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1. INTRODUCCIÓN
El decaimiento alfa puede ser considerado como un proceso de dos pasos [1]. En primer lugar, un clúster alfa se forma dentro del núcleo primario y reside en un estado metaestable. Este primer proceso es descrito mediante la amplitud de preformación g(R) que representa la probabilidad de formación de la partícula alfa, obtenido al evaluar el overlap entre las funciones de onda del núcleo primario (A), el residual (A−4) y el alfa. En segundo lugar, la partícula alfa formada atraviesa la barrera de potencial y escapa del núcleo. Este proceso se calcula utilizando la probabilidad de penetración.
Teniendo esto en cuenta, el ancho de decaimiento absoluto puede ser obtenido a partir de la expresión de la teoría general de reacciones [2]
(1)donde 
es el factor espectroscópico renormalizado y Γsp
L
es el ancho de decaimiento de partícula simple.
2. FORMALISMO
Un modelo de cinco cuerpos es utilizado para el estudio del estado fundamental del 212Po. El potencial de campo medio de Woods-Saxon, sumado a la interacción espín-órbita, son optimizados al espectro experimental de un protón y un neutrón interactuando con el carozo 208Pb. Con estos estados se construyen los niveles de energía de los núcleos 210Pb, 210Po y 210Bi.
Los estados de menor energía obtenidos para nn y pp son utilizados para construir una base de cuatro nucleones, a través de la cual se diagonaliza el Hamiltoniano de cinco cuerpos, H = H nn +H pp +V np , donde V np es la interacción residual entre protones y neutrones, y H nn y H pp son los Hamiltonianos de dos protones y dos neutrones, respectivamente:
con e 2 = 1.43997MeVfm y V la interacción efectiva Gaussiana dependiente del espín e isoespín
con 
, Pτ el proyector sobre uno de los canales de espín-isoespín τ = {se, to, se, so} y
(2)con V τ constante.
2.1. Funciones de onda de dos partículas
Los autovalores generados por el potencial de Woods-Saxon sumado al espín-orbita y al potencial de Coulomb
(3)son utilizados como representación de partícula simple, con a={n a , l a , j a } y ε a la energía de partícula simple relativa al carozo.
De las bases de neutrones y protones formamos las bases de dos partículas idénticas en el acople jj
(4)donde 
y P es de los números cuánticos con (−)
P
= 1 o (−)
P
=
(−) ja + jb - J+1 para permutaciones pares o impares, respectivamente.
Los estados de dos neutrones y dos protones correlacionados son calculados a través de las ecuaciones de Schrödinger de tres cuerpos
(5)
(6)con Ψ J π M expandida en la base de dos cuerpos Ψ Jπ ab M
(7)Las amplitudes X
ab
Jπ
, están normalizadas con la métrica de Berggren [3], es decir 
2.2. Funciones de onda de cuatro partículas
Los estados de neutrones y protones correlacionados ΨJnnπ Mnn y ΨJppπ Mpp, respectivamente, son utilizados para generar la base de cuatro partículas
(8)Entonces, la función de onda de cuatro nucleones correlacionados son
(9)donde la sumatoria puede contener más de un J n y/o J p para el mismo número cuántico.
En la base utilizada, los elementos de matriz de cuatro cuerpos de los Hamiltonianos H nn and H pp son diagonales [4], y entonces la ecuación de autovalores se escribe
donde E J π son las energías de cuatro cuerpos relativas al carozo.
2.3. Factor espectroscópico del decaimiento alfa
La amplitud de preformación de la partícula alfa en el formalismo utilizado puede escribirse como [5]
(10)donde φ α es la función de onda intrínseca normalizada de la partícula alfa, Y L M es la parte angular del movimiento del centro de masa de la partícula alfa y Ψ D jm es la función de onda del núcleo residual. ξ α y ξ D son las coordenadas intrínsecas de la partícula alfa y del núcleo residual, respectivamente.
El factor espectroscópico 
contiene información sobre la probabilidad de formar un “cluster” alfa en el núcleo primario. En términos de la amplitud de formación, S
L
puede escribirse como [1]
(11)2.4. Renormalización del factor espectroscópico
Interpretar al factor espectroscópico S
L
como probabilidad de formación de la partícula alfa es problemático pues la función 
no está correctamente normalizada [1, 6, 7].
El factor espectroscópico con significado físico [6, 7] (también conocido como cantidad de “clusterización”) se obtiene de
(12)donde ˆg L es la amplitud de preformación modificada
(13)Para calcular 
se expanden las autofunciones del “norm kernel” 
en una base ortonormalizada de funciones Gaussianas (SGB) [5,7]
F˜
L
(R,R
k
) con R
k
puntos equidistantes por ∆R en el intervalo (0,R
max) y k = 1,...,M, siendo M la dimensión de la base.
2.5. El ancho de decaimiento en el modelo de dos cuerpos
El tiempo de vida media del decaimiento alfa puede ser calculado a partir del ancho reducido de partícula simple. La expresión en la aproximación de dos cuerpos para el ancho reducido es la siguiente [8]:
(14)siendo µ la masa reducida del sistema α +208 Pb, u
L
la correspondiente función deonda de Gamow, H
L
+ la función de Coulomb saliente, y 
el parámetro de Coulomb-Sommerfeld. La función de onda de partícula simple es calculada utilizando un potencial de Woods-Saxon más la interacción de Coulomb.
El tiempo de vida media es entonces obtenido mediante , a través del cual, junto con el factor espectroscópico renormalizado, se obtiene el ancho reducido y el tiempo de vida media [2]
(15)3. APLICACIONES
3.1 Bases de partícula simple
El espacio de partícula simple es modelado con estados ligados y resonancias a través de un potencial de Woods-Saxon, sumado Coulomb en el caso de protones. Los parámetros del Hamiltoniano de partícula simple (referentes al potencial Woods-Saxon y Coulomb), se presentan en la Tabla 2. Estos parámetros fueron optimizados mediante el algoritmo de minimización χ 2 [9] a las energías experimentales de la Tabla 1. En dicha Tabla también presentamos las energías calculadas de 209Pb =208 Pb+n y 209Po =208 Pb+p.
TABLA 1: Energías experimentales [10] y calculadas [11] para neutrones y protones (en MeV) en el carozo 208Pb. Las energías calculadas se obtuvieron a partir de los parámetros de la Tabla 2. La parte imaginaria del 2p1/2 de protones calculada es del orden de 10-15MeV.
TABLA 2: Parámetros de campo medio para neutrones y protones (errores en paréntesis). El radio de Coulomb es rc = 1.359(0.3) fm
La única resonancia que incorporamos es el 2p 1/2 para protones. Como la parte imaginaria de esta resonancia es del orden de 10-15 MeV, decidimos no incorporar su contorno para la completitud de la base de Berggren [3], pues no se verán modificados los estados de dos y cuatro partículas por la parte imaginaria insignificante.
3.2. Las representaciones
Los cálculos de los niveles de energía de dos y cuatro partículas fueron realizados tomando como punto de partida dos representaciones de la base de partícula simple. La representación I contiene, para neutrones, los estados de la capa sdgi que se encuentran por encima del número mágico 126, y para protones contiene los estados de la capa pfh que se encuentran por encima del número mágico 82. La representación II, parte de la representación I y le agrega el estado de partícula simple “intruder” en la capa: el 0j 15/2 en neutrones y el 0i 13/2 en protones. Respecto a las bases utilizadas por Glendenning y Harada en su publicación [4], incorporamos tres nuevos estados, tanto en protones como en neutrones.
3.3. Interacción de dos cuerpos
Para la interacción de dos cuerpos, se tomó como referencia la publicación [4], principalmente para fijar los β de las interacciones y apagar los potenciales V so y V to . En relación al trabajo anterior [5], se utiliza una interacción efectiva entre nucleones y se considera la interacción protón-neutrón. Las intensidades de los potenciales fueron optimizadas utilizando el algoritmo χ 2 tomando como referencia las energías experimentales de los estados 0+ y 2+ para nn, 0+ y 4+ para pp, y 1 ≤ J ≤ 9 y π = − para np.
Respecto a los isótopos 210Pb y 210Po, obtenemos una muy buena descripción del estado fundamental, pero con baja precisión de los estados excitados, tal cual se observa en la referencia [4]. Respecto al 210Bi, al igual que en la publicación de Glendenning y Harada, no logramos respetar la inversión entre los estados 0− y 1−, pero si obtenemos una gran descripción de los estados excitados pares e impares ajustados.
4. RESULTADOS
Las intensidades de la Tabla 3 fueron aplicados para el cálculo del estado fundamental del 212Po. Si se utiliza el potencial V
te
definido en la Tabla 3, para la representación I se obtiene una energía de E
gs(212Po) = −19.118MeV mientras que para la representación II la energía es de E
gs(212Po) = −19.100MeV. Para recuperar la diferencia de ∼200keV respecto al valor experimental E
gs
Exp(212Po)= −19.341MeV, debemos ajustar el potencial V
te
por una constante χ
I
= 1.118 y χ
II
= 1.131, para la representación I y II, respectivamente. En la Tabla 4 presentamos las amplitudes parciales mayores a un 1%, para ambas representaciones estudiadas. Como las amplitudes más importantes son las que solo incorporan a los primeros estados pares , decidimos acotar la base de dos partículas utilizada en el marco de cuatro cuerpos, de forma que solo estos primeros estados pares la compongan. En la Tabla 4 también presentamos las amplitudes del estado fundamental así obtenidas, donde podemos observar que restringir la base de dos partículas afecta de manera insignificante al estado fundamental de cuatro partículas.
TABLA 3: Potenciales de dos partículas (en MeV) para las interacciones espín-isoespín de dos cuerpos en las dos representaciones. Las intensidades fueron optimizadas utilizando el algoritmo χ2[9]. Los potenciales Vso y Vto se mantuvieron siempre en cero. Para nn se utilizó βse = 1.9fm, para pp βse = 1.4fm y para np βse = 1.58fm y βte = 1.3fm.
TABLA 4: Amplitudes parciales de la función de onda del estado fundamental del 212Po, obtenidas en cada una de las representaciones, tanto con la base de dos cuerpos completa como acotada.
A partir de estos resultados, se calculó la amplitud de preformación g(R) y se obtuvieron los consiguientes factores espectroscópicos sin normalizar: = 1.181·10-3 y = 1.698·10-3. Es destacable que la inclusión de los estados “intruders” 0j
15/2
y 0i
13/2
en la base de neutrones y protones, respectivamente, genera un incremento del ∼ 50% en el factor espectroscópicos del sistema.
4.1. Ancho reducido de partícula simple
Si consideramos al núcleo alfa sin estructura, podemos estudiar al mismo como una partícula en las cercanías del carozo 208Pb, afectada por el potencial generado por el mismo. Los parámetros utilizados para este potencial de Woods-Saxon son [12]: V 0 = 143.054MeV, a = 0.69fm y r 0 = 1.315fm, de forma que describe la siguiente energía de la partícula alfa, incluyendo la corrección por apantallamiento [13]: Q α = Q Exp +∆E ap = 8.986 MeV, con Q Exp = 8.9542 MeV y ∆E ap = 31.8keV.
De esta manera, obtenemos que el ancho medio de partícula simple es Γsp = 0.183·10-12 MeV, y una consecuente vida media de T 1/2 sp =2500ns, dos órdenes de magnitud del valor experimental
T
1/2
Exp = 0.2952(13)μs [10]. Si incorporamos los factores espectroscópicos hasta aquí obtenidos, para J = M = 0 tendremos los siguientes tiempos de vida media :
(16)Vemos que incluso con la segunda representación, el tiempo de vida media calculado es mayor al doble que el experimental. Esto se debe a la no normalización del factor espectroscópico, el cual entonces no está representando realmente la “cantidad de clusterización” del sistema.
4.2. Renormalización
Para renormalizar los factores espectroscópicos, nos basaremos en las publicaciones de Fliessbach y Mang [6, 7]. Como fue presentado, el “norm kernel” depende de ∆R y R
max. En la Fig. 1 Superior, presentamos la dependencia del factor espectroscópico renormalizado como función de ∆R y Rmax, en la Representación II. Allí podemos observar varias superficies de que son independientes de R
max, donde aquellas con ∆R > 0.55fm divergen, mientras que la única superficie que presenta una meseta y converge es aquella con 0.55fm > ∆R cuando ∆R → 0.42fm, que observamos en la Fig. 1 Inferior. Estos valores de ∆R son consistente con el utilizado por Fliessbach y Mang [6], ∆R=0.46fm. Tomando este valor para ∆R obtenemos = 2.98·10-3, que es el valor que se mantiene durante toda la meseta de la Fig. 1 Inferior.
FIG. 1: Superior. Diferentes superficies del factor espectroscópico renormalizado en función de ∆R y Rmax. Inferior. Convergencia de con ∆R → 0.42fm.
El hecho de que no exista convergencia para valores de ∆R ∈ (0,0.42fm]U[0.55,∞fm) y Rmax ∈ (0,13fm]U[18,∞fm) puede deberse a que la representación dada por las funciones Gaussianas (SGB) no es adecuada, sea porque los estado están muy separados entre ellos o porque existe solapamiento [7].
Los valores espectroscópicos renormalizados obtenidos en cada representación son los siguientes:
(17)a través de los cuales, se obtienen los siguientes tiempos de vida media:
(18)El valor obtenido con la representación I, es aproximadamente un orden de magnitud mayor que el experimental, mientras que con la representación II, el valor obtenido es aproximadamente 3 veces el experimental. Estos resultados aun se encuentran lejos del valor experimental, pero no debemos de perder de vista que las representaciones de partícula simple utilizan solo estados ligados, más una única resonancia prácticamente ligada. Esto es alentador, pues esperamos que incorporando los estados resonantes en neutrones y protones, logremos disminuir la diferencia y acercarnos aun más al valor experimental.
5. CONCLUSIONES
En el trabajo presentado se estudió el decaimiento alfa del núcleo 212Po en el modelo de capas nuclear complejo utilizando un formalismo de cinco cuerpos con una interacción Gaussiana efectiva entre pares de nucleones dependiente del isoespín.
Utilizando dos representaciones de partícula simple, se calcularon los factores espectroscópicos del sistema. Se observó que incorporar los estados “intruder” en las bases de partícula simple incrementó el factor espectroscópico en un ( 50%. A la hora de implementar la renormalización del factor espectroscópico, se siguió un protocolo que permitió notar una estabilidad del mismo en las cercanías de los parámetros utilizados por los trabajos pioneros. Esta renormalización permitió observar en ambas representaciones un incremento del ( 70% del .
Junto con el factor espectroscópico renormalizado, se necesitó del ancho de partícula simple para obtener finalmente el observable tiempo de vida media. Así, con un ancho de partícula simple tres ordenes de magnitud menor que el experimental, para la representación I de partícula simple, se obtuvo un tiempo de vida media ( 4.2 veces mayor al experimental, mientras que para la representación II, el tiempo de vida media calculado es ( 2.8 veces mayor al experimental.
Estos resultados deben ser considerados como un escalón importante en la construcción final del decaimiento. Al ser un trabajo en proceso, se espera que incorporar estados resonantes en las representaciones acerque el valor calculado al valor experimental. No debemos perder de vista que si incorporamos resonancias más anchas, los contornos y sus estados de dispersión necesariamente deben ser incluidos en la base.
