ARTÍCULOS ORIGINALES

Argumentación Matemática en los libros de la Enseñanza Secundaria: un análisis descriptivo de las características de los libros de texto y de la Argumentación

Llanos Viviana Carolina^1,2; Otero, Maria Rita ^1,2

¹NYECYT, Universidad Nacional del Centro de la Prov. de Bs. As. Paraje Arroyo Seco s/n, Tandil, Argentina
² CONICET- Argentina

e- mail: vcllanso@exa.unicen.edu.ar ; rotero@exa.unicen.edu.ar

Resumen

Este trabajo describe y analiza posibles modificaciones en la Argumentación matemática que presentan (N=137) libros escolares para el Nivel Medio editados entre los años 1940 y 2007. Se adopta la noción de Argumentación propuesta por Leitão (2007) y se la utiliza para describir las características de los libros. El análisis de los libros permite observar diferentes maneras de fundamentar y concebir a la Matemática de acuerdo al año de edición de los libros. Estos cambios son descritos mediante las Tradiciones de la Matemática en el sentido propuesto por Klimovsky y Boido (2005).

Los textos más utilizados y representativos del Nivel Medio en el Sistema Educativo Argentino se seleccionan mediante muestreo intencional. A partir de categorías y subcategorías de análisis se realiza una descripción cualitativa de las características de los libros y de la Argumentación. Asumiendo una noción de argumentación en sentido amplio, puede decirse que habría modificaciones en la forma de iniciarla, en los tipos de razonamientos y en las situaciones que se proponen relacionadas con la manera de concebir a la Matemática. Por otro lado, si la confrontación explícita de puntos de vista se asume como condición necesaria para definir la Argumentación, se concluye que ninguno de los textos del conjunto sería argumentativo. Esto conduce a reflexionar acerca de la proporción entre aspectos informativos y estrictamente argumentativos que efectivamente pueden plantearse en un texto escolar.

Palabras clave: Argumentación Matemática; Textos escolares; Construcción de Conocimiento

Abstract

This work describes and analyzes possible modifications in the mathematical Argumentation in one hundred and thirty seven (N=137) textbooks for secondary school students published between 1940 and 2007. The notion of Argumentation proposed by Leitão (2001; 2007) is adopted and used to describe the characteristics of the textbooks. The analysis of the textbooks facilitates the observation of different ways to base on and conceive Mathematics according to the year of edition. This change is described according to Traditions of the Mathematical in the sense proposed by Klimovsky and Boido (2005).

The mostly used and representative textbooks in the secondary school in the Argentinean Educational System are selected by an intentional sample. Taking into account categories and subcategories of analysis, a qualitative description is made of the characteristics of textbooks and of the Argumentation. Assuming a broad notion of argumentation, it may be stated that there would be modifications in the form to initiate it, in the types of reasoning and in the situations proposed in relation to the way Mathematics are conceived. Besides, there are changes in the quantity and quality of images used in recent editions. Some considerations about how external representations would affect Mathematical Argumentation are made. On the other hand, if the explicit confrontation of points of view is assumed as a necessary condition to define argumentation, it is concluded that neither of the textbooks would be argumentative. This leads to reflect about the proportion between informative and strictly argumentative aspects that are involved in a textbook.

Key words: Mathematical argumentation; Scholastic text books; Construction of knowledge

1. INTRODUCCIÓN

El interés por el estudio de la Argumentación Matemática está dirigido a la propuesta de los libros de texto de Matemática en la Enseñanza Secundaria. El problema surge de la necesidad de describir las modificaciones que se originan con la implementación de la Reforma Educativa de 1994; teniendo en cuenta que dicho cambio originó la reformulación de la mayoría de los libros de texto, no así de los contenidos, adecuándolos a las características del nuevo Sistema Educativo.

La relevancia de estudiar las variaciones que se producen en torno a la Argumentación a lo largo del tiempo, deriva de las características identificadas en los libros de Matemática analizados; que obedecen a ciertas particularidades determinadas por el período en que fueron editados los libros. Se evidencian modificaciones en la forma en que se inicia la Argumentación, en la manera de concebir a la Matemática, en los tipos de razonamientos empleados y en el tipo de actividades o situaciones que se proponen.

Estos cambios instalan la problemática de analizar y describir las estrategias argumentativas que emplean los ejemplares en cada período de edición y para los distintos años de la escolaridad para los que están dirigidos, pudiendo distinguir cuales son los libros argumentativos de los que no lo son, de acuerdo al "grado de Argumentación" que poseen.

Los resultados obtenidos podrían contribuir con la Enseñanza de la Matemática en el Nivel Medio y en particular con aquellos docentes en formación y en servicio que, por lo general consultan y utilizan estos libros, proporcionando a partir de esta investigación herramientas teóricas que les ayuden a reflexionar y sustentar decisiones didácticas que son responsabilidad suya.

El trabajo está justificado por el papel imprescindible del proceso de Argumentación en el aprendizaje de la matemática, y el humilde desempeño de los alumnos en la comprensión y elaboración continua de argumentaciones en el aula; dado que en las aulas de matemática de hoy, no se trabaja deliberadamente en la Argumentación; más bien se opta por la repetición de ejercicios, reduciendo el trabajo del alumno a copiar y reproducir el conocimiento propuesto por el profesor. Esta manera de enseñar y aprender matemática oculta el acceso a: el razonamiento, la prueba, la discusión, la posibilidad de compartir significados y la producción de un nuevo conocimiento. Una forma de favorecer los procesos de devolución a los alumnos de la responsabilidad matemática que les cabe, es mediante la interacción social, la producción de discursos y la posibilidad de compartir y construir significados.

Teniendo en cuenta que en matemática, el contexto de producción de los argumentos, es diferente de los demás contextos de la actividad social, el tipo de comunicación entre los individuos que requiere la Argumentación matemática parece revestir características propias.

Se discuten las características de los libros de texto y del tipo de argumentación que estos proponen, analizando como los textos han modificado la forma de argumentar en matemática a lo largo del tiempo y discutiendo las implicaciones didácticas de estos cambios.

2. MARCO TEÓRICO

La descripción de la Argumentación Matemática a lo largo del tiempo se realiza estableciendo relaciones epistemológicas, didácticas y cognitivas. Se han revisado diversas perspectivas acerca de la Argumentación Matemática a saber: la Visión Formalista de la Matemática, la Visión Epistemológica de la Didáctica de la Matemática (Arsac, Chapiron, Colonna, Germain, Guichard, Mante, 1992; Arsac 1987; Recio, 1997, 1999; Godino, Recio, 2001) y también el enfoque de la Socioepistemología en Educación Matemática (Crespo Crespo, 2005, 2006a, 2006b, Crespo Crespo, Farfán, 2005, 2006; D´Amore, 2005a, 2005b).

Las perspectivas anteriores se han enriquecido con una concepción más amplia que considera las relaciones entre lenguaje, discurso, conocimiento y argumentación (Bakhtin, 1998; Banks Leite, 2004, 2007; Candela, 1998; Colinvaux, 2007; Goulart, 2004, 2007; Leitão, 2001, 2007; Leitão y Banks-Leite, 2006; Santos, 2007). En este trabajo interesa comprender la Argumentación en el sentido que le atribuye Leitão (2001, 2007); analizando a partir de este referente, cuales son las características de los libros que explícitamente posibilitan al lector insertarse en procesos de negociación de divergencias consigo mismo.

2.1 Argumentación, revisión de perspectivas y construcción de conocimiento

La argumentación entonces, es aquí concebida como una actividad discursiva que se caracteriza por la defensa de puntos de vista y consideración de perspectivas contrarias. La necesidad comunicativa de compartir, discutir y defender un punto de vista, crea en el discurso un proceso de negociación en el cual las concepciones sobre el conocimiento son formuladas, revisadas y transformadas. Partiendo de esta idea, interesa comprender el papel mediador de la argumentación en la construcción de conocimiento como así también el proceso de negociación entre perspectivas contrarias, porque por un lado confiere a la argumentación un potencial epistémico (como mediador en procesos de construcción de conocimiento); y por otro, porque el impacto de la argumentación sobre la construcción del conocimiento "compromete" al argumentador en un proceso de revisión de sus propias perspectivas.

Se asume que la argumentación es por definición un fenómeno dialógico. Las relaciones dialógicas son posibles no solo entre enunciados completos (relativamente completos); sino que un abordaje dialógico es posible en relación a cualquier parte significante de un enunciado, en relación a una sola palabra. Las voces que la constituyen tienen su origen no solo en interlocutores presentes en la situación inmediata en que la argumentación es producida; sino también en una multiplicidad de artefactos (libros, grabaciones), y mas aún, en el discurso interior, en situaciones en que la argumentación se genera en ausencia de un interlocutor en el ambiente de su producción (escritura, interpretación); o en situaciones donde un individuo se involucra en una argumentación consigo mismo: Argumentación Autodirigida.

La adopción de una epistemología dialógica como marco de referencia para el estudio de las relaciones entre lenguaje/discurso, argumentación y conocimiento, implica no solo que la argumentación debe ser investigada como una actividad dialógica en el curso del cual la divergencia entre puntos de vista se examinan y negocian; sino que su estructura y funcionamiento estarán afectados por el entorno social en que se produce; atendiendo a una posible heterogeneidad en los discursos provocada por la heterogeneidad en los procesos cognitivos que se engendran a partir de ellos.

Concebir la Argumentación como una actividad dialógica implica que su estructura y funcionamiento están afectados por las características sociales en que son producidas. De acuerdo con lo anterior, la Argumentación sólo puede ser comprendida y adecuadamente investigada en relación a ciertas particularidades: tipo de interlocutor, grado de polémica del tema, peculiaridades del dominio de conocimiento en que se desarrolla el tema, objetivos comunicativos de los estudiantes y restricciones ideológicas institucionales impuestas por el contexto de Argumentación. Además de dichas particularidades, hay que tener en cuenta que las voces que constituyen la Argumentación tienen su origen no solo en interlocutores presentes en la situación inmediata en que la argumentación es producida, sino que también en una multiplicidad de artefactos disponibles en la cultura (libros, grabaciones) o en el llamado discurso interior.

Es necesario tener en cuenta que la Argumentación también envuelve un proceso de negociación entre diferentes instancias de enunciación (no necesariamente diferentes individuos) que asumen los papeles dialécticos de proponente y oponente, en relación con los puntos de vista discutidos. El papel del proponente es ofrecer elementos que den sustento al punto de vista y responder a las críticas y perspectivas alternativas propuestas por el oponente para la discusión; y el oponente trae a la discusión dudas, contra-argumentos y perspectivas alternativas que ponen en duda las posiciones del oponente.

Estas instancias de enunciación no deben ser entendidas en un sentido normativo que implique la necesidad de que todas aparezcan de modo explícito en el texto. Es posible que estos procesos de construcción de conocimiento sean producidos cuando un sujeto se involucra en un proceso de negociación de divergencias consigo mismo, marcado por la justificación de posiciones y por el examen y respuesta a las perspectivas contrarias (oponente imaginario).

La justificación de puntos de vista, la consideración de ideas alternativas, la oportunidad de compartir significados (aunque consigo mismo), la interacción social, crean en el discurso un espacio de negociación en el cual las concepciones de los individuos son reformuladas, transformadas. Por tal motivo, interesa el papel constitutivo de la argumentación en la construcción del conocimiento.

Para este trabajo es importante la noción de Argumentación Autodirigida como una actividad discursiva privilegiada en relación a los procesos de construcción de conocimiento. En ella el argumentador es confrontado con perspectivas alternativas generadas consigo mismo, a las cuales también se necesita responder. Esta necesidad de encontrar respuestas a los puntos de vistas alternativos, "lleva" al individuo a la revisión de sus propias perspectivas sobre el tema discutido, generando la oportunidad de modificar las mismas. Más en particular, interesan los procesos de construcción de conocimiento y revisión de puntos de vista que son implementados cuando un sujeto se involucra en un proceso de negociación de divergencias consigo mismo y con los libros de texto, marcado por la justificación de posiciones y por el examen y respuesta a las perspectivas contrarias.

Son tres los atributos básicos que diferencian y definen a este tipo de Argumentación donde el individuo hace de oponente y crítico del mismo argumento. Estos componentes son la dialogicidad, la dialecticidad y la reflexividad. La dialogicidad captura la diversidad del lenguaje indispensable para que el sujeto argumente consigo mismo; el segundo atributo, la dialecticidad posibilita compartir puntos de vista desencadenando en el individuo un movimiento de autorregulación que orienta sus discursos para la búsqueda de la solución o respuesta buscada; y por último, la reflexividad posibilita la existencia de una relación reflexiva entre el individuo que piensa, habla y el objeto de su pensamiento o discurso.

De acuerdo con las características de los libros de texto, es necesario considerar por un lado la existencia de argumentación -en un sentido estricto del término- en un espacio de confrontación, de negociación de puntos de vista (en situaciones cara a cara; o en ausencia de un interlocutor) como recursos de mediación en procesos de construcción y transformación del conocimiento, y desencadenando en los individuos, un proceso de revisión de sus perspectivas. Mientras que por otro lado, en un sentido amplio, se considera que la argumentación es inherente a los principios dialógicos de los enunciados (todo enunciado es producido intencionalmente en la dirección de otro). Se considera que "enunciar es argumentar" (Goulart, 2007), es "actuar" sobre los otros, lo que significa que va mas allá de comprender y responder enunciados.

El análisis de los libros permite observar también diferentes maneras de fundamentar y concebir a la Matemática de acuerdo al año de edición de los ejemplares. Este cambio en las concepciones acerca de la Matemática como ciencia y de los diferentes tipos de razonamiento que se refleja en los textos, se describe mediante las Tradiciones: Axiomática, Estructuralista y Computacional en el sentido propuesto por Klimovsky y Boido (2005).

2.2 Naturaleza de la ciencia y características del Conocimiento Matemático

Para poder describir estos cambios relacionados con las formas de concebir a la Matemática y los diferentes tipos de razonamientos que se emplean en los libros, se toman en cuenta las ideas expuestas por Klimovsky y Boido en el libro Las desventuras del Conocimiento Matemático. Filosofía de la matemática: una introducción (2005). Estos autores realizan en su obra una especie de recorrido que muestra como se fundamenta la Matemática a lo largo del tiempo y proponen tres direcciones diferentes denominadas Tradiciones que caracterizan las formas de validar dicha ciencia.

Se describen cada una de las Tradiciones de la Matemática, porque se puede sugerir que la actividad de los matemáticos, y las formas de validar dicha Ciencia, se han desarrollado en tres direcciones diferentes, las cuales aunque no son totalmente independientes, son metodológicamente distintas; y las denominan: axiomática, computacional y estructural. Estas tradiciones se tienen en cuenta en la categorización que se realiza para analizar los (N=137) libros de texto de Matemática, lo que permite inferir que algunos de los atributos que definen y diferencian a estas Tradiciones; coinciden con las características de los textos escolares.

Se comienza por la Tradición Axiomática porque, de alguna manera, ya está presente en la geometría de Euclides (300 a.C.) y aún antes en el método demostrativo de Aristóteles. En esta tradición la idea central, es que se parte de principios simples y evidentes, los axiomas y luego, utilizando las formas correctas de razonamiento que establece la lógica, se deducen a partir de ellos los teoremas. Aquí la actividad matemática se divide en dos etapas, (1) proponer los principios; y (2) demostrar teoremas.

Muchas de las características de esta tradición se analizan en lo que respecta a los Sistemas Axiomáticos Formales y el Método Axiomático. La matemática pura, desde esta perspectiva, se transforma en una suerte de juego formal similar al ajedrez. Sin embargo, un sistema formal puede indicar modelos interesantes, en física o economía, con lo cual se ingresa en el importante terreno de la matemática aplicada, que ya no es posible concebir como un mero juego. Esta orientación de la matemática no encierra todo lo que se investiga en la llamada "matemática moderna", pero la podemos reconocer en el tratamiento de capítulos importantes de la disciplina.

La Tradición Computacional, a la que también se puede llamar Algorítmica, concibe a la Matemática como ocupándose de ciertos objetos, particularmente números, y de las operaciones y cálculos que se pueden realizar con ellos. De algún modo la Tradición tuvo su origen en Pitágoras (siglo VI a.C.), en afirmaciones atribuidas a éste tal como "los números constituyen la esencia del mundo". Con esta afirmación Pitágoras considera que el mundo se explica con el auxilio de los números, y mediante el cálculo sería posible resolver problemas destinados a acrecentar el conocimiento acerca de tales objetos.

Ésta es una tradición importante porque, como se puede advertir en las aplicaciones de la Matemática al cálculo contable o al de la computación, por ejemplo los sistemas axiomáticos no cumplen prácticamente función alguna. En el seno de esta tradición se ha desarrollado el álgebra, el cálculo infinitesimal y todos los grandes capítulos de la Matemática donde, a través del empleo de variables, ecuaciones, determinantes y matrices, se cuenta con instrumentos para actuar sobre los números y obtener datos numéricos como resultado de la investigación.

Además de las tradiciones Axiomática y Computacional, se considera la Tradición Estructural. La palabra "estructura" es polisémica, pero en el ámbito de la matemática tiene dos significaciones principales. La primera en un sentido bastante limitado de la palabra indica que una estructura es "un conjunto de elemento dentro del cual se toman en consideración ciertas relaciones y propiedades haciendo abstracción de las restantes". Por ejemplo, si consideramos los números naturales y la relación menor que, la estructura aquí está caracterizada por: (a) el conjunto de los elementos de la estructura, los números naturales, y (b) una cierta relación interna, la de menor que. Se pueden realizar operaciones entre números, tales como la suma, la resta, o vincularlos por medio de relaciones distintas de menor que, pero al concebir la estructura anterior todo ello debe ser ignorado.

La segunda noción de estructura, a la cual habría que llamar "tipo de estructura", hace referencia a un conjunto de estructuras que cumplen una misma serie de condiciones. Se pueden considerar por ejemplo, todas las estructuras donde hay una determinada relación de orden, por ejemplo las estructuras numéricas en las que hallamos relaciones tales como menor que (y así tendríamos ordenados de menor a mayor los números naturales, los enteros, los racionales o los reales).

En este trabajo, se utiliza el marco teórico, para la definición de las categorías de análisis, que se muestran y describen en el trabajo, a continuación.

3. PREGUNTAS DE LA INVESTIGACIÓN

3.1. ¿Cuáles son las diferencias y similitudes, en torno a la Argumentación matemática escolar entre los libros de texto anteriores y posteriores a la Reforma Educativa de 1994?

3.2. ¿Cómo varía el "grado de la Argumentación" en los diferentes períodos de edición considerados?

3.3. ¿Cuáles son las estrategias argumentativas empleadas por dichos ejemplares en cada Período de Edición y en cada uno de los Años de Escolaridad para los que están dirigidos?

4. METODOLOGÍA

Los textos más utilizados y representativos del Nivel Medio en el Sistema Educativo Argentino se seleccionan mediante muestreo intencional. Para el diseño y la construcción de las categorías y subcategorías de análisis se estudian (N=137) libros de Matemática del Nivel Medio. Se tiene en cuenta que el Sistema Educativo Argentino vigente desde 1995, segmentó a la antigua Secundaria de cinco años de duración en la Educación General Básica (7^mo, 8^vo y 9 ^no A&ntilde;o) denominada EGB3; y en el Nivel Polimodal (1^ero, 2^do y 3^er A&ntilde;o). Esta reforma produjo una sustituci&oacute;n y/o reformulaci&oacute;n de los libros de texto, no as&iacute; de los contenidos; adapt&aacute;ndolos a las caracter&iacute;sticas y requerimientos del Sistema Educativo y Dise&ntilde;os curriculares propuestos con la reforma.</font></p> <p align="left"><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La mayor&iacute;a de los textos analizados corresponden a ediciones posteriores a la Reforma Educativa por la gran cantidad de ejemplares que se editaron como consecuencia de la misma. Esta reforma produjo una sustituci&oacute;n de los libros anteriores a dicho cambio por otros que se ajustaran a los requerimientos del nuevo Sistema, y fue masiva la cantidad de libros que se editaron en comparaci&oacute;n con los a&ntilde;os anteriores. Por tal motivo, mayoritariamente se analizan ejemplares correspondientes a ediciones posteriores a la Reforma, que en total son (N=84); destinados a la EGB3 y Polimodal. Se analizan (N=34) libros correspondientes a Primero, Segundo, Tercero, Cuarto y Quinto a&ntilde;o de la &quot;antigua Secundaria&quot;; correspondientes estos al per&iacute;odo pre reforma y (N=19) libros editados entre 1940 y 1974 correspondientes a los distintos ciclos de la educaci&oacute;n secundaria y las escuelas nacionales de comercio, vigentes en ese momento.</font></p> <p align="left"><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Esto produjo una categorizaci&oacute;n inicial en dos metacategor&iacute;as: (A) caracter&iacute;sticas de los libros de texto y (B) caracter&iacute;sticas de la Argumentaci&oacute;n. Luego inductivamente se generaron categor&iacute;as y subcategor&iacute;as de an&aacute;lisis que se ajustan a las caracter&iacute;sticas de los libros de texto y al marco te&oacute;rico de la Investigaci&oacute;n. Las categor&iacute;as y subcategor&iacute;as generadas se muestran, resumen y describen en la <a href="#tab1">Tabla I</a>, a continuaci&oacute;n.</font><a name="tab1" id="tab1"></a></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04tab1.png" width="471" height="585" /></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">A partir de las categor&iacute;as y subcategor&iacute;as de an&aacute;lisis antes descritas, se realiza una descripci&oacute;n de las caracter&iacute;sticas de los libros y de la Argumentaci&oacute;n.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>5. DESCRIPCI&Oacute;N DE LAS CATEGOR&Iacute;AS DEAN&Aacute;LISIS Y RESULTADOS</b></font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>5.1 Caracter&iacute;sticas de los libros de texto</b></font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Se describen las caracter&iacute;sticas distintivas de los libros a partir de las categor&iacute;as: <b>(A1) </b>Periodo de Edici&oacute;n, <b>(A2) </b>A&ntilde;o de Escolaridad y <b>(A3) </b>Tradiciones de la Matem&aacute;tica.</font></p> <blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>A1- Per&iacute;odo de edici&oacute;n:</b></font></p> </blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Del an&aacute;lisis de los textos surgen tres subcategor&iacute;as: libros de texto editados entre 1940 y 1973 <b>(Per&iacute;odo 1)</b>, libros de texto editados entre 1974 y 1994; anteriores a la reforma educativa <b>(Per&iacute;odo 2) </b>y libros de texto editados entre 1995 y 2007 <b>(Per&iacute;odo 3) </b>y correspondientes a la Reforma Educativa vigente desde 1995. El <a href="#graf1">Gr&aacute;fico 1</a> muestra la distribuci&oacute;n del total de libros analizados en cada per&iacute;odo considerado.</font><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b><a name="graf1" id="graf1"></a></b></font></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04graf1.png" width="270" height="164" /><br /> <font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>Gr&aacute;fico 1: </b>Distribuci&oacute;n de los libros analizados por cada per&iacute;odo de edici&oacute;n.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">Del Gr&aacute;fico se observa que la mayor&iacute;a de los libros analizados corresponden al Per&iacute;odo 3. Para llevar a cabo la investigaci&oacute;n, se seleccionan los textos m&aacute;s utilizados y representativos del Nivel Medio y como consecuencia se nota que es superior la cantidad de ejemplares disponibles editados con posterioridad a la reforma; conjunto de libros que superan a los editados en los dos primeros per&iacute;odos considerados. Este factor podr&iacute;a ser consecuencia de los cambios en la textualisaci&oacute;n que se produjo como consecuencia de la Reforma Educativa de 1994; as&iacute; como tambi&eacute;n podr&iacute;a estar relacionado con cuestiones que beneficien a la industria editorial. El punto es que la distribuci&oacute;n de los libros por cada per&iacute;odo de edici&oacute;n no fue intencional, sino que estas cantidades representan las posibilidades que hay de acceder a un libro para estudiar Matem&aacute;tica, correspondientes a cada per&iacute;odo de edici&oacute;n.</font></p> <blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>A2- A&ntilde;o de escolaridad</b></font></p> </blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Las tres subcategor&iacute;as generadas para describir la categor&iacute;a A&ntilde;o de Escolaridad son: <b>A2.1- Escolaridad 1 </b>libros de texto dirigidos a la escolaridad 7, 8 y 9; correspondientes a alumnos entre 12 y 14 a&ntilde;os aproximadamente, <b>A2.2-</b><b>Escolaridad 2 </b>libros de texto dirigidos a la escolaridad 10, 11, 12 correspondientes a los alumnos entre 15 y 17 a&ntilde;os y <b>A2.3 Ingreso </b>libros de texto editados para alumnos que cursan el ingreso a la universidad (18 a&ntilde;os aproximadamente). En el <a href="#graf2">Gr&aacute;fico 2</a> se muestra la distribuci&oacute;n de los ejemplares analizados de acuerdo a los distintos a&ntilde;os de escolaridad para el que se dirige cada texto.</font><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a name="graf2" id="graf2"></a></font></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04graf2.png" width="256" height="164" /><br /> <font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>Gr&aacute;fico 2: </b>Distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al A&ntilde;o de Escolaridad al que est&aacute;n destinados.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">Del Gr&aacute;fico 2 puede observarse que la mayor&iacute;a de los libros analizados corresponden a alumnos que cursan la Escolaridad 1 y en menor medida la Escolaridad 2. Considerando que los libros no se seleccionaron atendiendo al a&ntilde;o de escolaridad - la distribuci&oacute;n se dio as&iacute; - y teniendo en cuenta que gran parte de los libros fueron editados con posterioridad a la reforma, se puede interpretar que la textualisaci&oacute;n instalada por dicho cambio estuvo pensada primordialmente para los primeros a&ntilde;os de la escolaridad y sobre todo para el primero. Si bien no es posible determinar a partir del an&aacute;lisis de los dos primeros gr&aacute;ficos en que per&iacute;odo fueron editados los libros correspondientes a los cursos de ingreso, se nota que es menor la disponibilidad de estos ejemplares respecto de quien quiera utilizarlos, tal vez porque la demanda de los libros de este nivel sea inferior a los de Polimodal y sobretodo los de EGB 3 que se editan como consecuencia</font><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> de la Reforma.</font></p> <blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>A3- Tradiciones</b></font></p> </blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Cada uno de los ejemplares analizados se encuadra con alguna de las tradiciones: <b>A3.1- Computacional, A3.2-</b><b>Axiom&aacute;tica </b>o <b>A3.3 Estructuralista</b>; de acuerdo con las caracter&iacute;sticas que poseen los libros. En el Gr&aacute;fico 3 se muestra la distribuci&oacute;n de los ejemplares en las distintas tradiciones con que se identifica cada texto.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La distribuci&oacute;n de los libros del <a href="#graf3">Gr&aacute;fico 3</a>, muestra que la mayor&iacute;a de los ejemplares para estudiar matem&aacute;tica se caracterizan con la Tradici&oacute;n Computacional. Esto explica que gran parte de los textos conciben a la matem&aacute;tica como una ciencia ocupada en la resoluci&oacute;n de problemas de c&aacute;lculos, en los n&uacute;meros y en las operaciones que se puedan realizar con los n&uacute;meros. Considerando los dos gr&aacute;ficos anteriores, se puede interpretar que estos &quot;libros Computacionales&quot; han sido editados con posterioridad a la Reforma Educativa, y dirigidos principalmente a alumnos que cursan el primer a&ntilde;o de la escolaridad.</font><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b><a name="graf3" id="graf3"></a></b></font></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04graf3.png" width="256" height="157" /><br /> <font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>Gr&aacute;fico 3</b>: Distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo a la tradici&oacute;n con que se identifica cada ejemplar.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">La categor&iacute;a <b>Tradici&oacute;n Computacional (COMP) </b>se presenta en los libros que muestran a la matem&aacute;tica como una disciplina ocupada en la resoluci&oacute;n de problemas de c&aacute;lculo, en los n&uacute;meros, y en las operaciones que se puedan realizar con ellos. Del total de libros caracterizados con esta tradici&oacute;n (N=101), la mayor&iacute;a (N=76) libros fueron editados luego de la reforma educativa implementada en 1995, (N=23) se editaron en el per&iacute;odo pre reforma posterior al a&ntilde;o 1974 y s&oacute;lo (N=2) se editaron en el primer per&iacute;odo considerado (entre 1940 y 1973). Del total de libros que se identifican con la Tradici&oacute;n Computacional, (N=64) est&aacute;n destinados a alumnos entre 12 y 14 a&ntilde;os, (N=35) a lo que corresponder&iacute;a al Polimodal actual y s&oacute;lo (N=2) correspondientes a alumnos con m&aacute;s de 18 a&ntilde;os.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> En esta tradici&oacute;n se deja al lector la posibilidad de realizar c&aacute;lculos num&eacute;ricos como medio para contestar las preguntas, y obtener por generalizaci&oacute;n la definici&oacute;n del teorema buscado. Se enuncian los Teoremas y a continuaci&oacute;n se proponen otros ejercicios y aplicaciones que requieren tambi&eacute;n del c&aacute;lculo num&eacute;rico para su soluci&oacute;n. Se interpreta que para el lector ser&iacute;an suficientes las verificaciones realizadas a partir de las operaciones y c&aacute;lculos que se indican en el libro, y de esta manera pueden aceptar las propiedades como verdaderas.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La subcategor&iacute;a <b>Tradici&oacute;n Axiom&aacute;tica (AXIO) </b>es asumida por los libros que comienzan ofreciendo definiciones, proponen principios y utilizando razonamientos deductivos, obtienen los teoremas y presentan los pasos de las respectivas demostraciones. Del total de libros identificados con la Tradici&oacute;n Axiom&aacute;tica (N=25) libros, (N=19) fueron editados antes de la reforma educativa, y s&oacute;lo (N=6) luego de esta. Del total de libros que se identifican con la Tradici&oacute;n Axiom&aacute;tica, s&oacute;lo (N=9) corresponden a alumnos entre 12 y 14 a&ntilde;os y (N=16) a alumnos a partir de 15 a&ntilde;os. De los datos anteriores, se observa que la mayor&iacute;a de los libros que se identifican con esta tradici&oacute;n corresponden a ediciones anteriores a la reforma y est&aacute;n destinados a alumnos que estudian matem&aacute;tica en el segundo A&ntilde;o de Escolaridad considerado.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Los libros que se identifican con esta tradici&oacute;n, comienzan proponiendo una breve introducci&oacute;n te&oacute;rica, luego (en algunos casos) se muestra con ejemplos la relaci&oacute;n que se quiere demostrar, y se enuncia a continuaci&oacute;n el teorema a demostrar. Para la demostraci&oacute;n del mismo se proponen la hip&oacute;tesis, la tesis, y se utiliza un esquema (en este caso) que colabora en el entendimiento de las deducciones realizadas en los sucesivos pasos de la demostraci&oacute;n. Una vez demostrado el teorema se enuncian los corolarios que se deducen del teorema demostrado y se muestran otros ejemplos como una aplicaci&oacute;n del teorema anterior.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Los libros caracterizados dentro de esta tradici&oacute;n, a diferencia de los dem&aacute;s, muestran claramente el punto de partida del enunciado, el significado del teorema, la identificaci&oacute;n de las hip&oacute;tesis, la tesis (lo que se quiere demostrar), la interpretaci&oacute;n gr&aacute;fica (en caso que hubiera), la demostraci&oacute;n, la relaci&oacute;n de este teorema con otros resultados (corolarios, teoremas rec&iacute;procos) y la importancia pr&aacute;ctica de la propiedad enunciada.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La &uacute;ltima de las tradiciones, la <b>Tradici&oacute;n Estructuralista (ESTR) </b>es asumida por los libros que muestran al trabajo matem&aacute;tico como b&uacute;squeda de regularidades y entendimiento de estructuras que cumplen una misma serie de condiciones. Se identificaron en total (N=11) libros con esta tradici&oacute;n. De &eacute;stos, (N=9) corresponden a ejemplares editados con anterioridad a la Reforma Educativa, en su mayor&iacute;a entre 1974 y 1994 y s&oacute;lo (N=2) con posterioridad a dicha Reforma.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> En la mayor&iacute;a de los libros que se identifican con la tradici&oacute;n Estructuralistas, a diferencia de los que se identifican con la Axiom&aacute;tica, se enuncian los teoremas pero no se demuestran ni se proponen otros teoremas alternativos que derivan del primero. Por lo general, tampoco se proponen valores num&eacute;ricos que verifiquen el teorema, pero s&iacute; suelen utilizarse algunas propiedades que requieran del c&aacute;lculo para su soluci&oacute;n, y que a partir de las mismas se enuncien otras propiedades que tampoco son demostradas. Los &quot;libros Estructuralistas&quot; optan por mostrar que hay propiedades, teoremas, -una &quot;estructura&quot;- que se obtiene de tomar un conjunto de elementos y ciertas relaciones o propiedades entre ellos y que es posible a partir de &eacute;sta, encontrar otras estructuras que cumplen con estas mismas condiciones.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> De las caracter&iacute;sticas que describen el conjunto de libros analizados, podemos interpretar que gran parte de los libros disponibles corresponden al per&iacute;odo posterior a la Reforma, editados principalmente para alumnos que cursan los dos primeros a&ntilde;os de la escolaridad y que conciben a la matem&aacute;tica como una ciencia que se ocupa de la obtenci&oacute;n de resultados num&eacute;ricos, a partir de los cuales es posible realizar generalizaciones. Los libros que se identifican con las tradiciones Axiom&aacute;tica y Estructuralista; a diferencia de los anteriores, los &quot;computacionales&quot;, corresponden en su mayor&iacute;a a ediciones anteriores a la reforma y est&aacute;n dirigidos principalmente a los alumnos a partir de los 15 a&ntilde;os. Estos libros no realizan generalizaciones a partir del cumplimiento de algunos ejemplos num&eacute;ricos, sino que parten del teorema o propiedad y emplean razonamientos deductivos que justifiquen el teorema o buscan regularidades entre las propiedades enunciadas. </font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">Con el <a href="#esq1">Esquema I</a> se describen las modificaciones producidas en los libros, de acuerdo al Per&iacute;odo de edici&oacute;n de los mismos; identificando las caracter&iacute;sticas de los ejemplares anteriores y posteriores a la Reforma Educativa de 1994. Se muestra qu&eacute; Tradiciones de la Matem&aacute;tica predominan en cada per&iacute;odo de edici&oacute;n y se interpreta en el sentido que las flechas indican, con diferentes colores. Estas modificaciones entendidas en un sentido amplio de Argumentaci&oacute;n, se muestran en el esquema a continuaci&oacute;n.</font></p> <p align="center"><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b><a name="esq1" id="esq1"></a>Esquema I: </b>Se presentan las caracter&iacute;sticas de los libros, en cada Per&iacute;odo de Edici&oacute;n</font><br /> <img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04esq1.png" width="543" height="162" /></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">El esquema permite interpretar que los libros anteriores a la reforma son Axiom&aacute;ticos y en menor medida, Estructuralistas y Computacionales; y en el &uacute;ltimo per&iacute;odo considerado (en los libros editados como consecuencia de la Reforma) predominan los libros Computacionales. Esto permite interpretar que a medida que los libros corresponden a los diferentes per&iacute;odos de edici&oacute;n cambia la forma de concebir y fundamentar la matem&aacute;tica.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>5.2 Caracter&iacute;sticas de la Argumentaci&oacute;n</b></font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Las categor&iacute;as generadas para describir la Argumentaci&oacute;n en cada uno de los ejemplares son: <b>(B1) </b>Inicio de la Argumentaci&oacute;n, <b>(B2) </b>Tipo de Argumentaci&oacute;n y <b>(B3)</b> Grado de Argumentaci&oacute;n.</font></p> <blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>B1- Inicio de la Argumentaci&oacute;n</b></font></p> </blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Con esta categor&iacute;a se hace referencia al modo en que se inicia la argumentaci&oacute;n al comienzo de cada cap&iacute;tulo seleccionado del total de los libros estudiados. Se definen tres subcategor&iacute;as: <b>B1.1- Pregunta (PREG)</b>, <b>B1.2-</b><b>Definici&oacute;n (DEFI) </b>y <b>B1.3- Ejemplos (EJEM) </b>y se muestra en el <a href="#graf4">Gr&aacute;fico 4</a> la forma en que se distribuyen los libros de acuerdo al modo en que inician la Argumentaci&oacute;n en cada cap&iacute;tulo estudiado.</font><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b><a name="graf4" id="graf4"></a></b></font></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04graf4.png" width="275" height="166" /><br /> <font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>Gr&aacute;fico 4:</b> Distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al modo en que inician la Argumentaci&oacute;n.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">Del Gr&aacute;fico 4, se observa que la mayor&iacute;a de los libros inician la Argumentaci&oacute;n mediante una definici&oacute;n o pregunta y en menor medida a partir de un ejemplo. La distribuci&oacute;n de los ejemplares respecto del Inicio de la Argumentaci&oacute;n tambi&eacute;n es casual, por lo que se puede interpretar que en Matem&aacute;tica predominan las definiciones y preguntas sobre los ejemplos, pero s&oacute;lo para el inicio de cada cap&iacute;tulo. Las subcategor&iacute;as que definen el Inicio de la Argumentaci&oacute;n, podr&iacute;an estar relacionadas con la distribuci&oacute;n de los ejemplares de acuerdo al per&iacute;odo en que fueron editados.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La categor&iacute;a <b>B1.1- Pregunta </b>caracteriza a los libros que inician cada cap&iacute;tulo mediante una situaci&oacute;n problema, o una pregunta, tomada como modelo (en la mayor&iacute;a de los casos solo una, la inicial) que generalmente tiene la respectiva respuesta y que es utilizada como medio de soluci&oacute;n para las nociones que se van a abordar. De acuerdo a lo analizado en la totalidad de los ejemplares que se caracterizan con la subcategor&iacute;a, que en total son (N=53), pareciera que las situaciones problemas o preguntas se implementan m&aacute;s como una &quot;moda pedag&oacute;gica&quot; que como una respuesta a la necesidad instalada por la evoluci&oacute;n de la Did&aacute;ctica de la Matem&aacute;tica de trabajar con Situaciones.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Las preguntas/situaciones a las que anteriormente se hizo referencia, ser&iacute;a interesante que surgieran como una herramienta que posibilite al lector construir los conceptos que eventualmente podr&iacute;an surgir de la misma, m&aacute;s que como una obediencia de responder a la &quot;moda pedag&oacute;gica&quot; aparentemente instalada, de acuerdo a lo que se interpreta del an&aacute;lisis realizado. Esto ocurre, sobre todo en los libros editados aproximadamente sobre el a&ntilde;o 1990.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> De los libros que inician la argumentaci&oacute;n mediante una pregunta, la mayor&iacute;a corresponden al segundo y tercer per&iacute;odo de edici&oacute;n considerados. La mayor&iacute;a de los libros implementan una situaci&oacute;n problema para iniciar cada unidad, donde la &quot;pregunta&quot; aparece m&aacute;s como una forma de responder a la &quot;moda pedag&oacute;gica&quot; instalada al momento, que como una herramienta que colabora en la construcci&oacute;n de un determinado objeto matem&aacute;tico. Hay libros que proponen una situaci&oacute;n problema al iniciar la unidad, y a partir de su resoluci&oacute;n se definen y construyen determinadas propiedades. Estos &uacute;ltimos libros no solo proponen una colecci&oacute;n de situaciones para obedecer a esta &quot;moda&quot; que aparentemente est&aacute; instalada, sino que dichas situaciones podr&iacute;an estar &quot;m&aacute;s cargadas&quot; de significados para el lector por la manera en que se desarrollan y relacionan con el contenido.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La otra subcategor&iacute;a que describe al Inicio de la Argumentaci&oacute;n es <b>B1.2- Definici&oacute;n </b>y con esta se identifican los libros que comienzan empleando definiciones para introducir un nuevo conocimiento. Hay en la subcategor&iacute;a (N=60) ejemplares, la mayor&iacute;a de los cuales han sido editados en los dos primeros per&iacute;odos considerados. Estos ejemplares no proponen situaciones problema - preguntas; ni siquiera en los ejercicios de familiarizaci&oacute;n al final de cada cap&iacute;tulo, s&iacute; una &quot;gu&iacute;a de actividades&quot; para resolver. Los libros que se identifican con esta subcategor&iacute;a propician un tipo de discurso que no busca sino informar al lector, por las sucesivas definiciones que se van presentando en caso de ser oportuno.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La &uacute;ltima de las subcategor&iacute;as que define al Inicio de Argumentaci&oacute;n es <b>B1.3- Ejemplos</b>. &Eacute;sta hace referencia a los libros que utilizan ejemplos para introducir determinados conceptos, a partir de los cuales se realizan generalizaciones. Se identificaron (N=24) ejemplares con dicha subcategor&iacute;a, gran parte de &eacute;stos editados luego de la reforma educativa. La mayor&iacute;a de los libros que inician cada cap&iacute;tulo con un ejemplo, lo hacen con el objetivo de que el lector comprenda el significado de la propiedad que se va a enunciar.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La utilizaci&oacute;n de argumentos inductivos (que se describen a continuaci&oacute;n) es usual en este tipo de procesos, donde se presenta la generalizaci&oacute;n de una propiedad tras verificar el cumplimiento de un n&uacute;mero finito de ejemplos, y en ocasiones s&oacute;lo uno. En estos libros, a lo largo del cap&iacute;tulo se van proponiendo nuevos ejemplos para generalizar tambi&eacute;n nuevos conocimientos a partir de un &uacute;nico caso tomado como representante.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Con la categor&iacute;a Inicio de la Argumentaci&oacute;n se describi&oacute; la manera en que los libros inician la Argumentaci&oacute;n en cada cap&iacute;tulo. Como se dijo en p&aacute;rrafos anteriores, el inicio de la Argumentaci&oacute;n tambi&eacute;n podr&iacute;a estar relacionado con el per&iacute;odo en que fueron editados los libros. Los libros que desde un principio proponen definiciones, corresponden en su mayor&iacute;a a los dos primeros per&iacute;odos considerados; mientras que los que inician la Argumentaci&oacute;n mediante una pregunta corresponden a los dos &uacute;ltimos per&iacute;odos; y los que introducen cada cap&iacute;tulo mediante ejemplos est&aacute;n editados en su mayor&iacute;a con posterioridad a la Reforma.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Quiere decirse que a medida que los libros corresponden a ediciones mas recientes tambi&eacute;n cambia el modo en que se inicia la Argumentaci&oacute;n en cada cap&iacute;tulo, pasando desde el inicio de la argumentaci&oacute;n mediante una definici&oacute;n, a ejemplos o preguntas en el &uacute;ltimo per&iacute;odo pero las sucesivas argumentaciones, a lo largo del cap&iacute;tulo se inician mediante definiciones. Esto &quot;explica&quot; esta moda pedag&oacute;gica a la que anteriormente se ha hecho referencia de colocar s&oacute;lo al inicio del cap&iacute;tulo situaciones problemas, y a continuaci&oacute;n del mismo las argumentaciones se realizan mediante definiciones. Entre 1940 y 1973 los libros inician la Argumentaci&oacute;n del cap&iacute;tulo mediante definiciones, entre 1974 y 1994 mediante definiciones o preguntas y entre 1995 y 2007 mediante preguntas o ejemplos en su mayor&iacute;a.</font></p> <blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>B2- Tipo de Argumentaci&oacute;n</b></font></p> </blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Es posible argumentar de determinadas maneras. Sin embargo, la justificaci&oacute;n de algunas proposiciones y teoremas est&aacute;n &quot;respaldadas&quot; por la utilizaci&oacute;n de ciertos recursos deductivos y procedimientos matem&aacute;ticos, que no siempre son utilizados. Dependiendo del uso que se haga de estos recursos, se definen las subcategor&iacute;as correspondientes a la categor&iacute;a Tipo de Argumentaci&oacute;n. Estas son <b>B2.1- Argumentaci&oacute;n Deductiva (DEDU) </b>y <b>B2.2- Argumentaci&oacute;n Inductiva (INDU)</b>. El Gr&aacute;fico 5 muestra la distribuci&oacute;n del total de ejemplares analizados por cada categor&iacute;a.</font><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a name="graf5" id="graf5"></a></font></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04graf5.png" width="275" height="160" /><br /> <font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>Gr&aacute;fico 5</b>: Distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al Tipo de Argumentaci&oacute;n empleada en cada ejemplar.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Del gr&aacute;fico se observa que la mayor&iacute;a de los libros emplean razonamientos inductivos. La distribuci&oacute;n de los libros no fue intencional, lo que permite explicar que en los libros de Matem&aacute;tica del Nivel Medio hay un predominio de razonamientos inductivos sobre los deductivos, y que a partir del Gr&aacute;fico 1 que representa la distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al per&iacute;odo de Edici&oacute;n podr&iacute;a entenderse que los &quot;libros inductivos&quot; corresponden a ediciones posteriores a la Reforma. Como tambi&eacute;n se describi&oacute; en Gr&aacute;fico 4, predominan las preguntas y definiciones sobre los ejemplos como modos de iniciar la Argumentaci&oacute;n en el total de libros analizados; entonces seguramente los libros que inician la Argumentaci&oacute;n mediante preguntas o definiciones emplean tambi&eacute;n razonamientos inductivos.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">La <b>Argumentaci&oacute;n Deductiva (B2.1), </b>es caracter&iacute;stica de aquellos libros de texto que optan por una argumentaci&oacute;n matem&aacute;tica deductiva, de car&aacute;cter m&aacute;s o menos formal, pudiendo llegar hasta el m&eacute;todo axiom&aacute;tico. Se identificaron (N=64) ejemplares con el tipo de argumentaci&oacute;n deductiva; la mayor&iacute;a de los cuales inician la Argumentaci&oacute;n mediante una definici&oacute;n, y a lo largo del cap&iacute;tulo se van proponiendo otras definiciones (sean estas teoremas o propiedades) que son verificadas deductivamente. El tipo de actividades que se proponen en estos libros al final de la unidad &quot;conservan la formalidad&quot; en el tipo de lenguaje priorizado.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Entre estos libros deductivos hay algunos que emplean razonamientos deductivos m&aacute;s formales que otros, distinguiendo los libros &quot;deductivos formales&quot; de los&quot;deductivos informales&quot;. Los &quot;libros deductivos formales&quot; se han editado en su mayor&iacute;a en el primer per&iacute;odo considerado y corresponden al segundo a&ntilde;o de la escolaridad, es decir, a los &uacute;ltimos a&ntilde;os de la Educaci&oacute;n Media; o los libros para estudiar el curso de ingreso a la universidad, estos &uacute;ltimos editados en el &uacute;ltimo per&iacute;odo considerado, posterior a la Reforma Educativa. Entre los libros que se identifican con la Argumentaci&oacute;n Deductiva Formal, se observa un cierto formalismo (en la utilizaci&oacute;n de lenguaje formal y simb&oacute;lico) y cada afirmaci&oacute;n que forma parte de la argumentaci&oacute;n, est&aacute; justificada desde el punto de vista l&oacute;gico. Estos libros se caracterizan por proponer expl&iacute;citamente: definici&oacute;n, teorema, hip&oacute;tesis, tesis, demostraci&oacute;n, teorema rec&iacute;proco y ejercicios de aplicaci&oacute;n.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Los libros que emplean razonamientos deductivos m&aacute;s informales que los anteriores han sido identificados como&quot;deductivos informales&quot;. Estos libros por lo general demuestran un teorema derivado de la necesidad de resolver una situaci&oacute;n problema. En las demostraciones que se realizan en los mismos se utilizan otros teoremas que se admiten como verdaderos y cuya demostraci&oacute;n no se encuentra en el libro; obteniendo como resultado el enunciado del teorema.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> De acuerdo con las descripciones anteriores, la matem&aacute;tica escolar admite distintos Tipos de Argumentaci&oacute;n. Adem&aacute;s de las deductivas (formal e informal descritas anteriormente), la que describe la subcategor&iacute;a <b>B2.2 </b>es la <b>Argumentaci&oacute;n Inductiva</b>. Este Tipo de Argumentaci&oacute;n caracteriza a los libros que realizan generalizaciones a partir del an&aacute;lisis de ejemplos (generalmente pocos) o mediante transformaciones sobre un &uacute;nico ejemplo seleccionado, tomado como representante. En el &aacute;mbito escolar, este tipo de argumentaciones generalmente son consideradas como verdaderas, porque independientemente de sus interrelaciones formales y deductivas, su validez se incrementa a medida que se muestran o producen m&aacute;s hechos que se ajusten al enunciado.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La mayor&iacute;a de los libros que se identifican con esta subcategor&iacute;a fueron editados en el tercer per&iacute;odo considerado. El inicio de la Argumentaci&oacute;n, en la mayor&iacute;a de los casos se da mediante preguntas y definiciones y en menor medida mediante ejemplos. En total se identifican (N=73) ejemplares con el Tipo de Argumentaci&oacute;n Inductiva. Los libros identificados con este Tipo de Argumentaci&oacute;n, toman uno o m&aacute;s ejemplos como casos particulares, a partir de los cuales, se realizan generalizaciones y se definen los teoremas o propiedades. Los teoremas que se enuncian producto de la generalizaci&oacute;n realizada a partir de ciertos casos particulares, no tienen la respectiva demostraci&oacute;n que los valide.<br /> De acuerdo a las particularidades de la Argumentaci&oacute;n, se interpreta que predomina una matem&aacute;tica de&quot;caracter&iacute;sticas informales&quot;, cuesti&oacute;n que podr&iacute;a estar explicada por la cantidad de ejemplares analizados correspondientes a los distintos per&iacute;odos de edici&oacute;n. En los libros de ediciones m&aacute;s recientes, los conceptos matem&aacute;ticos aparecen vinculados con objetos y situaciones de la vida cotidiana. Las argumentaciones poseen en este per&iacute;odo un car&aacute;cter informal y los razonamientos son de tipo inductivos, por lo general. Las actividades matem&aacute;ticas que proponen los libros se refieren a justificar soluciones y conjeturas. En los libros correspondientes a los primeros per&iacute;odos de edici&oacute;n, predominan razonamientos m&aacute;s formales, en los que se alcanza un mayor grado de abstracci&oacute;n en las generalizaciones. Las actividades est&aacute;n orientadas a la formulaci&oacute;n de hip&oacute;tesis, poniendo &eacute;nfasis en la importancia de la verificaci&oacute;n deductiva de los razonamientos alcanzados. En particular, en el primer per&iacute;odo de edici&oacute;n; todos los razonamientos est&aacute;n justificados deductivamente.</font></p> <blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>B.3- Grado de la Argumentaci&oacute;n</b></font></p> </blockquote> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> De acuerdo con la definici&oacute;n de Argumentaci&oacute;n asumida en este trabajo, se hablar&aacute; de &quot;grado de argumentaci&oacute;n&quot; seg&uacute;n si el libro posibilite expl&iacute;citamente la generaci&oacute;n de una confrontaci&oacute;n, que puede ser resuelta mas adelante, o que quede a cargo del alumno lector. Si lo anterior no sucede, el discurso del libro no busca sino informar. Se identifican tres subcategor&iacute;as: <b>B3.1- Grado de</b><b>Argumentaci&oacute;n Alto (ALTO)</b>, <b>B3.2- Grado de</b><b>Argumentaci&oacute;n Medio (MEDI) </b>y <b>B3.3- Grado de</b><b>Argumentaci&oacute;n Nulo (NULO)</b>, y la distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo a las distintas subcategor&iacute;as se muestra en el <a href="#graf6">Gr&aacute;fico 6</a> a continuaci&oacute;n</font><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a name="graf6" id="graf6"></a></font></p> <p align="center"><img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04graf6.png" width="254" height="152" /><br /> <font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"><b>Gr&aacute;fico 6</b>: Distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al Grado de Argumentaci&oacute;n que emplea en cada ejemplar.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif">Considerando que la distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al grado de Argumentaci&oacute;n no fue intencional, se interpreta que del total de ejemplares analizados la mayor&iacute;a de los libros son no argumentativos en sentido estricto, es decir, no generan expl&iacute;citamente ning&uacute;n tipo de confrontaci&oacute;n. En caso que los libros tengan expl&iacute;citamente alguna intenci&oacute;n confrontativa el mismo libro la resuelve a continuaci&oacute;n. Considerando adem&aacute;s, por los dos gr&aacute;ficos antes analizados que la mayor&iacute;a de los libros emplean argumentaciones de tipo Inductivas, realizadas a partir de preguntas o definiciones; puede entenderse que los libros no argumentativos tambi&eacute;n cumplen con las caracter&iacute;sticas anteriores.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La primera de las subcategor&iacute;as <b>B3.1- Grado de</b><b>Argumentaci&oacute;n Alto </b>hace referencia a los libros cuyo discurso intenta generar expl&iacute;citamente alg&uacute;n tipo de conflicto cognitivo, que no est&aacute; resuelto en el texto. Los libros altamente argumentativos, por lo general inician la Argumentaci&oacute;n mediante una pregunta. Los (N=5) libros descritos por la subcategor&iacute;a desde el comienzo de cada cap&iacute;tulo proponen situaciones problema, donde la respuesta de las mismas quedan a cargo del lector y adem&aacute;s, estas preguntas o situaciones est&aacute;n &quot;acompa&ntilde;adas&quot; por un discurso que posibilita la respuesta a esos problemas.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> De los (N=5) libros que se identifican por tener grado de Argumentaci&oacute;n alto, algunos plantean situaciones y sus respectivas respuestas, y al final de la unidad no proponen una &quot;gu&iacute;a de actividades&quot; para resolver como s&iacute; lo hacen la mayor&iacute;a de los libros, sino un conjunto de situaciones de las cuales se desconoce la respuesta, quedando la soluci&oacute;n del problema a cargo del lector. Esta responsabilidad por parte del alumno de &quot;hacerse cargo&quot; de su propio conocimiento, es lo que marca la diferencia con los libros que se categorizan entre los que presentan grado de Argumentaci&oacute;n Medio o Bajo y son los ejemplares que efectivamente podr&iacute;an propiciar la construcci&oacute;n del Conocimiento versus aquellos libros que est&aacute;n ocultando esta posibilidad en el lector.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> A diferencia de estos cinco libros altamente argumentativos, los ejemplares medianamente argumentativos o no argumentativos, por lo general proponen al finalizar la unidad una gu&iacute;a de actividades para resolver (no necesariamente con las respectivas respuestas), o bien proponen situaciones; pero las soluciones de dichos problemas se dan a continuaci&oacute;n de la situaci&oacute;n o en su defecto al final del cap&iacute;tulo. De esta manera no s&oacute;lo no hay espacio para las confrontaciones a lo largo de la unidad, sino que en el &quot;espacio de familiarizaci&oacute;n&quot; para el lector tampoco, y si lo hay tambi&eacute;n est&aacute; la respectiva respuesta. El lector en estos casos puede optar por hacerse cargo de las situaciones a resolver, o directamente por leer y entender la soluci&oacute;n del problema propuesto. De esta manera estos libros no propician la Argumentaci&oacute;n (entendida en sentido estricto), y como consecuencia anulan toda posibilidad de confrontaci&oacute;n en el lector ocult&aacute;ndole la posibilidad de que construya su propio conocimiento.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Los libros que se identifican con algunas de las caracter&iacute;sticas antes definidas corresponden a la categor&iacute;a <b>B3.2- Grado de Argumentaci&oacute;n Medio </b>y se incluyen los libros que intentan generar expl&iacute;citamente alg&uacute;n tipo de conflicto cognitivo en el lector, pero que el texto resuelve a continuaci&oacute;n. Se identificaron con esta subcategor&iacute;a (N=51) ejemplares en total. Estos libros intentan generar expl&iacute;citamente alg&uacute;n tipo de conflicto mediante una situaci&oacute;n problema que se resuelve a continuaci&oacute;n de la misma, con el objetivo de definir los contenidos de la unidad.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La &uacute;ltima de las subcategor&iacute;as de la categor&iacute;a Grado de Argumentaci&oacute;n es <b>B3.3- Grado de Argumentaci&oacute;n Nulo</b> y hace referencia a los libros que no tienen otra intenci&oacute;n que informar al lector. La mayor&iacute;a de los libros analizados se identifican con esta subcategor&iacute;a y en total son (N=81). Poseen grado de Argumentaci&oacute;n Nulo los libros que proponen actividades para completar, a partir de las cuales se muestran las definiciones y generalizaciones. Estos libros no propician expl&iacute;citamente ning&uacute;n tipo de confrontaci&oacute;n, excepto que a la persona que tenga que completarlo o resolver dichas actividades, se le genere una duda en algunos de los pasos de la soluci&oacute;n.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Se interpreta que el grado de Argumentaci&oacute;n Nulo no estar&iacute;a relacionado con el a&ntilde;o de edici&oacute;n de los libros, porque los ejemplares corresponden a los distintos per&iacute;odos de edici&oacute;n analizados. Con esto podemos concluir al menos parcialmente, que la distribuci&oacute;n de los libros de acuerdo al grado de argumentaci&oacute;n no estar&iacute;a afectada por el per&iacute;odo en que fueron editados. Tambi&eacute;n se puede entender que hay una ausencia de libros altamente argumentativos; independientemente del per&iacute;odo de edici&oacute;n, del tipo de Argumentaci&oacute;n empleada y del modo en que se inicia la Argumentaci&oacute;n.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Considerando conjuntamente las caracter&iacute;sticas de la Argumentaci&oacute;n se puede concluir que la mayor&iacute;a de los libros de Matem&aacute;tica inician la Argumentaci&oacute;n mediante preguntas o definiciones, empleando razonamientos de tipo inductivos, que no siempre son justificados deductivamente (s&oacute;lo en algunos casos) y est&aacute;n editados con el objetivo de informar al lector; teniendo en cuenta que los ejemplares no plantean expl&iacute;citamente ning&uacute;n tipo de confrontaci&oacute;n que necesariamente debe ser resuelta por el alumno. Las demostraciones ocupan una posici&oacute;n central en la actividad matem&aacute;tica, ya que constituyen el m&eacute;todo de prueba en las afirmaciones de esta ciencia.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> De acuerdo con el an&aacute;lisis realizado sobre los libros de texto, durante los dos &uacute;ltimos per&iacute;odos de edici&oacute;n considerados la concepci&oacute;n de demostraci&oacute;n y el lenguaje empleado en las mismas, ha cambiando notablemente. El argumento deductivo no es el &uacute;nico aspecto importante en la matem&aacute;tica escolar y las validaciones tienen distintos grados de validez: formal o informal. A partir de la descripci&oacute;n antes realizada se considera que la actividad matem&aacute;tica en los libros de texto del Nivel Medio se centra en la resoluci&oacute;n de nuevos problemas, en el acrecentamiento del conocimiento mediante generalizaciones realizadas sobre algunos casos particulares, no as&iacute; en las argumentaciones deductivas; comprendiendo a &eacute;stas como un recurso de validaci&oacute;n de resultados en matem&aacute;tica.</font></p> <p><font size="3" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Asumiendo una noci&oacute;n de argumentaci&oacute;n en sentido amplio, puede decirse que habr&iacute;a modificaciones en la forma de iniciarla, en los tipos de razonamientos y en las situaciones que se proponen relacionadas con la manera de concebir a la Matem&aacute;tica. Por otro lado, si la confrontaci&oacute;n expl&iacute;cita de puntos de vista se asume como condici&oacute;n necesaria para definir la Argumentaci&oacute;n, se concluye que ninguno de los textos del conjunto ser&iacute;a argumentativo. En el <a href="#esq2">Esquema II</a> se describen las modificaciones producidas en los libros y en la Argumentaci&oacute;n de acuerdo al Per&iacute;odo de edici&oacute;n de los mismos. Se muestra cuales las modificaciones en el Inicio y Tipo de Argumentaci&oacute;n, entendidas estas en un sentido amplio y del grado de Argumentaci&oacute;n (sentido estricto). Las modificaciones se interpretan en el sentido que las flechas indican, con diferentes colores.</font></p> <p align="center"><font size="2" face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b><a name="esq2" id="esq2"></a>Esquema II: </b>Se presentan las caracter&iacute;sticas de los libros y de la Argumentaci&oacute;n, en cada Per&iacute;odo de Edici&oacute;n</font><br /> <img src="/img/revistas/reiec/v4n1/a04esq2.png" width="580" height="302" /></p> <p><font size="3"><b><font face="Arial, Helvetica, sans-serif">6. CONCLUSIONES</font></b></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> A partir del an&aacute;lisis realizado, es posible describir y comprender posibles modificaciones en la Argumentaci&oacute;n Matem&aacute;tica en los ejemplares editados entre 1940 y 2007, a partir de las relaciones entre: el per&iacute;odo de edici&oacute;n, el a&ntilde;o de escolaridad al que los libros est&aacute;n dirigidos, la Tradici&oacute;n de la Matem&aacute;tica con la que se identifica cada ejemplar y las caracter&iacute;sticas de la Argumentaci&oacute;n, no as&iacute; con el grado de Argumentaci&oacute;n. Realizando un an&aacute;lisis conjunto de las variables y modalidades que describen las caracter&iacute;sticas de los libros y de la Argumentaci&oacute;n, es posible mostrar ciertos atributos que obedecen a la forma de concebir y fundamentar la matem&aacute;tica en cada uno de los momentos en que han sido editados dichos ejemplares; con el objetivo de responder a las preguntas inicialmente planteadas.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>Asumiendo una noci&oacute;n de Argumentaci&oacute;n en un sentido</b><b>amplio</b>, se responden a continuaci&oacute;n dos de las preguntas a las que anteriormente se hizo referencia y que describen: las diferencias y similitudes en la Argumentaci&oacute;n Matem&aacute;tica escolar entre los libros de texto anteriores y posteriores a la Reforma Educativa de 1994 y a las estrategias argumentativas empleadas por dichos ejemplares en cada per&iacute;odo de edici&oacute;n y cada uno de los a&ntilde;os de la Escolaridad para los que est&aacute;n dirigidos.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Con el objetivo de describir y analizar las similitudes y diferencias en la Argumentaci&oacute;n entre los libros anteriores y posteriores a la Reforma, se presentan las caracter&iacute;sticas correspondientes a cada per&iacute;odo de edici&oacute;n, considerando que: los dos primeros per&iacute;odos que se describen corresponden a los ejemplares anteriores a la Reforma y el tercer per&iacute;odo corresponde a los libros post reforma. Se describen las caracter&iacute;sticas de la Argumentaci&oacute;n, de acuerdo al per&iacute;odo de edici&oacute;n.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> En los libros editados entre 1940 y 1973 (Per&iacute;odo 1), se nota un formalismo -en la utilizaci&oacute;n de lenguaje formal y simb&oacute;lico-, donde cada afirmaci&oacute;n est&aacute; justificada desde el punto de vista l&oacute;gico. En este per&iacute;odo los ejemplares son axiom&aacute;ticos y los razonamientos deductivos. S&oacute;lo buscan informar, no proponen expl&iacute;citamente ning&uacute;n tipo de confrontaci&oacute;n que requiera la soluci&oacute;n del lector. La Argumentaci&oacute;n se inicia mediante definiciones y se van presentando sucesivas definiciones a lo largo del cap&iacute;tulo, en caso de ser oportuno.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> En el segundo per&iacute;odo considerado, libros editados entre 1974 y 1994, los ejemplares emplean argumentos deductivos mediante procedimientos m&aacute;s informales. La demostraci&oacute;n est&aacute; asociada generalmente, a cuestiones de la vida cotidiana por el hecho de que dicha demostraci&oacute;n, surge por lo general de resolver una situaci&oacute;n-problema que se presenta en un lenguaje ordinario. Si bien en los libros se genera expl&iacute;citamente alg&uacute;n tipo de confrontaci&oacute;n, a continuaci&oacute;n se muestra la respuesta. Estos libros se caracterizan por mostrar regularidades que se obtienen como resultado de las demostraciones o del an&aacute;lisis de casos particulares.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Los libros editados como consecuencia de la Reforma Educativa, entre 1995 y 2007, muestran a la matem&aacute;tica como una disciplina ocupada en la resoluci&oacute;n de problemas de c&aacute;lculo, en los n&uacute;meros y en las operaciones que se pueden realizar con ellos. Los &quot;nuevos&quot; libros para estudiar matem&aacute;tica proponen formas muy elementales de justificaci&oacute;n, apoyados en objetos concretos, usados para explicar y justificar el significado de proposiciones a partir de casos particulares. En la mayor&iacute;a de estos libros se genera expl&iacute;citamente alg&uacute;n tipo de confrontaci&oacute;n que a continuaci&oacute;n se resuelve, desde el inicio en cada cap&iacute;tulo.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Las diferencias m&aacute;s notorias en la Argumentaci&oacute;n en el conjunto de libros de Matem&aacute;tica en el Nivel Medio de acuerdo al per&iacute;odo de edici&oacute;n, se podr&iacute;an interpretar de la siguiente manera:</font></font></p> <ul> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Hay un cambio en las Tradiciones matem&aacute;ticas que caracterizan a los ejemplares en cada per&iacute;odo, pasando desde los libros identificados con la Tradici&oacute;n Axiom&aacute;tica, a los identificados con la Computacional y Estructuralista - esta &uacute;ltima en menor medida- y en el &uacute;ltimo per&iacute;odo, la mayor&iacute;a se identifican con la Tradici&oacute;n Computacional.</font></font></p> </li> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> La forma en que se inicia la argumentaci&oacute;n en cada uno de los momentos tambi&eacute;n cambi&oacute;; comenzando por las definiciones en las primeras ediciones, luego las preguntas y la incorporaci&oacute;n de ejemplos (en menor medida) en los libros pre reforma y finalmente, un uso acentuado de las preguntas en los libros de ediciones recientes. Esos cambios en el modo de iniciar la argumentaci&oacute;n a los que se hace referencia, corresponden al inicio del cap&iacute;tulo, porque a lo largo del mismo las argumentaciones se dan mediante definiciones.</font></font></p> </li> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> En los libros de ediciones m&aacute;s actuales se pierde el formalismo con que se realizan las Argumentaciones, pasando de Argumentos deductivos (sean estos formales o informales) a argumentaciones de tipo Inductivas.</font></font></p> </li> </ul> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Se analiza ahora como el a&ntilde;o de escolaridad al que est&aacute;n dirigidos los libros tambi&eacute;n determina caracter&iacute;sticas comunes, que se detallan a continuaci&oacute;n. Es necesario aclarar que estos &quot;cambios&quot; de acuerdo al A&ntilde;o de la Escolaridad son caracter&iacute;sticos de un conjunto de libros y no del total de ejemplares analizados. Principalmente estas modificaciones se presentan en los libros correspondiente al per&iacute;odo post reforma:</font></font></p> <ul> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> A medida que los libros est&aacute;n dirigidos a alumnos de escolaridad m&aacute;s avanzada, se caracterizan con las distintas tradiciones de la matem&aacute;tica. Se pasa de la Tradici&oacute;n Computacional (en los libros editados para el primer a&ntilde;o de la escolaridad) a la Estructuralista; hasta la Axiom&aacute;tica reci&eacute;n en los libros destinados a alumnos que terminan la Educaci&oacute;n Media o que Ingresan a la Universidad.</font></font></p> </li> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> El tipo de Argumentaci&oacute;n que predomina en los libros para alumnos que cursan los &uacute;ltimos A&ntilde;os de la Escuela Media o est&aacute;n ingresando a la Universidad es deductiva (de tipo formal o informal), pasando a argumentaciones inductivas en los primeros a&ntilde;os de la escolaridad.</font></font></p> </li> </ul> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> <b>Asumiendo una noci&oacute;n de Argumentaci&oacute;n en un sentido</b><b>estricto </b>es posible responder a la &uacute;ltima de las preguntas planteadas en este trabajo, acerca de la variaci&oacute;n del &quot;grado de Argumentaci&oacute;n&quot; en cada uno de los per&iacute;odos de edici&oacute;n de los libros.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Como la confrontaci&oacute;n expl&iacute;cita de puntos de vista se asume como condici&oacute;n necesaria para definir la argumentaci&oacute;n, se concluye que ninguno de los textos del conjunto ser&iacute;a argumentativo. En el mejor de los casos es posible llegar hasta el grado de Argumentaci&oacute;n medio, donde si bien se plantea expl&iacute;citamente alguna confrontaci&oacute;n, a continuaci&oacute;n se resuelve y se informa al lector la soluci&oacute;n. Esta &quot;ausencia de Argumentaci&oacute;n&quot; instala una petici&oacute;n de obediencia respecto del saber, hace desaparecer las preguntas, sustituy&eacute;ndolas por resultados acabados y se reduce de esta manera toda posibilidad de confrontaci&oacute;n en el lector. No habr&iacute;a Argumentaci&oacute;n en ning&uacute;n per&iacute;odo, porque los libros son puramente informativos. La ausencia de Argumentaci&oacute;n que se hace evidente luego del an&aacute;lisis realizado, conduce a reflexionar acerca de la proporci&oacute;n entre aspectos informativos y estrictamente argumentativos que efectivamente pueden plantearse en un texto escolar.</font></font></p> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Si bien es importante concebir argumentaci&oacute;n en sentido estricto en el proceso de construcci&oacute;n de conocimiento matem&aacute;tico; se considera que los textos deben permanecer informativos y la Argumentaci&oacute;n estricta debe realizarse en el aula durante el proceso de Construcci&oacute;n de Conocimiento, siendo esto lo que sigue otorgando a la Instituci&oacute;n escuela un papel insoslayable, junto con los dispositivos de mediaci&oacute;n que esta puede ofrecer. Se sugiere:</font></font></p> <ul> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Estudiar los procesos argumentativos en situaciones did&aacute;cticas, y considerar a la Argumentaci&oacute;n objeto de an&aacute;lisis Epistemol&oacute;gico, Did&aacute;ctico y Cognitivo.</font></font></p> </li> <li> <p><font size="3"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> Reconocer y analizar c&oacute;mo los procesos argumentativos propios de la Matem&aacute;tica escolar, contribuyen a generar situaciones que propicien procesos de construcci&oacute;n de conocimiento.</font></font></p> </li> </ul> <p> <font size="2"><b><font face="Arial, Helvetica, sans-serif">REFERENCIAS</font></b></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 1. Arsac, G. (1987). El origen de la demostraci&oacute;n : Ensayo de epistemolog&iacute;a did&aacute;ctica. <i>Recherches en sidactique des</i><i>mathematiques 8 </i>(3), 267-312. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959025&pid=S1850-6666200900020000400001&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 2. Arsac, G.; Chapiron, G.; Colonna, A.; Germain, G. ; Guichard, Y. ; Mante, M. (1992). <i>Initiation au</i><i> Raisonnement D&eacute;ductif au coll&eacute;ge. </i>Achev&eacute; d&iacute;mprimer sur les presses linenhart &amp; Cie A. N&ordm;5497. Imprim&eacute; en France. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959027&pid=S1850-6666200900020000400002&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 3. Bakhtin, M. (1998). <i>Questões de literatura e de est&eacute;tica. A</i><i>teoria do romance</i>. São Paulo: Hucitec: UNESP. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959029&pid=S1850-6666200900020000400003&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 4. Banks Leite, L. (1998). O estudo da argumentação infantil na perspectiva da ADL. <i>Signo y Se&ntilde;a, 9</i>, 319-345. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959031&pid=S1850-6666200900020000400004&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 5. Banks Leite, L. (2004). O discurso argumentativo- explicativo em Hist&oacute;ria. Realizado durante est&aacute;gio posdoutoral na Universidade de Paris XIII - França (CAPES/MEC-BEX 2696/03-7)</font></font>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959033&pid=S1850-6666200900020000400005&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --><!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 6. Banks Leite, L. (2007). Argumentative discourse in a history class: topoi, stereotypes and knowledgenbuilding<i>.</i><i>Revista Quadrimestral da Faculdade de Educaç</i>ã<i>o-</i><i>Unicamp: Pro-Posições - Dossie: Argumentação e</i><i>construção do Conhecimento: estudos em sala de aula. 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Porto Alegre: Artes M&eacute;dicas. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959036&pid=S1850-6666200900020000400007&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 8. Colinvaux, D. (2007). Aprendizagem e construção/ constituição de conhecimento: reflexões te&oacute;ricometodol&oacute;gicas. <i>Revista Quadrimestral da Faculdade de</i><i>Educaç</i>ã<i>o-Unicamp: Pro-Posições - Dossie:</i><i>Argumentação e construção do Conhecimento: estudos em</i><i>sala de aula. Vol. 18, n&ordm; 3 </i>(54), 29-51. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959038&pid=S1850-6666200900020000400008&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 9. Crespo Crespo, C. (2005). <i>El papel de las argumentaciones</i><i> matem&aacute;ticas en el discurso escolar. La estrategia de</i><i> deducci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo. </i>Tesis de Maestr&iacute;a sin publicar. CICATA del IPN, M&eacute;xico. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959040&pid=S1850-6666200900020000400009&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 10. Crespo Crespo, C. (2006a). El reconocimiento de argumentaciones por reducci&oacute;n al absurdo en escenarios acad&eacute;micos y no acad&eacute;micos. <i>Presentado en Relme 20</i>. Camag&uuml;ey (Cuba). &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959042&pid=S1850-6666200900020000400010&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 11. Crespo Crespo, C. (2006b). La identificaci&oacute;n de argumentaciones por reducci&oacute;n al absurdo en escenarios acad&eacute;micos de la matem&aacute;tica desde la &oacute;ptica de los estudiantes. <i>Presentado en VI Congreso Virtual de</i><i>Ense&ntilde;anza de las Matem&aacute;ticas. Guadalajara (M&eacute;xico). &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959044&pid=S1850-6666200900020000400011&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></i></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 12. Crespo Crespo, C., Farf&aacute;n, R. (2005). Una visi&oacute;n de las argumentaciones por reducci&oacute;n al absurdo como construcci&oacute;n sociocultural. <i>Relime 8 (3), </i>287-317. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959046&pid=S1850-6666200900020000400012&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 13. Crespo Crespo, C., Farf&aacute;n M&aacute;rquez, R. (2006)<i>. </i>Las argumentaciones por reducci&oacute;n al absurdo como construcci&oacute;n sociocultural. <i>En Mart&iacute;nez, G. (Ed.) Acta </i><i>Latinoamericana de Matem&aacute;tica Educativa. </i>(Vol. 19, pp.766-781). Clame, M&eacute;xico. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959048&pid=S1850-6666200900020000400013&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 14. D&acute;Amore, B. (2005a). La argumentaci&oacute;n matem&aacute;tica de j&oacute;venes alumnos y la l&oacute;gica hind&uacute; (nyaya). En <i>UNO 38</i>, 83-99. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959050&pid=S1850-6666200900020000400014&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 15. D&acute;Amore, B. (2005b). <i>Bases filos&oacute;ficas, pedag&oacute;gicas, </i><i>epistemol&oacute;gicas y conceptuales de la Did&aacute;ctica de la</i><i> Matem&aacute;tica</i>. Barcelona: Editorial Revert&eacute; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959052&pid=S1850-6666200900020000400015&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref -->.</font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 16. Duval, R. (1999). Algunas cuestiones relativas a la argumentaci&oacute;n. <i>Internacional Newsletter on the Teaching</i><i>and Learning of Mathematical Prof</i>. ISSN 1292-8763. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959054&pid=S1850-6666200900020000400016&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 17. Godino, J.; Recio, A. M. (2001). Significados Institucionales de la Demostraci&oacute;n. Implicaciones para la educaci&oacute;n matem&aacute;tica. <i>Ense&ntilde;anza de las Ciencias, 19 </i>(3), 405-414. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959056&pid=S1850-6666200900020000400017&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 18. Goulart, C. M. A. (2004). Argumentação a partir dos estudos de Bakhtin: em busca de evidências te&oacute;ricas e balizadotes para a an&aacute;lise de interações discursivas em sala de aula. <i>Trabalho apresentado no GT Argumentação e </i><i>Explicação, Simp&oacute;sio Nacional da ANPEPP. Vit&oacute;ria, ES. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959058&pid=S1850-6666200900020000400018&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></i></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 19. Goulart, C. M. A (2007). Enunciar &eacute; argumentar: analisando um epis&oacute;dio de uma aula de Hist&oacute;ria com base em Bakhtin. <i>Revista Quadrimestral da Faculdade de</i><i>Educaç</i>ã<i>o-Unicamp: Pro-Posições - Dossie:</i><i>Argumentação e construção do Cconhecimento: estudos</i><i>em sala de aula. Vol. 18, n&ordm; 3 </i>(54), 93-108. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959060&pid=S1850-6666200900020000400019&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 20. Klimovsky, G.; Boido, G. (2005<i>). &quot;Las desventuras del </i><i>conocimiento matem&aacute;tico: Filosof&iacute;a de la matem&aacute;tica una </i><i>introducci&oacute;n&quot;. </i>A-Z editora. Buenos Aires, Argentina. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959062&pid=S1850-6666200900020000400020&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 21. Leitão, S. (2001). Argumentação como processo de construção do conhecimento. <i>II Encuentro Internacional: </i><i>Lenguaje, Cultura y Cognici&oacute;n. Faculdade de Educação </i><i>da UFMG. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959064&pid=S1850-6666200900020000400021&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></i></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 22. Leitão, S.; Banks-Leite, L. (2006). Argumentação na linguagem infantil: algumas abordagens. In DEL R&Eacute;, Adriana (org<i>) Aquisição da Linguagem: uma abordagem</i><i>psicoling&uuml;&iacute;stica</i>. São Paulo: Contexto. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959066&pid=S1850-6666200900020000400022&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 23. Leitão, S. (2007). Processos de construção do conhecimento: a Argumentação em foco. <i>Revista </i><i>Quadrimestral da Faculdade de Educaç</i>ã<i>o-Unicamp: Pro-</i><i>Posições - Dossie: Argumentação e construção do</i><i>Cconhecimento: estudos em sala de aula. Vol. 18, n&ordm; 3</i> (54), 75-92. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959068&pid=S1850-6666200900020000400023&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 24. Llanos, V.; Otero, M. R. (2007). Argumentaci&oacute;n matem&aacute;tica en los libros de texto de la ense&ntilde;anza media. <i>Acta I Encuentro Nacional sobre Ense&ntilde;anza de la Matem&aacute;tica</i>, 212-223. ISBN 978-950-658-183-1. Disponible en <a href="http://www.exa.unicen.edu.ar/reiec/" target="_blank">http://www.exa.unicen.edu.ar/reiec/</a>. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959070&pid=S1850-6666200900020000400024&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 25. Llanos, V. C.; Otero, M. R.; Banks Leite, L. (2007). Argumentaci&oacute;n matem&aacute;tica en los libros de texto de la ense&ntilde;anza media. <i>Revista Electr&oacute;nica de Investigaci&oacute;n en </i><i>Educaci&oacute;n en Ciencias 2 </i>(2), 39-53. ISSN 1850 - 6666 / NIECYT. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959072&pid=S1850-6666200900020000400025&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 26. Recio, A., M. (1997). Significado de la demostraci&oacute;n en educaci&oacute;n matem&aacute;tica. <i>Revista Interuniversitaria de</i><i> Formaci&oacute;n del profesorado</i>. <i>Vol. 2</i>, 313-320. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959074&pid=S1850-6666200900020000400026&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 27. Recio, A., M. (1999). Una aproximaci&oacute;n epistemol&oacute;gica a la ense&ntilde;anza y el aprendizaje de la demostraci&oacute;n matem&aacute;tica. <i>Resumen de la tesis doctoral presentada en el </i><i>III SIIDM y defendida en el Departamento de Did&aacute;ctica de </i><i>la Matem&aacute;tica de la Universidad de Granada. Director:</i><i> Juan D&iacute;az Godino</i>. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959076&pid=S1850-6666200900020000400027&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> <!-- ref --><p><font size="2"><font face="Arial, Helvetica, sans-serif"> 28. Santos, C. M. M. (2007). Inferences in argumentation and knowledge building: exploring classroom situations. <i>Revista Quadrimestral da Faculdade de Educaç</i>ã<i>o-</i><i>Unicamp: Pro-Posições - Dossie: Argumentação e</i><i>construção do Cconhecimento: estudos em sala de aula.</i><i> Vol. 18, n&ordm; 3 </i>(54), 53-74. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&#160;<a href="javascript:void(0);" onclick="javascript: window.open('/scielo.php?script=sci_nlinks&ref=5959078&pid=S1850-6666200900020000400028&lng=en','','width=640,height=500,resizable=yes,scrollbars=1,menubar=yes,');">Links</a>&#160;]<!-- end-ref --></font></font></p> </div></div><!--cc--><!--mode=license--><!--GENERAL_LICENSE--><div xmlns="" class="license"><p><a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/deed.en"><img src="http://i.creativecommons.org/l/by-nc/4.0/80x15.png" alt="Creative Commons License" style="border-width:0"></a> <!--journal-->All the contents of this journal, except where otherwise noted, is licensed under a <a href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/deed.en">Creative Commons Attribution License</a></p></div> <div xmlns="" class="footer">Campus Universitario. 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