Luego, esta última desigualdad esprecisamente el axioma de Arquímedes, que como hemos visto aparece sugerido en la definición 4.

Sobre la base de este conjunto central de definiciones, Euclides desarrolla en el libro V la teoría general de las proporciones de un modo "abstracto". Este carácter abstracto reside en que la totalidad de las 23 proposiciones que componen dicho libro son demostradas a partir de las definiciones y las nociones comunes, pero sin recurrir en ningún momento al tipo de razonamiento geométrico basado en construcciones geométricas llevadas a cabo según las reglas estipuladas en los postulados. Por el contrario, si bien en dichas proposiciones Euclides identifica a las magnitudes con segmentos lineales, dicha identificación obedece más bien a una finalidad heurística o ilustrativa, pero de ningún modo ocupaun lugar relevante en las pruebas.

La transición a la geometría la lleva a cabo Euclides en el libro siguiente, cuando aplica la teoría general de las proporciones a la geometría plana, desarrollando en el libro VI la teoría de los triángulos semejantes. El resultado más importante de esta teoría, utilizado prácticamente en todas las demostraciones subsiguientes, es presentado en la proposición VI.2, a veces también referida como el teorema de Tales(Fig. 1):

Si se traza una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, cortará proporcionalmente los lados del triángulo. Y si se cortan proporcionalmente los lados de un triángulo, la recta que une los puntos de sección será paralela al lado restante del triángulo.

Fig. 1: Elementos, VI, prop. 2. Teorema de Tales.

En la prueba de esta proposición Euclides apela a la teoría del área -en particular a las proposiciones I.38 y I.39-, esbozada previamente en el libro I. Se trata de una de las demostraciones más ingeniosas de todos los Elementos, aunque esta apelación a la teoría del área hace que resulte problemática desde un punto de vista metodológico. La demostración de esta proposición concentra precisamente el centro de las críticas de Hilbert a la teoría euclídea de las proporciones y de los triángulos semejantes. 

3. 'Una mancha en el sol de Euclides'

Hilbert sostiene en numerosos lugares que la teoría de las proporciones de Euclides-Eudoxio tiene como su teorema más fundamental a la proposición VI.2, conocido también como el teorema de Tales.Por ejemplo, en las notas de clase para el curso "Elemente der EuklidischenGeometrie", antecedente inmediato de la primera edición de Fundamentos de la geometría, la importancia de esta proposición es resaltada de la siguiente manera:

En efecto, Euclides fundamenta la teoría de las proporciones en las dos proposiciones siguientes:

1.       Si en un triángulo ABC se traza la línea paralela A'B' respecto de AB, entonces se tiene que AC : BC = A´C: B´C.

2.       La inversa: si en un triángulo AC : BC = A´C: B´C, entonces se tiene que AB || A´B´.[13]

Ahora bien, a continuación realiza la siguiente observación respecto de la prueba de esta proposición en Elementos:

En Euclides la demostración de esta proposición es completamente rigurosa, en el caso en el que tanto AC como BC se originan por medio de la sustracción reiterada de un único y mismo segmento lineal.Sin embargo, Euclides apela a relaciones generales de magnitudes, puesto que concibe la anterior proporción como una ecuación numérica y concluye que el teorema es válido para cualquier posición de A y A´. Contra esto se debe objetar: 1- Para poder interpretar una proporción entre segmentos siempre como una relación numérica se requiere de un nuevo axioma (que aquí designaremos V)[14]. 2- Incluso si este nuevo axioma ha sido introducido, se debe probar explícitamente que los nuevos números introducidos obedecen las mismas leyes de operaciones que la de aquellos ya conocidos.[15]

Este interesante pasaje da lugar a una serie de comentarios. En primer lugar, resulta llamativo que Hilbert califique aquí a la demostración de Euclides como "completamente rigurosa", en el caso de que la línea paralela a la base del triángulo determine segmentos conmensurables. Como hemos dicho, esta prueba es una de las más ingeniosas, pero a la vez de las más controvertidas de todos los Elementos. En gran parte, estas dificultades están relacionadas con el hecho de que allí se hace un uso esencial de la teoría del área, que Euclides desarrolló de un modo insuficiente y rudimentario en los libros previos, en particular en el libro I. De este modo, en mi opinión, con esta observación Hilbert alude más bien al hecho de que, en el caso de que se trate de segmentos conmensurables, es posible demostrar correctamente dicha proposición utilizando los teoremas de congruencia para triángulos.

En segundo lugar, la afirmación de Hilbert según la cual Euclides interpreta la proporción anterior (i.e., A:B= A':B') como una relación entre números o numérica [Zahlengleichung] resulta sumamente discutible desde un punto de vista histórico, sin una debida aclaración.Como hemos señalado, es claro que el libro V de Elementos no posee el carácter puramente geométrico de los cuatro libros anteriores, en tanto que allí la teoría general de las proporciones es desarrollada de un modo 'abstracto', en el sentido de que no se ofrece una justificación geométrica para cada una de las proposiciones. Sin embargo, de este carácter abstracto no se sigue que en el libro V Euclides conciba la proporción entre magnitudes en general, ya sean conmensurables e inconmensurables, como una relación numérica o entre números. De hecho, en el libro VII Euclides desarrolla otra teoría de las proporciones aplicada exclusivamente a números (enteros), en donde enuncia y vuelve a demostrar muchas de las proposiciones previamente demostradas en el libro V. Un ejemplo emblemático es la definición 20, cuyo contenido es prácticamente idéntico a la definición 5 del libro V: "Unos números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto". 

Existe una extensa discusión historiográfica respecto de por qué Euclides decidió presentar de forma independiente una teoría de las proporciones para números enteros, en lugar de aplicar directamente los resultados alcanzados previamente en la teoría de las proporciones del libro V también para el tratamiento de números.[16] Sin embargo, independientemente de esta cuestión historiográfica que excede los límites del presente artículo, creo que es posible contextualizar la observación de Hilbert, de modo que no resulte tan problemática a primera vista desde un punto de vista historiográfico. Esta explicación se vincula con la tercera observación.

El aspecto más substancial de la objeción de Hilbert se relaciona con la importancia fundamental que tiene el postulado o principio de Arquímedes para la teoría euclídea de las proporciones, y que Hilbert es quizás uno de los primeros en señalar de manera explícita. Esta importancia se aprecia, por ejemplo, en el hecho de que la definición misma de Euclides de la igualdad/desigualdad de razones requiere de la validez del axioma de Arquímedes para poder funcionar. Más precisamente, Hilbert señala que en el caso de que los dos lados del triángulo sean segmentos inconmensurables, la recta paralela a la base determinará unívocamente los puntos A y A'sólo si el axioma de Arquímedes es presupuesto. De esta manera, en un texto posterior, Hilbert concluye que un defecto crucial de la teoría desarrollada por Euclides consiste en no haber formulado este axioma de un modo explícito: "Existe un mancha en el sol de Euclides, puesto que él omitió la formulación de aquel axioma [i.e., el axioma de Arquímedes]".[17]

Independientemente de si Euclides incluye o no (una versión de) el axioma de Arquímedes entre sus definiciones, es claro que su teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes se fundaba en aquella condición. Sin embargo, un objetivo central de las investigaciones axiomáticas de Hilbert consistía en estudiar cuidadosamente y determinar el papel que los principios de continuidad desempeñan en la estructura deductiva de la geometría euclídea elemental, para mostrar precisamente que tales principios no eran necesarios para la construcción de una parte muy importante de la teoría; en este respecto, la teoría euclídea resultaba claramente inapropiada para los objetivos de Hilbert.

Más aún, junto con esta estrategia general en la reconstrucción de la geometría euclídea, Hilbert hace además una referencia al requerimiento o condición de pureza, en relación a que resulta deseable que la teoría de las proporciones y triángulos semejantes sea construida con independencia de los principios de continuidad, en particular, del axioma de Arquímedes:

Este teorema puede ser demostrado con la ayuda del segundo teorema de congruencia, en el caso particular donde se sabe que la longitud de los segmentos es conmensurable con una de las semirrectas.Sin embargo, en el caso general se requiere del empleo de [un axioma de] continuidad.Desde el punto de vista de nuestro abordaje previo, el empleo de la continuidad aparece aquí como una inferencia [Schlussweise] completamente extraña, y de hecho se presenta además como particularmente insatisfactoria, puesto que aquel teorema de las proporciones es utilizado, entre otras cosas, para probar algunos teoremas de incidencia, cuyocontenido parece ser independiente de las leyes de continuidad. De este modo, resultainmediata la pregunta respecto de si es posible prescindir de aquella condición de continuidad.[18]

Una crítica similar a la teoría euclídea de las proporciones, fundada en la cuestión de la 'pureza', es formulada por Hilbert en un curso posterior:

Sin embargo, es evidente que este teorema [i.e., la proposición VI. 2] está demostrado solamente para el caso [de magnitudes]conmensurables ( ≤ es racional). El caso inconmensurable puede ser demostrado con la ayuda de la continuidad. Ahora bien, nuevamente el mencionado teorema es utilizado de un modo esencial en la demostración de importantes y puros teoremas de incidencia [reinen Schnittpunktsätze], que no tienen absolutamente ninguna relación con la continuidad.[19]

Hilbert considera como 'impura' toda demostración del teorema de Tales -o el teorema fundamental de la proporcionalidad- en la que se apelen a los axiomas de continuidad, o más específicamente, al axioma de Arquímedes. Este calificativo obedece, al menos, a dos razones. Por un lado, el teorema de la proporcionalidad está inmediatamente ligado a algunos teoremas de incidencia -por ejemplo, al teorema de Pascal, cuyo contenido Hilbert considera como completamente independiente de la noción de continuidad. En segundo lugar, en tanto que un objetivo explícito de la construcción axiomática de la geometría euclídea llevada a cabo por Hilbert es proporcionar una base independiente para esta teoría, en el sentido de evitar la introducción de consideraciones numéricas, la apelación a un principio de continuidad resulta sumamente inadecuada en la reconstrucción de la teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes. En efecto, el aspecto crucial es que, al utilizar el axioma de Arquímedes en la reconstrucción de esta parte central de la teoría, se introduce irremediablemente una consideración numérica, en la medida de que,i) dicho axioma supone el concepto de número entero; ii) a partir de dicho axioma es posible asociar un número real a cada punto sobre la línea, tal como lo señala Hilbert en sus notas de clases.

De este modo, las críticas de Hilbert a la teoría euclídea de las proporciones se fundan en consideraciones metodológicas y epistemológicas ligadas a la cuestión de la pureza del método. Pero veamos ahora brevemente cómo reconstruye Hilbert dicha teoría de un modo 'puramente geométrico'.

4. La teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes de Hilbert

Hilbert elabora su teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes en el capítulo III de Fundamentos de la geometría. Dicha reconstrucción de la teoría eudoxia de las proporciones su funda en un resultado previo alcanzado por Hilbert, a saber: el cálculo de segmentos lineales [Streckenrechnung]. Hilbert mostró cómo era posible definir las operaciones de suma y producto de segmentos lineales de un modo puramente geométrico y al mismo tiempo probó, recurriendo a dos teoremas clásicos de la geometría proyectiva -i.e., los teoremas de Desargues y Pascal[20]-, que estas operaciones satisfacían todas las propiedades de un cuerpo ordenado. La construcción puramente geométrica de un conjunto que satisface la estructura de un cuerpo ordenado le permitió así reconstruir la teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes, de un modo puramente geométrico y sin apelar a ningún postulado de continuidad, en particular al axioma de Arquímedes.

El elemento clave para el caso que venimos analizando es la caracterización que hace Hilbert del producto de segmentos lineales.[21] Para ello Hilbert utiliza la siguiente construcción geométrica: sean a y b dos segmentos lineales. Elegimos un segmento cualquiera que permanecerá fijo -la unidad lineal- y lo designamos como 1. En uno de los lados de un triángulo rectángulo trazamos, desde el vértice 0, los segmentos 1 y b, mientras que en el otro lado trazamos el segmento a. Enseguida, unimos el punto final del segmento 1 y el punto final del segmento a, y desde el punto final de b trazamos la línea paralela a 1a (Fig. 2). Esta línea determina un segmento c en el otro lado del triángulo rectángulo, que identificamos con el producto del segmento a por el segmento b. La existencia del segmento c está garantizada por el axioma de las paralelas.

Fig. 2: Multiplicación de segmentos lineales

Como se puede notar a primera vista, ésta es la construcción geométrica estándar del cuarto proporcional contenida ya en Elementos, VI. 12, que Descartes utilizó por primera vez para definir el producto de dos segmentos lineales como unsegmento lineal.[22]Descartes y Hilbert interpretaron de un modo similar la definición de segmentos lineales por medio esta construcción geométrica, en el sentido que ambos afirmaron que esta definición no se refería a números sino a magnitudes geométricas; en otras palabras, ninguno de los dos identificó a los segmentos lineales con sus longitudes expresadas numéricamente. Sin embargo, existe una diferencia esencial entre las dos interpretaciones de esta operación aritmética con segmentos lineales, que resulta fundamental para nuestro caso. En Descartes, la definición era obtenida esencialmente a partir de la proposición VI.2 de Elementos acerca de la proporcionalidad de los triángulos semejantes; en consecuencia, Descartes no sólo asumió por completo la teoría de las proporciones del libro V de Elementos, sino que también presupuso de un modo implícito la validez del axioma de Arquímedes. Por el contrario, el objetivo de Hilbert era mostrar que, partiendo de su definición de multiplicación de segmentos lineales, era posible obtener la noción de proporcionalidad y de triángulos semejantes, y evitar además la introducción de aquel axioma de continuidad.

Una vez que el producto de segmentos ha sido definido de este modo puramente geométrico, Hilbert prueba que satisface todas las propiedades identificadas con esta operación, es decir, las propiedades asociativa y conmutativa, la existencia de un elemento inverso del producto y la propiedad distributiva respecto de la suma. En particular, Hilbert muestra que el teorema de Pascal -demostrado por él previamente sin utilizar ningún axioma de continuidad- resulta esencial para garantizar la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Hilbert utiliza entonces su definición del producto de segmentos lineales, junto con sus propiedades, para reconstruir la teoría euclídea de las proporciones y de los triángulos semejantes. Una cuestión esencial es que en ningún momento se asume la validez del axioma de Arquímedes. Su caracterización de la proporcionalidad de segmentos lineales se basa en su definición del producto de segmentos lineales:

Definición 1: Si a, b, a´, b´ son cuatro segmentos cualesquiera, la proporción

a : b = a´ : b´

no expresa sino la validez de la siguiente ecuación

ab´ = a´b.[23]

Con esta definición, Hilbert alcanza el objetivo de mostrar qué significa geométricamente que dos pares de segmentos son proporcionales, esto es, la igualdad del producto de dos pares de segmentos lineales. De este modo, su caracterización evita la intromisión subrepticia de consideraciones numéricas. Por otro lado, para definir la definición de semejanza de triángulos, Hilbert no apela a la proporcionalidad de los lados correspondientes, sino que utiliza la congruencia de los ángulos correspondientes:

Definición 2: Dos triángulos se denominansemejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.[24]

Hilbert demuestra entonces que si a, b, a´, b´ son los lados correspondientes de dos triángulos (semejantes), entonces la definición anterior de proporcionalidad es válida (Teorema 22). Su exposición concluye con la formulación del teorema fundamental de la proporcionalidad, en una versión adaptada a su propia teoría:

Teorema fundamental de la proporcionalidad: Si dos rectas paralelas determinan respectivamente, en los lados de un ángulo cualquiera, los segmentosa, b y a´, b´, entonces se verifica la proporción

a : b = a´ : b´

Recíprocamente, si cuatro segmentos a, b,a´, b´satisfacen esta proporción, y a, a´y b, b´son construidos de a pares en los lados de un ángulo cualquiera, entonces las líneas que unen a los puntos finales dea y b, y de a´ y b´, son paralelas.[25]

En Fundamentos de la geometría Hilbert no ofrece una demostración de este teorema, aunque tal demostración puede ser obtenida fácilmente utilizando el teorema 22 previamente demostrado.[26]La definición de la proporcionalidad de segmentos lineales, junto con el teorema fundamental, son sin embargo suficientes para obtener íntegramente los resultados de la teoría euclídea de las proporciones y de los triángulos semejantes. Hilbert no lleva a cabo dicha tarea, sino que se conforma con caracterizar de un modo puramente geométrico, y sin apelar a ningún principio de continuidad, aquellos conceptos y teoremas fundamentales.[27]

5. Consideraciones finales

Sobre la base que aportan las notas de clases para cursos sobre geometría, hemos podido mostrar que las críticas de Hilbert a la teoría euclídea de las proporciones y de los triángulos semejantes estaban esencialmente vinculadas al requerimiento de la pureza del método. Este requerimiento consistía en que, en la demostración de un teorema, o en la solución de un problema, sólo deben utilizarse aquellos medios o recursos intrínsecos o sugeridos por el contenido del teorema o problema en cuestión. Para Hilbert, un defecto fundamental de la teoría de las proporciones de Euclides era que las definiciones de razón y proporción estaban basadas en consideraciones o presupuestos numéricos, en la medida en que suponían de un modo esencial la validez de un principio de continuidad como el postulado de Arquímedes. Dicha teoría carecía por lo tanto de un fundamento geométrico, razón por la cual no respetaba el criterio fundamental de la pureza del método. La notable contribución de Hilbert consistió en construir la teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes, parte central de la geometría euclídea elemental, sobre una nueva base puramente geométrica, i.e., el cálculo de segmentos lineales. Más aún, una característica fundamental del cálculo de segmentos era que su construcción no dependía en absoluto de la validez del axioma de Arquímedes, con lo cual el carácter 'puro' de dicho resultado estaba garantizado.

Finalmente, podemos concluir que, en el caso que hemos analizado de la teoría euclídea de las proporciones, el requerimiento de la pureza del método tenía para Hilbert un carácter general o fundacional. En este contexto, su objetivo explícito no consistíasólo en obtener una 'demostración pura' de un teorema particular de la teoría de las proporciones -por ejemplo, el teorema de Tales- sino que el requerimiento de purezafue impuesto además sobre las definiciones mismas de las nociones de razón y proporción, y por lo tanto, sobreel núcleo o fundamento de la teoría.El análisis que hemos llevado a cabo de la teoría de las proporciones y de los triángulos semejantes de Hilbert nos ha permitido verque el requerimiento metodológico y epistemológico de la pureza del método constituyóun elemento fundamental en su construcción axiomática de la geometría euclídea elemental; más aún, este ejemplo ilustra elocuentemente cuán fructíferas y relevantes resultan las preguntas sobre la 'pureza del método' en el examen de los fundamentos de una teoría matemática.

Recibido: 9/2015; aceptado: 11/2015

*Doctor en Filosofía por la Universidad de Buenos Aires. Actualmente se desempeña como becario posdoctoral del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) y como docente la Universidad Nacional del Litoral. Es autor del libro David Hilbert y los fundamentos de la geometría (CollegePublications, Londres, 2015) y de diversos artículos en revistas nacionales e internacionales sobre los orígenes de la axiomática moderna. Correo electrónico: engiovannini@conicet.gov.ar.

[1] Hilbert, David, "Grundlagen der Geometrie", en: Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen.Herausgegeben von dem Fest-Comitee, Leipzig, Teubner, 1ª edición, 1899 (en adelante, Festschrift), pp. 89-90. A menos que sea indicado explícitamente, en lo que sigue todas las traducciones son del autor.

[2] En su versión más habitual, el teorema de Desargues (en el plano) afirma lo siguiente: sean Δ ABC y Δ A'B'C' dos triángulos que se encuentran en un mismo plano; si las líneas AA', BB' y CC' son concurrentes, los puntos de intersección de los lados correspondientes de los dos triángulos están alineados, y recíprocamente.

[3] La demostración usual del teorema de Desargues en el plano, utilizando construcciones en el espacio, puede consultarse en Efímov, Nikolai, Geometría superior, Moscú, Editorial Mir, 1984, pp. 213-215.         [ Links ] 

[4]Hilbert, David, Elemente der Euklidischen Geometrie, (MS. Vorlesung, WS 1898/9). Ausgearbeitet von Hans von Schaper. Niedersächsische Staats und Universitätsbibliothek Göttingen, Handschriftenabteilung, Cod. Ms. D. Hilbert 552, 1898/1899 (en adelante EEG), p. 317. Publicado en Majer, Ulrich y Hallett, Michael (eds.), David Hilbert's Lectures on the Foundations of Geometry, 1891-1902, Berlin, Springer, pp. 304-402. El énfasisesmío.

[5] Cf. Festschrift, teoremas 33 y 35.

[6] Cf. Detlefsen, Michael y Arana, Andrew, "Purity of Methods", Philosophers' Imprint, 11, 2011, pp. 1-20. La cuestión de la pureza del método asociada a lasinvestigaciones de Hilbert sobre el teorema de Desargues ha sidoanalizada en Hallett, Michael, "Reflections on the Purity of Method in Hilbert's 'Grundlagen der Geometrie'", en: Mancosu, P. (ed.), The Philosophy of Mathematical Practice, New York, Oxford University Press, pp. 198-255, 2008; Arana, Andrew y Mancosu, Paolo, "On the Relationships between plane and solid Geometry", The Review of Symbolic Logic, 5, 2012, pp. 294-353.

[7] Cf. Giovannini, Eduardo, "Bridging the Gap between Synthetic and Analytic Geometry: Hilbert's Axiomatic approach", Synthese, 2015, Online First. DOI: 10.1007/s11229-015-0743-z.

[8] Por lo general suele afirmarse que Proclo fue quien le atribuyó a Eudoxio la autoría de la teoría de las proporciones del libro V de Elementos; véase Heath, Thomas, TheThirteenBooks of Euclid'sElements. 3 Vols. New York, Dover Publications, 1956, 2ª edición. Sobre el origen de la teoría de las proporciones en la geometría griega, véase Knorr, Wilbur, TheEvolution of theEuclideanElements. Dordrecht, Reidel, 1975.

[9] Euclides, Elementos, V, def. 3 (en adelante Elementos). Trad. de María Luisa Puertas Castaños. Madrid, Gredos, 1994.

[10]Elementos, V, def. 4.

[11] Cfr. Festschrift.

[12]Elementos, V, def. 7: "Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta."

[13]EEG, p. 363. Observaciones similares se encuentran en:

Hilbert, David, Prinzipien der Mathematik; (Vorlesungen, WS 1917/18). Ausgearbeitet von P. Bernays. Georg-August-Universität Göttingen, Mathematisches Institut, Lesesaal, p. 89. Publicado en Ewald, William y Sieg, Wilfried(eds.), David Hilbert's Lectures on the Foundations of Arithmetic and Logic, 1917-1933, Berlin, Springer, pp. 59-214.

Hilbert, David, Über das Unendliche; (Vorlesungen, WS 1924/25). Ausgearbeitet von L. Nordheim. Georg-August-Universität Göttingen, Mathematisches Institut, Lesesaal, p. 692. Publicado en Ídem, pp. 668-756.

Hilbert, David, Grundlagen der Geometrie; (MS. Vorlesung, SS 1927). Ausgearbeitet von A. Schmidt. Georg-August-Universität Göttingen, Mathematisches Institut, Lesesaal, p. 57.

[14] Hilbert se está refiriendo aquí al axioma de Arquímedes.

[15]EEG, p. 363.

[16] Acerca de esta controversia historiográfica, véase Corry, Leo, "La teoría de las proporciones de Eudoxio vista por Dedekind", Mathesis, 10, 1994 pp. 35-68; Grattan-Guinness, Ivor, "Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid'sElements: HowDid He HandleThem?", Historia Mathematica, 23, 1996, pp. 355-375.

[17] Hilbert, David, Über das Unendliche, p. 693.

[18] Hilbert, David, Prinzipien der Mathematik, p. 89. Elénfasis es mío.

[19] Hilbert, David, Grundlagen der Geometrie, p. 58. Elénfasis es mío.

[20] Teorema de Pascal (versión afín): Sean dados dos conjuntos de puntos A, B, C y A´, B´, C´ situados respectivamente sobre dos rectas que se intersecan, de tal manera que ninguno de ellos se encuentra en la intersección de estas líneas. Si CB´ es paralelo a BC´ y CA´ es también paralelo a AC´, entonces BA´ es paralelo a AB´. Festschrift, p. 28.

[21] Un análisis detallado del cálculo de segmentos de Hilbert puede encontrarse en Giovannini, Eduardo, David Hilbert y los fundamentos de la geometría (1891-1905), Londres, College Publicaciones.

[22]Sobre la definición de Descartes del producto de segmentoslinealesvéaseMancosu, Paolo, Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century. New York, Oxford University Press, 1996

[23]Festschrift, p. 55.

[24]Festschrift, p. 55.

[25]Festschrift, pp. 56-57. En la última edición de Fundamentos de la geometría,este teorema aparece como el teorema 42. Cf. Hilbert, David, Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Paul Bernays. Editadopor Michael Toepell. Stuttgart/Leipzig, Teubner, 14ª edición.

[26] Esta demostración se encuentra, por ejemplo, en Hilbert, David, Grundlagen der Geometrie, pp. 57-59.

[27]Un análisis sistemático de estas contribuciones técnicas de Hilbert se encuentra en Hartshorne, Robin, Geometry: Euclid and Beyond. New York, Springer, 2000.