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1- INTRODUCCIÓN
La reciente incorporación de sistemas de imágenes por resonancia magnética (MRI) en los procedimientos terapéuticos con haces de fotones de megavoltaje producidos por aceleradores lineales de uso clínico (LINAC) representa un nuevo tipo de tecnología que ha generado grandes expectativas futuras, ya que permite la guía del tratamiento mediante imágenes in situ del paciente para la radioterapia de alta precisión.1 Estos dispositivos, denominados MRI-LINAC por una de las principales empresas manufactureras de aceleradores de uso clínico, Elekta(, ofrecen una mejora en la resolución temporal y en la visualización dinámica de la anatomía del paciente durante el tratamiento. De este modo, es posible implementar compensaciones por movimientos, una planificación adaptativa en tiempo real, y potencialmente, una intensificación del tratamiento.2
La utilización del MRI-LINAC puede modificar el depósito de dosis en el paciente respecto a las técnicas convencionales de radioterapia,3 ya que el funcionamiento del dispositivo terapéutico está basado en el uso de campos magnéticos intensos, los que podrían alterar el campo de radiación ionizante. Las trayectorias de electrones secundarios, y de partículas cargadas en general, son alteradas por acción de la fuerza de Lorentz, pudiendo causar variaciones locales en la dosis.4 Por tanto, en este tipo de dispositivos híbridos de tratamiento guiado por imágenes debe tenerse en cuenta ciertas consideraciones, tales como la interacción de los electrones secundarios con el intenso campo magnético que produce el imán para adquirir imágenes por resonancia magnética.5 El estudio del efecto en el transporte de partículas cargadas acopladas a campos magnéticos externos puede abordarse, en líneas generales por medio de modelos teórico-analíticos, caracterizaciones experimentales en caso de contar con sistemas dosimétricos apropiados y, alternativa y/o complementariamente por medio de modelado computacional con herramientas previamente convalidadas para este tipo de aplicaciones.
Por su parte, las simulaciones Monte Carlo son un conjunto de algoritmos matemáticos computacionalmente implementados que permiten el modelado de sistemas estocásticos mediante la utilización de números aleatorios.6 Las técnicas numéricas basadas en el método Monte Carlo han probado ser una excelente herramienta para resolver numéricamente integrales definidas, y por lo tanto, se ha extendido su aplicación al modelado del transporte de radiación bajo el formalismo de Boltzmann,7 a partir de reformular la ecuación principal de Boltzmann en términos puramente de integrales definidas. En particular, los códigos de simulación Monte Carlo, FLUKA8-10 y PENELOPE,11,12 han sido largamente validados en aplicaciones de física atómica, de radiaciones y médica, demostrando una gran capacidad y precisión para el modelado del transporte de radiación ionizante en diferentes materiales, incluyendo la versatilidad de incorporar campos electromagnéticos a través de rutinas definidas por el usuario. De este modo, es posible calcular la trayectoria de las partículas cargadas considerando los efectos producidos por campos magnéticos, similares a los utilizados en la técnica de MRI-LINAC.
Existen varios trabajos recientes que reportan estudios sobre las alteraciones dosimétricas producidas por la presencia de intensos campos magnéticos. A. J. Raaijmakers et. al., por ejemplo, han estudiado el impacto en la dosis debido a las alteraciones de la trayectoria de los electrones producto de la presencia de campos magnéticos intensos, utilizando abordajes experimentales y por simulaciones Monte Carlo con el código Geant4.13 Por otro lado, el trabajo de R. G. Figueroa et. al. reporta sobre el cálculo analítico del radio de curvatura y los ángulos de deflexión de haces de electrones emitidos por un LINAC, sometidos a imanes permanentes de alta intensidad, utilizando un modelo teórico electrodinámico con consideraciones relativistas, comparando posteriormente estos resultados con valores obtenidos mediante simulaciones Monte Carlo con el código FLUKA.14
En este contexto, uno de los principales objetivos del presente trabajo, es calcular por medio de una aproximación teórica y mediante simulaciones Monte Carlo con los códigos FLUKA (versión 2020.0.6) y PENELOPE (versión 2008), el radio de curvatura en la trayectoria de electrones con energías similares a las presentes en el campo de la radioterapia, sometidos a la presencia de un campo magnético intenso, comparable al campo necesario para obtener imágenes por resonancia magnética. Asimismo, se presenta una comparación exhaustiva entre los códigos de simulación implementados, evaluando su capacidad de modelar los efectos de los campos magnéticos intensos utilizados en la técnica de MRI-LINAC.
2- MÉTODOS Y MATERIALES
Configuración de estudio
Con el propósito de cuantificar la alteración en la trayectoria de los electrones ocasionada por la presencia de campo magnético, así como también realizar una comparación entre los diferentes códigos de simulación utilizados, se estudió el caso de haces de electrones propagándose en el vacío en presencia de campo magnético constante, con el objetivo de atribuir las alteraciones única y exclusivamente al efecto de acoplamiento con el campo magnético externo. Los valores de energía cinética 
utilizados para el haz de partículas fueron 0.5 MeV, 1.0 MeV, y 6.0 MeV. Intensidades de campo magnético 
de 0.25 T, 0.50 T, 1.0 T, 1.50 T y 2.0 T fueron empleadas con cada energía reportada.
Se remarca que los valores considerados para dichos parámetros representan valores característicos de radioterapia y de MRI, respectivamente.
Las magnitudes típicas de campos magnéticos aplicadas en los tratamientos con MRI-LINAC son 0.5 T y 1.5 T.15,16 Dado que en el presente trabajo se busca examinar la influencia de B en el radio de curvatura de la trayectoria de los electrones, siguiendo una metodología similar a la utilizada por Raaijmakers et. al. en estudios previos,17 se optó por cubrir un amplio rango de intensidades, teniendo en cuenta los valores de 
mencionados anteriormente.
Por otro lado, se decidió utilizar los valores de 
reportados, dado que 6 MV es el potencial acelerador del haz típicamente propuesto para el dispositivo de radioterapia,18 y por lo tanto, la máxima energía cinética que los electrones pueden alcanzar es de 6 MeV; mientras que 0.5 MeV y 1 MeV son valores representativos dentro del espectro de electrones secundarios producidos por los fotones incidentes.
Mediante la interfaz gráfica Flair19 se llevaron a cabo las simulaciones en FLUKA. Utilizando las cartas BEAM, BEAMPOS y MGNFIELD presentes en la misma, se fijaron los parámetros necesarios para representar un haz monoenergético y filiforme de electrones propagándose en la dirección 
correspondiendo a la dirección creciente del eje 
dentro de una región con un campo magnético constante en la dirección 
correspondiendo a la dirección creciente del eje 
La incorporación del campo magnético en la simulación del proceso de irradiación se implementó por medio de la carta MGNFIELD, utilizando un STEPSIZE de 0.1 mm, y la definición de las propiedades del campo en un file externo producido por el usuario, donde se especificó tanto la intensidad y la dirección del campo en cada coordenada del set-up diseñado, como indica esquemáticamente la Fig. 1.
Mediante la incorporación del archivo a la interfaz de trabajo, se creó un programa ejecutable para poner en funcionamiento la simulación considerando la presencia del campo magnético.
En cuanto a PENELOPE, utilizando el archivo traject.in distribución de PENELOPE 
se llevaron a cabo las simulaciones del transporte de partículas cargadas en vacío con presencia de campo magnético. Los valores de la dirección e intensidad del campo, energía y tipo de partícula, así como también de la dirección inicial del haz de radiación, se fijaron en acuerdo con las disposiciones del set-up diseñado, descrito anteriormente para el caso de FLUKA. Los demás parámetros presentes en traject.in se establecieron considerando las recomendaciones del archivo penfield.f, también incluido en el paquete de distribución del código PENELOPE
En ambos códigos, la cantidad de partículas primarias fue tal que las incertidumbres estadísticas resultaran menores al 
Procesamiento de datos y tratamiento de incertezas
En ambos códigos se llevó registro de la trayectoria de los electrones, generando un archivo como output de cada simulación en el que se guardó el valor de las coordenadas cartesianas de las partículas en cada uno de los pasos (STEP) del proceso de transporte. Los archivos de output conteniendo los resultados fueron procesados por medio de un programa, en plataforma MatLab, de desarrollo propio. Se implementó una metodología original para determinar finalmente en cada caso de estudio el radio de curvatura 
y 
para FLUKA y PENELOPE, respectivamente. La misma, se basó en el ajuste de la ecuación de una circunferencia a las trayectorias correspondientes, tal como se reporta esquemáticamente en la Fig. 2 para el caso de energía cinética de 6 MeV.
FIG. 2: Esquema representando la metodología para el ajuste de la trayectoria de electrones de 6 MeV para determinar el radio de curvatura, utilizando los resultados proporcionados por PENELOPE (izquierda) y FLUKA (derecha).
Dado que y fueron determinados directamente sobre la trayectoria de los electrones, la incerteza asociada se estimó en términos del tamaño de píxel, 
lo que da cuenta de la resolución espacial del mapeo realizado por la simulación. FLUKA permite determinar la longitud y el número de subdivisiones de la región con campo magnético, 
respectivamente, de modo que 
queda determinado por la expresión (1). En cuanto a PENELOPE, como la longitud de cada tramo de la trayectoria se calcula mediante subrutinas específicas del código que hacen uso de 
y la dirección inicial, se determinó 
según la distancia Euclídea, correspondiente a la expresión (2). En ella, los subíndices 
refieren a la posición actual e inmediatamente posterior de la partícula para el j-ésimo camino libre, respectivamente.
(1)
(2)
Por otro lado, acorde a la expresión (3), y haciendo uso de los valores de y reportados previamente, se calcularon los valores teóricos para el radio de curvatura en cada caso 
. Dicha expresión analítica fue derivada por R. G. Figueroa et. al.,14 considerando un enfoque puramente relativista. En ella, 
y refieren respectivamente a la masa en reposo y a la carga del electrón; a la velocidad de la luz en el vacío; 
a la energía en reposo del electrón y / al factor de Lorentz, dado por la expresión (4), en donde 
representa la velocidad del electrón.
(3)
(4)
Asumiendo a y 
como fuentes de incerteza de la aproximación teórica, se determinó su incertidumbre mediante teoría de propagación de errores. En el caso de la energía, en base a la información reportada por trabajos previos del espectro energético típicamente presente en los dispositivos de MRI-LINAC,18se consideró, a modo de ejemplo, una variación de , que resulta representativa de las incertezas en sistemas de detección espectroscópicos como detector de Germanio ultrapuro enfriado por nitrógeno líquido, como el modelo GL1010 de CANBERRA, capaz de realizar determinaciones experimentales20 de espectros de alta energía en rangos comparables a las energías producidas en el LINAC. En relación al campo magnético, se consideró a la homogeneidad/uniformidad como la fuente de incertezas, valor que asciende a 4 ppm, aproximadamente, para el campo en los dispositivos MRI de 1.5 T acoplados a LINACs Elekta, utilizados comúnmente en los prototipos MRI-LINAC para radioterapia.21
3- RESULTADOS Y DISCUSIONES
TABLA 1: Valores del radio de curvatura de la trayectoria de los electrones en vacío con presencia de campo magnético constante.
La Tabla 1 resume los principales resultados obtenidos para el radio de curvatura en función de los valores de energía cinética e intensidad de campo magnético utilizados, provenientes tanto de los ajustes a las trayectorias logrados por simulaciones Monte Carlo, como de la aproximación teórica.
Se observa que, dada una energía, el valor del radio decrece a medida que B aumenta. Este resultado se muestra de acuerdo con las leyes del electromagnetismo; y en el contexto del presente trabajo es de notar que la intensidad del campo magnético externo del escáner de resonancia magnética, tiene un impacto directo en el efecto sobre las trayectorias de los electrones, y partículas cargadas en general. Por otro lado, dada una intensidad de campo, el radio de curvatura aumenta junto con la energía cinética de los electrones. Este resultado también se muestra de acuerdo con las leyes del electromagnetismo, y en el contexto del presente trabajo cabe mencionar que la alteración relativa de las trayectorias de electrones, o partículas cargadas en general, se presentará más intenso para energías cinéticas menores. Considerando que el radio de curvatura es una magnitud geométrica que coincide con el inverso del valor absoluto de la curvatura en cada punto,22 se concluye que fijando un valor de E, la deflexión en la trayectoria de los electrones es más pronunciada para intensidades elevadas del campo magnético, mientras que para un valor fijo de campo magnético, la trayectoria se ve cada vez menos perturbada al aumentar la energía cinética de las partículas cargadas.
También puede apreciarse a partir de la Tabla 1 que los valores obtenidos para R F y R P son comparativamente indistinguibles. Esta comparación demuestra una equivalencia entre los resultados provistos por los dos códigos de simulación utilizados. Asimismo, se confirma la capacidad de los mismos de incorporar la presencia de campos magnéticos en el estudio del transporte de radiación en vacío.
FIG. 3: Dependencia del radio de curvatura con la intensidad del campo magnético (para energía cinética constante) comparando con modelos analíticos, junto a sus correspondientes incertidumbres. Energía de 0.5 MeV (a), energía de 1.0 MeV (b) y energía de 6.0 MeV (c).
Por otro lado, puede también inferirse a partir de la Fig. 3, que se obtuvo un excelente acuerdo entre la formulación relativista para el radio de curvatura, y los valores obtenidos mediante FLUKA y PENELOPE. Se remarca así la necesidad de un modelo analítico con un abordaje relativista, para los valores de energía utilizados en el presente estudio, típicos en el ámbito de la radioterapia en general. La concordancia entre los valores del radio obtenido analíticamente con las simulaciones, constituye una prueba de sostén para la viabilidad y confiabilidad de ambos códigos para modelar el transporte de radiación en presencia de campos magnéticos intensos, al menos en vacío.
Por último, a modo de verificación externa de la metodologia desarrollada, se consideró como referencia para comparación, el valor del radio para el caso de un haz de electrones de 6 MeV sometido a un campo magnético de 0.9 T, logrado con FLUKA y reportado por R. G. Figueroa et. al..14 Los resultados de la comparación se reportan en la Tabla 2.
4- CONCLUSIONES
Se desarrollaron dos herramientas independientes de simulación Monte Carlo adaptando subrutinas de los códigos FLUKA y PENELOPE, capaces de determinar alteraciones en la trayectoria de electrones, y que pueden extenderse a partículas cargadas en general, en presencia de campos magnéticos intensos. En base a las herramientas de simulación desarrolladas, se modeló el efecto de campos magnéticos intensos sobre la trayectoria de electrones con energía cinética dentro del rango de interés para la radioterapia, logrando reproducir condiciones generales similares a las presentes en los tratamientos de radioterapia guiada por imágenes con los dispositivos de MRI-LINAC.
Además, se propuso, desarrolló e implementó una metodología para estimar el radio de curvatura a partir de la trayectoria de los electrones, y de partículas cargadas en general, obtenidas de las simulaciones Monte Carlo; así como un modelo para el tratamiento de las incertezas asociadas.
Por otro lado, se utilizó un modelo analítico reportado en literatura para describir el radio de curvatura, considerando una aproximación relativista.
Los resultados obtenidos confirman que la curvatura de la trayectoria de los electrones, y de las partículas cargadas en general, depende fuertemente de la intensidad del campo magnético al que están sometidos, así como también de la energía cinética que poseen.
Al comparar los valores del radio de curvatura logrados mediante simulaciones Monte Carlo, y la posterior metodología de tratamiento de datos e incertezas, con la formulación teórica, se confirmó la conveniencia de un enfoque relativista dentro del rango energético comúnmente utilizado en radioterapia.
Se realizó una evaluación comparativa preliminar entre los códigos de simulación utilizados obteniendo resultados por demás satisfactorios en términos del excelente acuerdo, basado en la indistinguibilidad de los resultados, entre ambos códigos. Asimismo, se confirmó la viabilidad y robustez de éstos para incorporar y modelar el efecto de los intensos campos magnéticos.
Por último, cabe destacar que debido al hecho de que los electrones, radiación directamente ionizante, intervienen de manera significativa en el depósito de dosis en radioterapia, la información reportada en el presente estudio sobre su comportamiento bajo la influencia de campos magnéticos similares a los utilizados en la técnica de MRI-LINAC, se da cuenta de la relevancia derivada de la presencia de campos magnéticos intensos en cuanto a los potenciales cambios dosimétricos al implementarse esta tecnología MRI-LINAC, así como también la relevancia y creciente necesidad de estudio de dicho proceso.
