PARTÍCULAS Y CAMPOS. ASTROFÍSICA

Supersimetría y formulación de De la Peña

Supersymmetry and De la Peña formulation

 

Luis Canderle^(a) - Angel Plastino^(b)

^(a) Dpto. de Fisica - Universidad Nacional de La Pampa (UNLPam), c.c. 57, 6300 Santa Rosa (L.P.), Argentina, e-mail: importac@cpenet.com.ar
^(b) Universidad Nacional de La Plata (UNLP), IFLP-CCT-CONICET c.c. 727, 1900 La Plata, Argentina

 

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Resumen

En un trabajo previo⁽¹⁾ se vincularon dos técnicas de factorización frecuentemente usadas para resolver la ecuación de Schrodinger unidimensional, la técnica supersimetrica (SUSY) y la formulación de De La Peña. En este trabajo se usa la simplicidad de la primera de ellas para resolver el potencial de Morse. Los auto valores encontrados presentan las mismas características encontradas usando métodos de resolución tradicionales.

Palabras claves: SUSY; De La Peña; Potencial de Morse

Abstract

In a previous paper⁽¹⁾ two factorization techniques were linked to solve the one-dimensional Schrodinger equation, the supersymmetric technique (SUSY) and the De La Peña formulation. In this work we use the simplicity of the first of them to solve the Morse potential. The eigenvalues obtained present the same characteristics found using traditional resolution methods.

Keywords: SUSY; De La Peña; Morse potential

Recibido: 18/11/2013;
aceptado: 19/11/2014

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I. INTRODUCCION. POTENCIAL DE MORSE Y SUS CARACTERISTICAS

Las vibraciones de dos átomos en equilibrio son excelentemente descriptas por el potencial de Morse

donde r es la distancia entre átomos, r_o es la distancia de equilibrio entre los átomos, D es la profundidad del pozo (relativa a átomos disociados) o energía de disociación, yγ controla el "ancho del pozo" relacionada a la frecuencia vibracional.
Este potencial es atractivo a grandes distancias, tiene un mínimo -D en x=0, o r = r_o pero produce una fuerte repulsión si los dos núcleos se aproximan mucho.
Alrededor de x=0 puede expandirse en una serie:

con

para los términos que corresponden a vibraciones de baja energía podemos esperar un espectro que no se desvía mucho del de un oscilador armónico

donde v es el numero cuántico vibracional, los términos casi equidistantes se vuelven progresivamente más densos con el incremento de la energía, como consecuencia de la anarmoniciad despreciada
Si ignoramos los grados de libertad correspondiente a la rotación y nos concentramos sobre la ecuación de Schrodinger vibracional, observamos que el problema es equivalente al de

un campo central con l=0. Entonces la ecuación de Schrodinger es

introduciendo la ecuación (1) en (5) y haciendo un cambio de variables

y = e-γ(r-re)

la ecuación (6) queda:

 

y esta es una ecuación que ya ha sido resuelta mediante la SUSY. Sin embargo el método de De La Peña es mucho más sencillo.

 

II. Metodo de factorizacion de De La Peña

Este método de factorizacion⁽³⁾ proporciona un algoritmo que es muy fácil de implementar, que se basa en el conmutador y anti conmutador de los operadores de creación y destrucción que afectan la factorización y que también juegan el rol de los potenciales asociados de la SUSY, lo cual implica que son equivalentes. Esta equivalencia da el respaldo teórico a la formulación de De La Peña a través de la SUSY⁽¹⁾.
De La Peña construye un operador P que luego es identificado con el Hamiltoniano del sistema bajo consideración. La forma de este operador es

P = γ₀ + γ_cA + γ_sS

La utilidad de esta fórmula es que puede hacerse casi evidente, la forma de los operadores α y β, y de ahí, de los operadores A y S.
De La Peña muestra que el espectro de los operadores A y S denominados {a_k} y {S_k} respectivamente, satisfacen un conjunto de relaciones de consistencia que se pueden escribir en una forma redundante pero conveniente:

además existen relaciones entre ambos conjuntos de auto valores

las ecuaciones (11) muestran que el espectro de S es no degenerado y esta acotado por abajo por [a_ol. La primera ecuacion de las tres de (12) es la ecuacion fundamental que fija la estructura del espectro de P. Las otras dos condiciones en (12) determinan los limites inferior y superior del espectro de P.Si ninguna contradiccion esta involucrada con la aplicaciones de la ultima condición en (12), entonces existe un límite superior y está determinado por ella. El conjunto de relaciones (12) contiene toda la información del espectro de P.

III. El método de de la Peña para resolver el potencial de Morse

Usando el formalismo de De La Peña e identificando el operador P con H probamos con la selección:

 

vemos que S es idéntico al Hamiltoniano H si tomamos

q₀ = q_a = 0; q_s = 1. Por lo tanto S_K = Σ_k.

Para un valor fijo de r-r_k los autovalores de A son

Aplicando las condiciones de consistencia del formalismo de De La Peña, vemos que la más fuerte es

Para fijar el límite inferior, del formalismo de De La Peña usamos s_o = a_o y queda

si tomamos en cuenta la ec. (3), que es la energía del estado fundamental, es igual a la del oscilador armónico.
La relación

fija la estructura del espectro del operador de De La Peña P que como en nuestro caso es H, fija el espectro de energías.

en primer orden

para k=0

Si γ=0, nos queda la ecuación de auto valores del oscilador armónico. También se ve que si γ es pequeño, los niveles de energía no difieren mucho de los del oscilador armónico pues la contribución es muy pequeña, pero a medida que los valores de k van creciendo los niveles de energía del potencial de Morse se van haciendo más planos como se ve en el siguiente grafico:

El potencial de Morse (azul) y el potencial oscilador armónico (verde). A diferencia de los niveles de energía del oscilador armónico que están igualmente espaciados por h ω, el espaciamiento de los niveles del potencial de Morse decrece a medida que la energía se aproxima a la de disociación.

Además, de la relación de consistencia de De La Peña para
k=N

Esta ecuación no es satisfecha por ninguno de los auto valores anteriores (ver ec. 25), por lo tanto no hay límite superior.

IV. Conclusión

La simplicidad del método de De La Peña se hace evidente en este trabajo para la obtención de los valores de la energía para el Potencial de Morse, lo cual lo hace muy útil para resolver muchos problemas que presentan una dificultad matemática importante.

V. Referencias

1. L. Canderle, A. Plastino, M. Casas, A. R. Plastino, "Universal Forms for One-Dimensional Quantum Hamiltonians: A Comparison of the SUSY and the De La Peña Factorization Approaches" International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences - Volume 2009 (2009), Article ID 575217         [ Links ]

2. S. Flugge "Practical quantum mechanics" - Springer (1970)         [ Links ]

3. L. de la Peña and R. Montemayor, "Raising and lowering operators and spectral structure: a concise algebraic technique," American Journal of Physics, vol. 48, no. 10, pp. 855--860, 1980         [ Links ]