FÍSICA NUCLEAR 

Par de Cooper en el núcleo Borromeano ¹¹Li

Cooper pair in the Borromean nucleus ¹¹Li

 

Rodolfo M. Id Betan*

Instituto de Física de Rosario (CONICET), Ocampo y Esmeralda, S2000EZP Rosario. Departamento de Física y Química. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (UNR), Av. Pellegrini 250, S2000BTP Rosario.
*e-mail: idbetan@ifir-conicet.gov.ar

 

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Resumen

Dos neutrones en el espacio libre no forman un sistema ligado pero si lo hacenen los núcleos Borromeanos. El objetivo de este artículo es investigar la fuerza de apareamiento de dos neutrones en el núcleo Borromeano ¹¹Li usando la densidad de partícula simple. Las probabilidades de ocupación de cada onda parcial son calculadas como función de la intensidad de la interacción de apareamiento. Encontramos que los dos neutrones se ligan al carozo ⁹Li para valores muy pequeños de la fuerza de apareamiento (relativo al valor que reproduce la energía experimental de ligadura del ¹¹Li).

Palabras claves: Núcleos Borromeanos; Núcleos débilmente ligados; Apareamiento.

Abstract

Two free neutrons do not bound in the fre espace but they do in Borromean nuclei.The purpose of this proceedingis to investigate the neutron-neutron pairing in a Borromean nucleus ¹¹Liusing the continuum single particle level density.The partial-wave occupation probabilities are calculated as a function of the pairing strength. We found that the two neutrons become bound in the ⁹Li core for a very small value of the pairing strength (relative to the strength which gives the experimental energy of ¹¹Li).

Keywords: Borromean nuclei; Weakly bound nuclei; Pairing.

Recibido: 28/10/15;
Aceptado: 25/04/2016

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I. INTRODUCCIÓN

El núcleo borromeano ¹¹Li^[1] es un núcleo de la línea de goteo de neutrones; decae en β con un tiempo de vida media de 8.75 ± 0.14 ms^[2,3]. En la representación del modelo de capas, los tres protones, junto con seis de los ochos neutrones forman el carozo inerte ⁹Li. Los otros dos neutrones restantes orbitan en el campo medio del carozo e interaccionan entre sí a través de una fuerza residual V effnn . Aunque la interacción desnuda entre los neutrones no es suficientemente intensa como para ligarlos, la fuerza resid- ual V effnn si es capaz de ligarlos. El núcleo ¹¹Li es débilmente ligado con una energía de sólo 369.3 ± 0.6 ke V^[2] (369.15 ± 0.65 keV^[3]). El núcleo ¹¹Li es también considerado un núcleo halo[4] dado que sus dos neutrones de valencia forman una nube de baja densidad alejada del carozo.
Debido a que el núcleo ¹⁰Li no es ligado,el espectro de energía de los neutrones es puramente continuo. El modelo de capas predice que el estado fundamental del ¹⁰Li es el estado p1/2, pero experimentalmente se encuentra que es el estado s1/2. La capacidad de la interacción residual de ligar los dos neutrones en el carozo ⁹Li cuando individualmente cada neutrón no lo es, es un indicativo de la importancia de la interacción de apareamiento en el continuo.
En la sección II definimos y resolvemos las ecuaciones exactas del Hamiltoniano de apareamiento con espectro continuo utilizando la densidad de energía de partícula simple. En la sección III calculamos la energía y la configuración del estado fundamental del ¹¹Li como función de la intensidad de apareamiento. En la última sección IV resumimos la principales conclusiones.

II.FORMALISMO

El estado fundamental del núcleo ¹⁰Li es (1−, 2−) conuna energía de 25 ± 15 keV [2,3] con respecto al ⁹Li. En la representación del modelo de capas estos estados corresponden al neutrón en el estado anti-ligado s1/2 [5] acoplado con el estado fundamental 3/2⁻ del ⁹Li. El primer estado excitado del ¹⁰Li es el estado 1⁺ (que corresponde al neutrón en el estado resonante p1/2 acoplado con el estado fundamental 3/2⁻ del ⁹Li) y se encuentra a la energía 185 ± 40 keV [2] (240 ± 40 keV [3]). Con el objeto de invertir el orden usual entre los estados 0p1/2 y 1s1/2 agregamos un potencial gaussiano al Woods-Saxon [6],

 

y R = r0A^1/3, con los siguientes valores para los parametros, a = 0.67 fm, r₀ =1.27 fm, V₀ = 39.95 MeV, V_so =19.1 M_eV fm², a_g =0.26 fm y V_g =609 MeV.
La densidad de energía de partícula simple queda definida a través del cambio de fase [7],

hasta cierta energía máxima ε_max y hasta cierto momento angular máximo l_max.
La energía máxima queda determinada en función del rango efectivo r_nn =2.75 fm [8] por la relación [9],

dando un valor aproximado de 9 MeV (m es la masa del nucleón mc² =939.57 MeV).El valor de l_max fue determinado de modo que contribuciones con l > l_max dan valores más pequeños que 10⁻⁴ MeV⁻¹ par energías menores que ε_max.
El Hamiltoniano de apareamiento en el espectro continuo de energía queda definido por las siguientes expresiones en segunda cuantificación,

donde ljm es el estado inverso temporal del estado
ljm: a^†ljm =(−)^j−ma†lj^−m y P =(P^†)^†.
La solución del Hamiltoniano de apareamiento en la aproximación de Tamm-Dancoff resulta,

con las siguientes amplitud es para la función de onda,

El cuadrado de los coeficientes X^lj dan las probabilidades para las distintas configuraciones dado que

III. APLICACIÓN

La densidad para cada onda parcial glj fue calculada utilizando el códigoA NTI [10] con los parámetros del

campo medio definido en la sección anterior. La Fig. 1 muestra la densidad total. El pico cerca del umbral de energía continuo se debe a la presencia un estado anti-ligado s1/2 a la energía εs_1/2 = −0.025 MeV (ks_1/2 = −i 0.033 fm⁻¹). La presencia del estado resonante p1/2 a la energía compleja ε_p1/2 =0.213−i 0.053 MeV produce un pico angosto, mientras el estado d_5/2 con energía εd_5/2 =4.368 − i 1.670 MeV produce un chichón extendido.

FIG. 1: Densidad de partícula simple del neutrón en el campo medio producido por el núcleo ⁹Li.

Resolviendo la ecuación (12) con la densidad de la Fig.1 obtenemos la energía del estado fundamental (con respecto al carozo ⁹Li) del núcleo ¹¹Li como función de la intensidad de la fuerza de apareamiento G, Fig. 2. La energía experimentales E_Exp = −0.369 MeV y corresponde al valor G0 =0.567 MeV.

FIG. 2: Energía del estado fundamental del núcleo ¹¹Li como función de G. La línea horizontal corresponde la energía experimental^[2,3] la cual se obtiene para G = G₀.

La probabilidad para la configuración (lj)² calculada a partir de la Ec. (13) como función de G se muestra en la Fig.3. Las dos configuraciones más importantes para todo valor de G son (s1/2)² y (p1/2)². La configuración (s1/2)² se hace más importante a medida que la interacción decrece. La tabla I muestra los valores para las distintas ondas parciales para G₀ =0.567 MeV.

FIG. 3: Cuadrado de las amplitudes de la función de onda de los dos neutrones en el núcleo ¹¹Li como función e G. La línea vertical corresponde a G₀ = 0.567 MeV.

TABLE I: Probabilidad de las configuraciones (lj)² para el estado fundamental del ¹¹Li (X²_lj > 10⁻⁴).

IV. CONCLUSIONES

El núcleo borromeano ¹¹Li fue descrito en un modelo simple de tres cuerpos. Los dos neutrones orbitan el carozo ⁹Li con una densidad de energía determinada por el campo medio que describe los estados debaja energía del ⁹Li. La fuerza efectiva entre los neutrones consistió en la fuerza de apareamiento constante. A la intensidad de la fuerza que describe la energía del estado fundamental del núcleo ¹¹Li el modelo da para la configuración de la función de onda 31% y 68% para las configuraciones (s1/2)² y (p1/2)² respectivamente, modestamente cercanos a los experimentales (aproximadamente 50% para configuración). Se encontró que valores pequeños de la fuerza de apareamiento favorece fuertemente la configuración (s1/2)² endetrimento de la configuración (p1/2)². Un resultado curioso de este modelo es que valor es pequeños de la fuerza de apareamiento son capaces de ligar ambos núcleos al carozo cuando cada uno de ellos (en ausencia de apareamiento) se encuentran en un estado del continuo aproximadamente 25 keV sobre el umbral de la energía del continuo.

V. AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas PIP-625.

Referencias

1. M. V. Zhukov, B. V. Danilin, D. V. Fedorov, I. J. Bang, J. M. Thompson, and J. S. Vaagen. Bound state properties of Borromean halo nuclei: ⁶He and ¹¹Li. Phys.Rep. 231, 151 (1993).         [ Links ]

2. http://www.nndc.gov/chart.         [ Links ]

3. http://www.tunl.duke.edu/nucldata.         [ Links ]

4. A. S. Jensen, K. Riisager, D.V. Fedorov, and E. Garrido. Structure and reactions of quantum halos. Rev. Mod. Phys. 76, 215 (2004).         [ Links ]

5. I. J. Thompsonand M. V. Zhukov. Effects of ¹⁰Li virtual states on the structure of ¹¹Li. Phys. Rev. C 49, 1904 (1994).         [ Links ]

6. R. Id Betan, R. J. Liotta, N. Sandulescu, T. Vertse, and R. Wyss. Complex shell model representation including antibound states. Phys. Rev. C 72, 54322 (2005).         [ Links ]

7. E. Bethand G. Uhlenbeck. The quantum theory of the non-ideal gas. II. Behaviour at low temperatures. Physica 4, 915 (1937).         [ Links ]

8. I. Slaus, Y. Akaishi, and H. Tanaka. Neutron-neutron effective range parameters. Physics Reports 173, 257 (1989).         [ Links ]

9. H. Esbensen, G. F. Bertsch, and K. Hencken. Application of Contact Interactions to Borromean Halos.Phys. Rev. C 56, 3054 (1997).         [ Links ]

10. L. G. Ixaru, M. Rizea, and V. T. Vertse. Piecewise perturbation methods for calculating eigensolutions of a complex optical potential. Computer Physics Communications 85, 217 (1995).         [ Links ]