham Savasorda: A departure in Mathematical Methodology", Isis, 43 (1952), pp. 257-264.        [ Links ]         [ Links ]

18. Romano, D., La ciencia hispano-judía…, p. 107 y Sáenz Badillos, A., "Aportaciones literarias…", pp. 324-332 analiza toda su obra literaria, considerándola enormemente positiva. Ambos autores insisten en la raíz babilónica y egipcia de muchos de sus casos prácticos.

19. Boecio, Institutio Arithmetica, ed. preparada por Guillaumin, J. Y., París, Les Belles Lettres, 1995, en cuya introducción analiza el valor del número para Boecio y Nicómaco, y la consideración del estudio de la aritmética como fase que precede a otros estudios superiores.

20. También nos presenta Guillaumin, J. Y. una primera difusión del texto, convertida en manual para los monjes de Vivarium y después para los de Bobbio. Su presencia en estas bibliotecas y en la de Letrán sería importante para su difusión por toda Europa.

21. Oroz Rela, J. y Marcos Casquero, M. A., Las Etimologías, Madrid, Biblioteca de Autores Cristianos, 1982, con una introducción general de Díaz y Díaz, M. C., quien en las páginas 200-222 nos ofrece un completo esquema de la propagación de la obra antes del siglo IX. Además de este libro III de Las Etimologías, Acerca de las matemáticas, se le ha atribuido a San Isidoro un Libro de los números, tratado con el que vuelve al estudio bíblico para aplicar interpretaciones místicas a todas las menciones numéricas de los libros sagrados, pp. 129-130.        [ Links ]

22. Muñoz Box, F., "El tiempo y la medida del tiempo", en Historia de la ciencia y de la técnica en la Corona de Castilla, Edad Media II, García Ballester, L. (dir.), Salamanca, Junta de Castilla y León, 2002, pp. 539-550, vuelve a insistir en que fueron los monjes los que hicieron avanzar las ciencias de la cronología y de la horología. Ver también nota 20.         [ Links ]

23. Caunedo del Potro, B., "La vigencia de Beda en la aritmética mercantil del siglo XIV", en Poder y sociedad en la Baja Edad Media Hispánica. Estudios en homenaje al profesor Luis Vicente Diaz Martín, Valladolid, Universidad de Valladolid, 2002, pp. 937-951.         [ Links ]

24. Beda, De Arithmeticis Prepositionibus, en Migne, J.-P., Patrología latina, XC, 641, pp. 666-676. Beda enunció 55 problemas, solucionó 32, dejando, por tanto, sin resolver 23. Eran éstos los que debían facilitar el desarrollo del ingenio, "las demás soluciones son deseadas, puede, sin embargo, cualquiera resolver esas proposiciones, utilizando la aritmética, de tal manera que las omitidas valgan para ejercitar el ingenio" (p. 676). Como explico en mi trabajo citado anteriormente, "La vigencia de Beda…": " fue la obra de Sánchez-Pérez, J.A., La aritmética en Roma, India y Arabia, Madrid, Consejo Superior de Investigaciones Científicas, 1949, la que nos alertó sobre esta colección de problemas de Beda. Él mismo había seleccionado 16 de los enunciados por el monje historiador" (pp. 57-62).         [ Links ]

25. El establecer una comparación entre los ejercicios que aparecen en la obra de Beda y en los del manuscrito 46 de la Real Colegiata de San Isidoro de León, en el que se basa nuestro El arte del alguarismo… es precisamente el objetivo del trabajo "La vigencia de Beda…" en el que también se cita su presencia en otros autores como Mahavira, Fibonacci, Paolo del Abaco, Chuquet, Borghi, Calndri, Tartaglia…

26. Singmaster, D., "Some early sources in recreational mathematics", en Mathematics from Manuscript to Print…, pp. 195-208. Apunta a unos orígenes indios y chinos para muchos de estos problemas, modificando así la opinión del pionero D. E. Smith, quien les atribuía un origen griego. Algunos aparecen en las colecciones de Mohavira (850) y Abu kamil (900) e insiste en que tuvo que haber trabajos árabes anteriores que los introdujesen.

27. Singmaster, D., "Some early sources…", p. 203. Se sorprendía, por ejemplo, que Alcuino incluyese en esta obra ocho "problemas de aves" que animan a calcular el número de aves que van volando, del tipo "una paloma que estaba en un árbol vio venir una bandada de palomas y dijo: si fuerais otras tantas y otras tantas conmigo seríamos 100 ¿cuántas palomas iban volando?", que enuncia Beda, (op. cit., p. 672). A este tipo de problemas les atribuye un origen oriental.

28. Swetz, F. J., Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th century, Illinois, Open Court, 1987, un estupendo trabajo sobre la primera aritmética impresa italiana, conocida como la Aritmética de Treviso, nos habla, en la p. 245, de un "estreno" europeo en Alcuino, del gracioso problema de una liebre que huye perseguida por un alano. Este problema es uno de los seleccionados por Sánchez-Pérez, J. A., La aritmética en Roma…, p. 62, de los 55 enunciados por Beda.        [ Links ]

29. Alude a la moneda florentina, el florín, dándole su equivalencia a la blanca castellana. Un florín = a 20 blancas e agora multiplicamos por la via de tu tierra, que dises que vale el florín 20 blancas e cada blanca que vale 12 denarios (Real Academia Española, Ms. 155, fol. 159 r).

30. Real Academia Española, Ms. 155.

   El tratado De Arismetica, como todos los demás escritos, están foliados con numeración arábiga moderna en el margen superior derecho. Ocupa los folios 144r-164r. Ofrecemos también la foliación de los otros escritos: fs. 1-86v, Dichos de sabios y filósofos; fs. 92r.-119r, Regimiento para conservar la salud de los omes, elaborado según recoge el propio escrito en el f. 109 por el médico sevillano Estéfano de Sevilla; fs. 121r-143r, Glosas sobre el tratado de Domingo con las respuestas dirigidas al muy magnífico señor D. Diego Furtado de Mendoça, marqués de Santillana, conde del Real, acabado por metro y prosa. A continuación inserta el tratado De Arismética. En medio, f. 86v, Apuntes sobre los nacimientos de Pedro (1947) y Diego de Molina (1451) hechos por su padre; f. 87r-88r, Notas sobre estaciones; fs. 88r-89v, Regimiento de salud; fs. 89v-90r, Varias recetas médicas; fs. 90v-91r, Sentencias de Salomón; f. 91v, Notas sobre el componente de oro y plata de diferentes monedas; y fs. 120r y v, Notas sobre los signos del zodiaco.

31. Gallardo, B. J., Ensayos de una biblioteca de libros raros y curiosos, Madrid, 1863, t. I, Nº 758.        [ Links ]

32. Real Academia Española, Ms. 155, f. 145 r.

33. El uso tan abundante de las fracciones se debió indudablemente a la no utilización de los números decimales. Recordemos que para expresar cantidades inferiores a la unidad se utilizaban únicamente las fracciones. La comodidad del empleo de los decimales, puesta claramente de manifiesto por el polifacético Simón Stevin a finales del siglo XVI, y su interés por aplicarlo al mundo de los negocios, constituye junto con la interpretación de los números negativos como pérdida, una de las contribuciones más importantes del comercio a las matemáticas a juicio de J.A. Shirk (Shirk, J. A., "Contribution of comerce to Mathematics", Mathematics Teacher, 32, 1939, pp. 206-207).        [ Links ]

34. Real Academia Española, Ms. 155, f. 145 r.

35. Real Academia Española, Ms. 155, f. 145 v.

36. Real Academia Española, Ms. 155, f. 145 v

37. Real Academia Española, Ms. 155, f. 146 v.

38. Real Academia Española, Ms. 155, fs. 149 r y v.

39. Real Academia Española, Ms. 155, fs. 151 r y v.

40. Real Academia Española, Ms. 155, fs. 156 r. y v.

41. Real Academia Española, Ms. 155, f. 156 v.

42. Real Academia Española, Ms. 155 , fs. 161r-164 r.