I.INTRODUCCIÓN

La interferometría láser es una técnica que permite la medición del desplazamiento de objetos sin realizar contacto con los mismos. Usualmente se utilizan distintos componentes (espejos, divisores de haz, fotodiodos, moduladores opto-acústicos, etc.), que requieren una cuidadosa alineación y suelen ser costosos. Algunos de los interferómetros más usados para medir desplazamiento son los de Mach-Zehnder, Michelson o los velocímetros láser Doppler^1-3. En este trabajo describimos el desarrollo de un interferómetro más económico que permite medir desplazamientos micrométricos y sub-micrométricos, que será utilizado más adelante para medir las vibraciones en equipamiento sensible, por ejemplo láseres estabilizados en frecuencia⁴.

Aquí trabajamos con una técnica llamada self-mixing interferometry (SMI), que permite medir desplazamientos sin contacto y con un conteo de partes mucho menor. Se basa en el efecto que se produce en la amplitud y frecuencia de salida de un diodo láser cuando se refleja una porción del haz emitido de vuelta a su cavidad. Esta técnica permite realizar la medición de desplazamientos, velocidades y distancias, sin mayor complejidad y con una resolución de media longitud de onda del láser utilizado⁵. Para medir desplazamientos por debajo de la longitud de onda del láser (típicamente 0.4 - 0.8 μm), en otros trabajos se han utilizado técnicas de estabilización activa del interferómetro. En tales casos, la señal de error del lazo de control da cuenta de los desplazamientos del objeto con resolución nanométrica⁶.

En este trabajo, logramos los mismos rangos de medición utilizando dos métodos distintos. Para desplazamientos mayores a media longitud de onda del láser utilizado se utilizan las técnicas existentes⁵. Para desplazamientos menores, se presenta una técnica nueva que consiste en la modulación de la corriente inyectada en el láser con el fin de mejorar la relación señal ruido (SNR) y tener una referencia constante que permita determinar la magnitud del desplazamiento medido.

En la siguiente sección se presenta la descripción teórica de la técnica de auto-mezclado. En la Sec. III se analizan los resultados de la medición correspondiente a desplazamientos del orden de los micrómetros, se describen las técnicas de procesado de datos y el equipamiento necesario para las mediciones. Luego en la Sec. IV se estudia una nueva técnica para medir desplazamientos nanométricos, se describe la metodología empleada y se evalúa la incertidumbre de los resultados obtenidos. Finalmente en las Secs. V y VI se discuten los resultados y conclusiones del presente trabajo.

II. DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA SMI¹⁰ Fig. 2 Fig. 2 Fig. 2

La técnica SMI se basa en el efecto que tiene realimentar una porción del haz emitido dentro de la cavidad de un diodo láser (LD). Esto ocurre cuando el láser es reflejado en un objeto distante y la reflexión (total o parcial) vuelve al mismo. La realimentación ocasiona una modificación en la amplitud y frecuencia de salida. En la Fig. 1 se ve una representación esquemática de esta técnica.

FIG. 1: Esquema de la técnica SMI. Las flechas dobles representan el haz generado en la cavidad del diodo láser que incide sobre el objeto y es reflejado de vuelta hacia la cavidad láser. El fotodiodo utilizado para monitorear la amplitud del haz proyectado se encuentra dentro del encapsulado del diodo láser. La lectura del fotodiodo permite caracterizar el desplazamiento del objeto. 

En principio esta técnica no requiere una lente para su funcionamiento, pero su utilidad radica en que enfocando el haz sobre el objeto a medir, se genera una configuración tipo ojo-de-gato. La luz reflejada sobre él, también es reenfocada sobre el láser. De esta manera se logra llevar a cabo la medición de objetos no solidarios, es decir que tienen un índice de reflexión bajo y con baja reflectividad⁵.

En la Fig. 1, se pueden ver representadas dos cavidades distintas. Esto se debe a que este fenómeno puede ser interpretado considerando al objeto como un tercer espejo, formando una cavidad externa acoplada a la cavidad interna Fabry-Perot (FP) del LD, de esta manera se genera una cavidad compuesta FP⁷. En este tipo de cavidades, la longitud de onda emitida dependerá de la distancia del objeto, y en caso de que el mismo no sea estático, variará de acuerdo a su desplazamiento. La onda incidente y la reflejada serán de frecuencias ligeramente distintas e interferirán dentro de la capa activa del diodo láser produciendo una modulación en amplitud. La modulación es registrada por el fotodiodo presente en la parte posterior dentro del encapsulado del diodo láser⁸.

La modulación en amplitud producida, que afecta la potencia de salida del láser, la podemos modelar con la siguiente ecuación⁹:

(1)

donde y son las potencias de salida con y sin reflexión, respectivamente. El parámetro es el índice de modulación, cuyo valor depende de la magnitud del desplazamiento del objeto y de la corriente inyectada en el LD¹⁰, y es la fase entre la onda incidente y la reflejada en el fotodiodo, y está dada por la siguiente ecuación:

(2)

donde representa la posición del objeto y es la longitud de onda emitida en presencia de realimentación.

La relación de la fase, respecto al láser sin perturbar, se halla en la siguiente ecuación, que se desprende de las posibles soluciones a una cavidad FP de tres espejos⁷.

(3)

siendo, el coeficiente de realimentación, el factor de ensanchamiento del ancho de banda del láser (suele tomar valores de 1 a 7) y es la fase correspondiente al láser sin realimentación, donde corresponde a la longitud de onda del láser sin realimentar.

El coeficiente de realimentación , está dado por la siguiente ecuación ⁷:

(4)

siendo y , el tiempo que tarda en dar una vuelta completa el haz por ambas cavidades. es el coeficiente de acoplamiento con la cavidad externa y depende de las reflectividades de los espejos de la cavidad compuesta FP.

En la Fig. 2, se pueden ver simulaciones de la señal de intensidad en el fotodiodo obtenida de un desplazamiento sinusoidal de 0.2 Hz y una amplitud de 2m pico a pico (representado en (a)). La longitud de onda del láser es de 405 nm. La simulación se lleva a cabo a través de la implementación en Python del trabajo realizado por R. Kliese et al.¹¹. Las subfiguras (b,c,d) muestran los resultados de la simulación es para tres valores de . Este parámetro describe la intensidad de la realimentación y especifica tres regímenes de comportamiento del sistema:

FIG. 2: Simulación de las señales obtenidas para distintas magnitudes de 𝐶: en (a) se ve el desplazamiento del objeto a medir, que consiste en 2 𝜇m pico a pico y una frecuencia de 0.2 Hz, las secciones en línea sólida indican que el objeto se aleja del láser, en cambio la línea rayada indica que se acerca. Las figuras (b), (c) y (d), se corresponden con la señal 𝑃 𝑡 obtenida para los valores de 𝐶={0.5;1.1;5} respectivamente. 

Si se considera el sentido del desplazamiento representado en la Fig. 2a, donde la línea sólida indica que el objeto se acerca al láser y la línea rayada indica que se aleja, se ve que los dientes de sierra cambian de orientación con el sentido del movimiento. De esta manera se puede saber el sentido del desplazamiento analizando la pendiente y el sentido de los dientes.

A su vez, como puede verse en la Fig. 2 e intuirse de las ecuaciones discutidas, la señal obtenida es un coseno distorsionado por la variación de la fase del láser (). La forma depende de . A medida que incrementa, aumentan las soluciones de la Ec. (3) ¹² y la emisión del LD se vuelve multiestable. Esto genera la forma característica de dientes de sierra para . Cada diente corresponde a una rotación de fase de , que equivale a que la cavidad externa se haya desplazado 𝜆 𝑓 2 (ver Ec.(2)). Asimismo, cada discontinuidad representa un desplazamiento de media longitud de onda del láser.

III.MEDICIÓN DE DESPLAZAMIENTOS MAYORES A MEDIA LONGITUD DE ONDA

Considerando lo expuesto previamente, a través de la evaluación de la señal SMI, se puede obtener la magnitud y sentido del desplazamiento del objetivo, siempre y cuando el mismo sea mayor a .

El procedimiento consiste en contar las franjas y sumar desplazamientos de . Si el sentido del movimiento cambia, la pendiente de la señal cambiará de signo y uno deberá restar desplazamientos franja por franja. Como se puede entender, la resolución de este método es de y su exactitud se ve afectada por la interpolación que se lleve a cabo entre las franjas, para lograr un reconstrucción del desplazamiento del objetivo.

A partir de las cinco ecuaciones previamente representadas, podría realizarse una reconstrucción de la posición del objeto . Sin embargo, determinar el parámetro es difícil de calcular, ya que es poco práctico determinar los coeficientes de reflexión. A su vez, varía con el nivel de realimentación y la corriente inyectada (con lo cual se da una interdependencia entre ambos parámetros)¹³. Por estas razones, es más conveniente “contar franjas” que intentar reconstruir las trayectorias, determinando todos los parámetros del sistema en un dado momento y ajustando el modelo más completo. La importancia del control del parámetro será solo para lograr el régimen moderado dónde la señal contiene la mayor información sobre el desplazamiento.

A pesar de que la estimación precisa de no es sencilla de hacer, se puede controlar su valor para que el mismo esté en el régimen moderado con relativa facilidad. Para hacerlo se debe variar la cantidad de luz que reingresa en el LD. Esto se logra variando la posición del foco y/o la alineación del haz sobre el objetivo. En los experimentos que describimos, esto se llevó a cabo manualmente, pero existe la posibilidad de hacerlo automáticamente a través de la utilización de un control de foco¹⁴.

Para llevar a cabo la calibración y evaluación del dispositivo se utilizó, como objeto de referencia, un actuador piezoeléctrico (PZT), PST 150/5x5/7 de Piezomechanik. Al cual se le puede adherir un espejo para maximizar la realimentación o una cinta de papel blanca para simular un objeto rugoso. El desplazamiento estimado en base a lo expresado por el fabricante es de 57 nm/V, para tensiones continuas. Sin embargo, se encuentra experimentalmente que el desplazamiento es de 468 nm/V (con un intervalo de 95% de seguridad) excitando al mismo con una señal sinusoidal de 500 Hz. Esta medición se lleva cabo variando la tensión impuesta sobre el PZT y determinando los valores en los que aparece una nueva franja, es decir un salto de . Luego se toma el promedio de las distintas mediciones y se halla el desplazamiento en función de la tensión aplicada. Notamos que la respuesta de los piezoeléctricos con la amplitud de polarización, no suele ser lineal¹⁵. Sin embargo, mas adelante extrapolamos esta calibración para desplazamientos nanométricos, ya que se espera que en ese rango las no linealidades sean despreciables. La respuesta de los PZT también varía en función de la frecuencia¹⁵, pero determinamos que en el rango por debajo de los 500 Hz esta dependencia es menor a la incertidumbre obtenida.

En la Fig. 3, se ve una representación esquemática del dispositivo utilizado para medir desplazamientos mayores a media longitud de onda. El láser utilizado es Sanyo DL-4146-1015 (405 nm), la fuente de corriente fue desarrollada por el LIAP (Laboratório de Integraçao Engenharia e Procesos) de la UFCG (Universidade Federal de Campina Grande) y ensamblada en el LIAF y la CPU es una Raspberry PI 3 B+.

FIG. 3: Esquema del dispositivo utilizado para medir desplazamientos mayores a media longitud de onda. PD fotodiodo, LD diodo láser, TZ amplificador de transimpedancia, G etapa de ganancia posterior al filtro pasa altos, ADC conversor analógico digital, CPU unidad de procesamiento central e I fuente de corriente. 

Se armó un amplificador de transimpedancia con un amplificador operacional Op27 (por su bajo ruido), una ganancia de 3 k y su ancho de banda fue acotado a aproximadamente 26 kHz. También se utilizó un filtro de cuarto orden construido usando dos filtros Sallen-Key en cascada, con una frecuencia de corte de 0.1 Hz, la utilización del mismo es para acoplar en corriente alterna (CA) la señal a la salida del fotodiodo. A la salida del filtro se agrega una etapa de ganancia variable, que permite aumentar el nivel de la señal para compensar la ganancia del amplificador. Esto permite llegar a los valores que recomiendan Graeme et al.¹⁶.

El conversor anlógico digital (ADC) es una placa de audio USB genérica de fabricación china. Debido a que su uso es para el audio tiene un ancho de banda de 20 Hz a 20 kHz. El límite superior es imposible de extender ya que es un filtro anti-alias para la frecuencia de muestreo de 44.1 kHz del conversor. La frecuencia de corte inferior está dada por un capacitor de desacople a la entrada del ADC, el mismo fue removido para extender la respuesta en frecuencia hasta 3.5 Hz. Sin embargo, debido a que el ADC es unipolar, se debió agregar una etapa de acople DC consistente en un amplificador diferencial que suma una tensión continua a la señal alterna. El límite en frecuencias bajas de 3.5 Hz, es ocasionado por un filtro pasa altos digital que se utiliza para corregir los errores de offset de la conversión, este filtro no es posible de eliminar en el ADC utilizado¹⁷.

El CPU se encarga del procesamiento de los datos y la reconstrucción del desplazamiento a través de la señal digitalizada. Para esta tarea se utiliza el código de programación Python, a través de la aplicación web Jupyter Notebook. La interacción con la placa de audio se lleva a cabo a través de la biblioteca sounddevice.

Para la reconstrucción del desplazamiento es necesario identificar los dientes o saltos de , para lo cual se utiliza la transformada continua de ondas pequeñas (continuos wavelets transform), cuya implementación se basa en la biblioteca Scipy para Python. Esta herramienta permite encontrar patrones en un punto específico del tiempo de una señal analizada, ya que compara la misma con versiones modificadas de un patrón principal llamado mother wavelet, en este caso se utilizan dos patrones diferentes (uno para cada sentido de desplazamiento), basados en el trabajo realizado por Bernal et al.¹⁸.

Previo a la reconstrucción del desplazamiento medido, se lleva a cabo una limpieza de la señal, aplicando filtros moving average y pasa altos (cuya frecuencia de corte es determinada por el operador del dispositivo), ya que el nivel de ruido presente en la misma es alto y afecta el desempeño de la utilización de wavelets al crear falsos positivos. Luego con el fin de hacer una reconstrucción cruda del desplazamiento, se cuentan la cantidad de saltos tomando en cuenta el sentido de los mismos y se lleva a cabo una interpolación cuadrática utilizando las bibliotecas de Scipy.

En la Fig. 4 se ve una medición del PZT siendo excitado con una onda sinusoidal de 30 Vpp y 100 Hz, correspondiente con un desplazamiento de 1395249 nm (95%). En la Fig. 4a se presenta la señal obtenida, luego se ve la misma señal filtrada y con los saltos demarcados en (b) y finalmente se ve la señal reconstruida (línea solida) y el error respecto al desplazamiento teórico o esperado (líneas punteada y rayada respectivamente). El error fue tomado haciendo la diferencia entre el desplazamiento reconstruido y el teórico.

FIG. 4: Medición del PZT siendo excitado con una onda sinusoidal de 30 Vpp y 100 Hz, correspondiente con un desplazamiento de 1395±249 nm (95%). (a) señal 𝑃 𝑡 , (b) señal filtrada y con los saltos demarcados y (c) reconstrucción final (línea solida), desplazamiento teórico del PZT (línea rayada) y el error de la reconstrucción (línea punteada). 

IV. MEDICIÓN DE DESPLAZAMIENTOS MENORES A MEDIA LONGITUD DE ONDA

Para llevar a cabo la medición del orden de los nanómetros, aquí se estudia una técnica basada en la modulación de la corriente inyectada en el láser con dos frecuencias distintas.

La longitud de onda de emisión del láser es función de la corriente. Debido a esto, la modulación de la corriente produce, correspondientemente, bandas en la frecuencia de emisión del láser. Las modulaciones introducidas permiten medir en los puntos de máxima sensibilidad del interferómetro, así como auto-calibrar la señal medida sin necesidad de la intervención del usuario. Cada una de las frecuencias de modulación cumple uno de estos roles, como se describe a continuación:

El dispositivo es igual al caso de la medición mayor a media longitud de onda (Fig. 3). El principal agregado es un conversor digital-analógico (DAC) que se utiliza para modular la corriente inyectada en el láser. El sistema es puesto a prueba, igual que en el caso anterior, mediante la medición del PZT que es excitado con una tensión de 2 Vpp@100 Hz, correspondiente con un desplazamiento de 93 nm.

El procesamiento de la medición es diferente al caso anterior, ya que no se basa en el análisis de la forma de la señal, sino en el espectro de la misma. Por lo tanto, no se obtiene una reconstrucción del desplazamiento, sino una magnitud RMS de su amplitud. En la Fig. 5, se ven en la primera fila las franjas generadas (en línea sólida azul), por la corriente inyectada (línea rayada naranja). A su vez, se ven demarcadas las zonas de máxima sensibilidad con círculos y con cruces se representan los puntos de menor sensibilidad.

Prosiguiendo, en la Fig. 5, se representan dos espectros distintos, correspondientes a un área de mayor y menor sensibilidad con relaciones señal ruido de 26.59 y 19.70 dB respectivamente. Cada uno es el espectro de una grabación de 250 ms, obtenida con el modo stream de la biblioteca sounddevice de Python.

La SNR se calcula como el cociente entre las potencias de señal y ruido. Ambas son determinadas en función de un umbral con respecto a la amplitud del tono de referencia. Considerando las amplitudes típicas de las zonas de ruido y señales, se determinó que un umbral de 0.2 funciona bien para este procedimiento. Todo lo que esté por encima es considerado señal, lo que se encuentra por debajo es ruido.

FIG. 5: Esquema de medición de desplazamientos menores a media longitud de onda. De arriba hacia abajo, en la primera figura se ven las franjas generadas por la corriente alterna inyectada (línea rayada naranja), con las áreas de máxima y mínima sensibilidad demarcadas con círculos y cruces respectivamente. Los dos espectros siguientes corresponden a medidas realizadas en los puntos de mayor y menor sensibilidad, con relaciones señal ruido de 26.83 y 19.70 dB, correspondientemente. El espectro en la última fila se obtiene luego de seleccionar las mediciones con mayor señal ruido, normalizarlas y promediarlas. 

La grabación de segmentos consecutivos de 250 ms prosigue hasta que se obtienen 100 muestras (25 s). Cada segmento se corresponde con distintos puntos de sensibilidad del instrumento. Como las zonas de mayor sensibilidad se corresponden con el centro de la rampa (demarcadas con un círculo en la Fig. 5), que aparecen intercalados con puntos de menor sensibilidad (cruces en la Fig. 5).

Para identificar los segmentos de mayor y menor sensibilidad, se registra la amplitud del tono de referencia para cada espectro medido. Luego se analiza esta secuencia de valores identificando aquellos en los que la amplitud es mayor al resto utilizando la función find_peaks de la biblioteca Scipy para Python. Una vez seleccionados los segmentos de mayor sensibilidad se lleva a cabo el promediado de sus espectros, obteniendo un único espectro, el cual no tiene unidades de desplazamiento.

Para obtener el desplazamiento final, se lo normaliza respecto a la señal de 17 kHz y 30App, ya que se determinó previamente que esta corresponde a un desplazamiento de 18022 nm. De el espectro final se determina la SNR de 25.21 dB. Cabe destacar que la relación señal ruido disminuye, respecto de la mayor, debido a que la señal no es estacionaria.

De este modo, se determina, para una única medida, un desplazamiento de 10639 nm (95%), excitando el PZT con una tensión de 2 Vpp@100 Hz. Para este caso, el desplazamiento esperado de la extrapolación de la medida a 500 Hz en el rango micrométrico es de 9316 nm (95%), que coincide dentro de las incertidumbres correspondientes. La incertidumbre de esta medición fue estimada considerando el aporte de la longitud de onda del láser, la función de transferencia de la fuente de corriente, filtrados, y de las etapas de procesamiento de la señal. En esta última contribución se encuentra que el mayor aporte de incertidumbre se debe al ventaneo tipo Hann, que si bien permite mejorar la resolución en frecuencia, disminuye la exactitud de la magnitud obtenida²¹.

Continuando el análisis, en la Fig. 6, se puede ver el resultado para distintas tensiones en el objeto de referencia. Para cada una de ellas se llevaron a cabo 40 mediciones, se reporta media y desviación estándar. También se indica en el gráfico los valores esperados y su rango de confianza, según la calibración hecha en el rango micrométrico. En todos los casos, se ve que estas coinciden dentro del intervalo de confianza. El cálculo de la media se lleva a cabo considerando que la distribución de probabilidad es normal, lo cual se verificó llevando a cabo un test K-S, obteniendo en los tres casos²². Es importante notar que el análisis estadístico se efectúa para evaluar el desempeño del instrumento, pero no debe ser confundido con la incertidumbre de las mediciones individuales del mismo, que como se mencionó se evalúan con otro criterio.

FIG. 6: Desplazamiento del objetivo en función de la tensión sobre el transductor piezoeléctrico en el rango nanométrico, la línea y área azules representan el desplazamiento teórico o estimado en el rango micrométrico de 468 nm/V. Los puntos se corresponden con las mediciones de tres tensiones diferentes impuestas en el PZT, cada punto es el promedio de 40 muestras tomadas. 

V. DISCUSIÓN

En esta sección se discutirán los principales puntos de interés mencionados a lo largo del desarrollo previo.

VI. CONCLUSIONES

Desarrollamos un nuevo tipo de vibrómetro láser capaz de medir desplazamientos micrométricos y/o nanométricos. Los resultados obtenidos demuestran ser coincidentes con los esperables para ambos rangos de medición, ya que las magnitudes medidas se encuentran dentro de los desvíos esperables de un objeto de referencia no calibrado.

La técnica de medición SMI demuestra ser robusta debido a su bajo conteo de partes, no requerir la estabilización del láser y su capacidad de alinearse sin dificultad. En una etapa siguiente mejoraremos la caracterización de la exactitud del dispositivo mediante la utilización de patrones que permitan llevar a cabo una trazabilidad a estándares internacionales.

Quedan trabajos a futuro como el reemplazo de los conversores ADC y DAC por otros que permitan ampliar el ancho de banda, mejorar la SNR y expandir la resolución del dispositivo. También exploraremos la utilización de un sistema heterodino de detección, permitiendo expandir el rango de frecuencias medibles y cumplir con las normativas y criterios de laboratorios internacionales.