ARTÍCULOS ORIGINALES

Reconstrucción de una Organización Matemática de referencia para el estudio del límite y la continuidad de funciones en la Universidad

Parra Verónica^1,2, Otero Maria Rita^1,2,Fanaro, María de los Ángeles^1,2 

vparra@exa.unicen.edu.ar  , rotero@exa.unicen.edu.ar , mfanaro@exa.unicen.edu.ar

¹Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT). Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA
²CONICET, Argentina

Resumen  

En este trabajo se reconstruye y describe una Organización Matemática (OM) de referencia relativa a las nociones de límite y continuidad de funciones reales, para un curso de Cálculo del área Economía y Administración del primer año de la Universidad. El marco teórico adoptado es la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) (Chevallard, 1999, 2001). Se describe el sentido matemático, social, y cultural (Bosch et. al, 2006) de esta OM de referencia.  Finalmente, se detallan los componentes prácticos-técnicos y tecnológicos-teóricos de la OM, es decir, los tipos de tareas, las técnicas matemáticas, las tecnologías y teoría.

Palabras clave: Teoría Antropológica de lo Didáctico; Organización Matemática de Referencia; Educación Universitaria; Límite y Continuidad de funciones reales.

Abstract 

In this work a Mathematical Organization (MO) of reference relative to the notions: limit and continuity of real functions is reconstructed and described. It is proposed for an Economical and Administration Calculus course, in the first year at University. The adopted theoretical frame is the Anthropological Theory of Didactic (ATD) (Chevallard, 1999, 2001). The mathematical, social, and cultural sense (Bosch et. al., 2006) of this OM of reference is described. Finally, the practical-technical and technological-theoretical components of the OM are detailed; this is, the types of tasks, the mathematical techniques, the technologies and theory.

Keywords: Anthropological Theory of Didactics; Mathematical Organization of Reference; University Education; Limit and Continuity of real functions.

1. INTRODUCCIÓN

Las Organizaciones Matemáticas¹ (OM) reconstruidas y estudiadas en una determinada Institución, relativas a una noción matemática, no son necesariamente únicas. Es decir, una OM que se propone a ser estudiada, en general, no coincide con la OM efectivamente reconstruida en el aula, y ésta, a su vez, raramente coincide con la OM efectivamente aprendida. Por esto es que la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) (Chevallard, 1999, 2001) propone que el investigador elabore o reconstruya una OM de referencia, que actúe como un punto de observación del análisis de las diferentes OM que se proponen, reconstruyen y aprenden en un curso de Matemática. Bosch, Espinosa y Gascón (2003) definen una OM de referencia como "un modelo de OM" que permite analizar las reconstrucciones propuestas en los programas oficiales y en los libros de texto sobre ciertos "temas" de estudio, cuestiones o nociones. El Esquema 1 (Adaptado de Bosch, Gascón, 2006) muestra una sucesión de OM, que comienza en la OM de referencia, donde "vive" el saber sabio, y termina en la OM efectivamente aprendida en el aula. Entre esta cadena de OM ocurren procesos de transposición didáctica, que acaban definiendo lo que es posible estudiar o reconstruir en una clase de Matemática, ya sea en la Escuela Media o en  la Universidad.

Esquema 1

En trabajo anteriores se describieron las OM propuestas para enseñar y la OM reconstruida en el aula relativas al límite y continuidad de funciones en un Curso de Cálculo de una Facultad de Economía y Administración del primer año de la Universidad; además, se caracterizaron las Organizaciones Didácticas² (OD) desarrolladas en esta Institución para el estudio de tales OM (Parra, 2008; Parra, Otero, 2007; Parra, Otero, 2008). En el trabajo que aquí se presenta, se reconstruye y se describe una OM de referencia en torno a las nociones de límite y continuidad de funciones reales, entendiendo una OM de referencia como aquella praxeología con el mayor grado de generalidad posible, bajo la cuál podrían emerger cada una de las OM que puedan estudiarse o reconstruirse respecto, en nuestro caso, al límite y continuidad de funciones. Se describen cada uno de sus componentes, es decir, tipos de tareas, técnicas matemáticas, tecnologías y teoría³.

2. LOS DISTINTOS NIVELES DE LAS ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS

Chevallard (1999) distingue cuatro niveles de OM: organizaciones matemáticas puntuales, locales, regionales y globales. Las primeras son aquellas que se construyen alrededor de un único tipo de tareas articuladas por una técnica matemática. Las OM locales están formadas por la agregación de organizaciones matemáticas puntuales alrededor de un discurso tecnológico común, es decir, asumiendo una misma tecnología para cada una de las técnicas. Las OM regionales están formadas por la articulación de organizaciones matemáticas locales en torno a una misma teoría, y las OM globales son producto de la agregación de organizaciones regionales bajo una teoría común.

La idea de globalidad, por lo tanto, sugiere la identificación de al menos una teoría que justifique a cada una de las OM regionales. Esto hace necesaria la identificación de las "fronteras" de las teorías matemáticas, para decidir así que OM regionales responden a esa teoría y cuáles, no lo hacen. De igual manera ocurre con las OM locales, donde se deberá delimitar la tecnología común a los diferentes tipos de tareas. Aunque resulta difícil separar o delimitar las teorías y tecnologías matemáticas, pues están articuladas y conectadas entre sí, en este trabajo se realiza una separación entre las OM locales sólo a los efectos de facilitar la organización y la descripción de la OM de referencia.

La caracterización de una OM como puntual, local o regional no es absoluta ni definitiva. Depende de lo que se considere, en cada Institución, como un único tipo de tareas matemáticas, así como el ámbito que abarque el discurso tecnológico asociado (Bosch, Espinoza, Gascón; 2003). Cada nivel de OM responde a una cuestión generatriz y tiene sentido o razón de ser dentro de cierta área. Pero ¿bajo qué condiciones  una cuestión generatriz tiene sentido dentro de una Institución?

Chevallard (2001) propone una jerarquía de niveles de co-determinación (o de determinación)entre las OM escolares y las correspondientes OD. Esto es, entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas y la manera de organizar su estudio. Esta jerarquía se puede esquematizar del modo siguiente.

Sociedad → Institución → Disciplinas → Áreas → Sectores → Temas → Cuestiones

Esta sucesión de niveles de organización es relativa no sólo a la cuestión o grupo de cuestiones consideradas, sino también al periodo histórico y a la institución en la que nos situemos. Sin embargo, el hecho de que se construya esta jerarquía no garantiza la calidad del estudio de tales OM. Para que una cuestión matemática pueda estudiarse con "sentido" en una determinada Institución (por ejemplo, en la Universidad) es necesario que (Bosch, García, Gascón, Ruiz Higueras; 2006):               

1. Provenga de cuestiones que la Sociedad propone para que se estudien en la Institución (legitimidad cultural o social).

2. Aparezca en ciertas situaciones "umbilicales" de las matemáticas, esto es, situadas en la raíz central de las matemáticas (legitimidad matemática).

3. Conduzca a alguna parte, esto es, que esté relacionada con otras cuestiones que se estudian en la Institución, sean matemáticas o relativas a otras disciplinas (legitimidad funcional).

Si para una cuestión determinada no se construye una jerarquía, cumpliendo los postulados (1), (2) y (3), tal cuestión carece de sentido puesto que ha desaparecido la razón de ser de su estudio en la Institución. En tal caso, se dice que es una cuestión encerrada en sí misma o una cuestión "muerta" (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). Los procesos de reconstrucción y articulación de praxeologías de complejidad creciente (Puntuales → Locales → Regionales) pueden evitar la pérdida de sentido de las OM partiendo del cuestionamiento de sus razones de ser. En este ámbito surgirán las cuestiones "cruciales" (para la comunidad de estudio) cuya respuesta deberá materializarse en una OM regional. En ocasiones, las cuestiones cruciales pueden tener un origen extra-matemático, pero en otros casos, puede ser de naturaleza intra-matemática (Bosch, García, Gascón, Ruiz Higueras; 2006)

En este trabajo, se propone una OM de referencia que, a nuestro juicio, cumple con las condiciones de (1) a (3) planteadas anteriormente. La importancia del cumplimiento de estas condiciones es que permiten que la OM de referencia sea viable y logre responder cuestiones con un sentido para la Institución en la cuál se desarrolla. En las secciones siguientes se describe de qué manera esta OM responde, a nuestro juicio, cada uno de los tipos de legitimidad.

3.1. El sentido de la noción de límite dentro de la propia matemática: legitimidad matemática.

El concepto fundamental sobre el cuál descansa la esencia del Análisis Matemático es el de límite. A menudo un número a  se describe por medio de una sucesión infinita an de aproximaciones. Esto es, el valor a está dado por el valor an con el grado de precisión deseado, si el índice n se elige suficientemente grande. Se han encontrado representaciones de números a como límites de sucesiones. Por ejemplo, los números irracionales aparecen como límites, para n crecientes, de las sucesiones de fracciones decimales ordinarias con n dígitos. Por ejemplo, el número e se puede generar como el límite:

Así e es la notación para ,  donde

Para demostrar la existencia del límite e se requiere probar que la sucesión Sn es acotada, puesto que los números Sn crecen monótonamente⁴. Otro ejemplo de números generados como límite de una sucesión, es el número π. Este proceso se remonta a la antigüedad clásica (Arquímedes). Se puede definir geométricamente al número π como el área de un círculo de radio uno. Sin embargo, esta definición no es de gran ayuda para los matemáticos si se desea calcular el número con toda precisión. Entonces, no se tiene más alternativa que la de representar el número por un proceso límite, a saber, como el límite de una sucesión de números conocidos y fácilmente calculados. Arquímedes utilizo este procedimiento en su método de exhaucción, el cuál consiste en aproximar el círculo por medio de polígonos regulares con un número creciente de lados, que se ajustan a él cada vez más. Si fm denota el área del m-ágono (polígono de m lados) regular inscrito en el círculo, el área del 2m-ágono con  inscrito está dada por la fórmula:

Déjese recorrer ahora a m por la sucesión de potencias de 2, esto es, m=2n. Así, los forman una sucesión creciente y acotada, que tiene un límite, que es el área del círculo:

En relación con esto, Charles Méray (1835-1911), puso de manifiesto que el hecho de definir un número irracional como el límite de una sucesión de números racionales, sin tener demasiado en cuenta que la existencia misma del límite, presupone una definición de los números reales y una construcción de éstos por números decimales. De esta manera, se acepta el sistema de números racionales con todas sus propiedades usuales, obtenidas de las propiedades básicas de lo números naturales. Así, los números racionales están ordenados por magnitud, permitiéndose definir intervalos "racionales", como conjuntos de números racionales situados entre dos números racionales dados. La longitud del intervalo con puntos extremos a, b es . Como es sabido, los números racionales son densos en el eje real y existen siempre números racionales entre dos números reales cualesquiera.

Una sucesión anidada, o encaje de intervalos racionales, es una sucesión de intervalos cerrados Jn con puntos extremos racionales an y bn, con cada intervalo contenido en el precedente, cuyas longitudes forman una sucesión  nula⁵:

y

Puesto que cada intervalo Jn = [an,bn] de un encaje contiene todos los intervalos subsiguientes, un número racional r situado fuera de cualquier intervalo Jn está situado fuera y sobre el mismo lado de todos los intervalos subsiguientes. Así, un encaje de intervalos racionales da lugar a una separación de todos los números racionales en tres clases⁶.  La primera clase consiste de los números racionales r situados a la izquierda de los intervalos Jn, para n suficientemente grande. La segunda clase consiste de los números racionales contenidos en los intervalos Jn. Esta clase contiene a lo sumo un número, puesto que la longitud del intervalo Jn se reduce a cero con n creciente. La tercera clase consiste de los números racionales a la derecha de los intervalos Jn.

Si la segunda clase no es vacía, consiste de un solo número racional r. En este caso, la primera clase consiste de los números racionales menores a r y la tercera clase, de los números racionales mayores que r. Se dice entonces que, el encaje de intervalos Jn representa un número racional r. En este caso, se considera al número real representado por esta separación como idéntico al número racional r. Si la segunda clase es vacía, el encaje no representa un número racional; estas sucesiones anidadas sirven entonces para representar números irracionales.

Los intervalos Jn no son importantes para este propósito, solamente la separación de los números racionales en tres  clases, generada por esta sucesión es esencial, diciéndonos donde el número irracional encaja entre dos racionales. Habiendo construido los números reales, pueden definirse ahora las nociones de orden, suma, diferencia, producto, límite, etc., para éstos y probar que poseen las propiedades usuales. Los números reales hacen posible las operaciones límite con números racionales, pero sería de poco valor si las correspondientes operaciones de límite con los reales, requirieran la introducción de algún tipo adicional de números "no reales", que habrían de ser intercalados entre los reales y así sucesivamente. Afortunadamente, la definición de número real es tan amplia que no es posible ninguna extensión adicional del sistema numérico, sin deponer de sus propiedades esenciales (Courant, 1979).

La construcción de los números irracionales a partir del límite de sucesiones de números racionales y, por consiguiente, la construcción del conjunto de números reales, pone de manifiesto la legitimidad matemática de la noción de límite y de las cuestiones relacionadas con él.

3.2. El sentido de la noción de límite dentro del área de la economía y administración: legitimidad funcional

Es importante destacar que la noción central en economía y administración es la derivada. Esta noción se define a partir del límite, y por lo tanto, la legitimidad funcional del límite de funciones se relaciona directamente con la noción de derivada. En Economía se realizan constantemente análisis de mercado, de los cuáles se obtienen modelos de equilibrio parcial y/o general⁷. Los modelos de equilibrio simulan el comportamiento de un conjunto de empresas en determinadas situaciones económicas y permiten aproximar cantidades que van a producir y sus precios en situación de equilibrio de mercado. Para ello no sólo se necesitan las funciones de oferta y demanda de los productos sino también, toda la información relacionada con los procesos productivos de la empresa. En este sentido, la derivada permite analizar cómo se comportará el modelo si se realiza cualquier pequeña variación en alguno de sus parámetros y/o variables⁸.

3.2.1. Equilibrio de mercado

Antes de profundizar en el análisis de mercado, es conveniente mencionar qué se entiende por equilibrio económico. Un equilibrio es "un conjunto de variables escogidas  e interrelacionadas, ajustadas de tal manera entre sí que no prevalezca ninguna tendencia al cambio en el modelo que constituyen". El hecho de que un equilibrio no implique ninguna tendencia al cambio puede suponer que un estado de equilibrio constituye necesariamente un estado deseable. Tal conclusión es incierta. Aunque una cierta posición de equilibrio pueda representar un estado deseable, como por ejemplo una situación de máximo beneficio para una empresa; otra posición de equilibrio puede ser totalmente indeseable y por lo tanto, algo a evitar. Tal es el caso del nivel de equilibrio de la renta nacional con desempleo (Chiang, 1993).

En economía, un mercado está compuesto por oferentes y demandantes de un producto. Para analizar el funcionamiento de cualquier mercado se puede proceder de dos modos. A través de un análisis de equilibrio parcial o a través de un análisis de equilibrio general. El primero afirma que la actividad en un mercado es independiente de otros mercados, mientras que en el equilibrio general, se determinan los precios y las cantidades en todos los mercados simultáneamente y se tiene en cuenta el efecto de retroalimentación⁹.

Por ejemplo: Consideremos el mercado del petróleo. Si se realiza un análisis de equilibrio parcial, se estará asumiendo que la demanda y el precio¹⁰ del carbón (o de otros sustitutos del petróleo) no variarán al cambiar el precio del petróleo. En cambio, un análisis de equilibrio general tendrá en cuenta que una variación del precio del petróleo afectará al del carbón (vía una mayor demanda), que a su vez afectará al del petróleo, que a su vez volverá a afectar al del carbón, etc. (López, R.; 2007)

En definitiva, un equilibrio de mercado de un bien o producto abarca un precio del bien, una cantidad demandada por cada consumidor y una cantidad ofrecida por cada empresa tales que, al precio dado, cada consumidor consume la cantidad óptima, cada productor maximiza beneficios y la suma de cantidades demandadas iguala la suma de cantidades ofrecidas. Resumiendo, en un equilibrio, todos los agentes actúan óptimamente, y la oferta y la demanda coinciden.

Es importante mencionar que el precio de equilibrio de un bien depende de su oferta y demanda. A su vez, se pueden mencionar cuatro parámetros que afectan la demanda: los precios de otros bienes, la renta de los consumidores, las preferencias de éstos y el número de consumidores; y, tres parámetros que afectan a la oferta: los precios de los factores¹¹, la tecnología y el número de productores. De aquí, surge una cuestión importante: ¿Cómo afectará una variación de estos parámetros al precio de equilibrio? En algunos casos el efecto es obvio, pero en otros, no tanto. Esta pregunta abre el camino al estudio de la derivada de funciones ya que, la búsqueda de respuestas requiere estudiar el comportamiento de las funciones oferta y demanda, de acuerdo a cualquier pequeña variación que se realice en alguna de las variables y/o parámetros del modelo económico. Por consiguiente, resulta necesario estudiar el límite de funciones de una y más variables.

El sentido de la noción de límite para la sociedad: legitimidad cultural o social

Como es sabido, el cálculo trata de cambios infinitesimalmente pequeños de las variables dependientes e independientes. En términos matemáticos, tales variaciones se definen utilizando los conceptos de límite y derivada. Conceptos del tipo de límite matemático, se utilizan con frecuencia en razonamientos y explicaciones ajenos a la matemática. Por ejemplo, la producción máxima teórica de una máquina industrial o de una fábrica, es un "límite", es decir, el rendimiento ideal (o límite) que en la práctica nunca es alcanzable, pero al cual es posible aproximarse arbitrariamente. Esta misma idea se aplica al comportamiento de cualquier equipo mecánico o electrónico, para el cuál los ingenieros o electrónicos pueden calcular un funcionamiento ideal (o límite). Es aplicable también, por ejemplo, a las utilidades obtenibles en condiciones ideales, al rendimiento (kilómetros por litro) de la gasolina consumida en condiciones ideales, etc. En forma similar, hay límites inferiores de costo, desgaste, desperdicio, etc.

En la sociedad, por ejemplo, surgen muchas situaciones en que se desea maximizar o minimizar cierta cantidad de algún producto. Por ejemplo, el principio de optimización en los denominados modelos de costo de inventario. Este tipo de modelo se aplica a negocios tales como bodegas o mercados de venta al por menor, que mantienen existencias de artículos, que han de venderse al público o a otras empresas. La pregunta en estos casos es ¿qué tan grande debe ser cada vez la cantidad de algún artículo que se ordena con destino a ser realmacenado? Si se ordena una cantidad grande, la empresa se enfrentará con sustanciales costos de almacenamiento, si bien no tendrá la desventaja de reordenar  por largo tiempo. Por otro lado, si sólo se ordena una pequeña cantidad cada vez, los costos de almacenamiento serán bajos, pero los costos de acomodar las órdenes, serán altos, dado que las órdenes deberán realizarse con frecuencia. Entre estos extremos se puede encontrar un tamaño óptimo de cada orden, que haga el costo total de almacenamiento más el de acomodo un mínimo. Este óptimo se denomina el tamaño del lote económico. (Arya, 1992).

Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, las OM relativas al límite de funciones pueden construir la secuencia (1), (2) y (3), las cuales garantizan la legitimidad social, matemática y funcional de las cuestiones matemáticas. Por tanto, el estudio de estas OM puede realizarse con sentido en la Institución en la cuál se desarrollan. Este sentido, tal como lo sostienen Bosch, García, Gascón y Ruiz Higueras (2006), algunas veces puede ser intra-matemático, y en otras oportunidades, extra-matemático. En el caso que nos compete, la OM de referencia que se reconstruye y describe en la sección 5, responde a la cuestión de la derivabilidad de ciertas funciones, y tiene por tanto, un sentido intra-matemático. Este sentido surge de la concepción actual de modelización dentro del marco antropológico. A continuación se presenta brevemente el punto de vista de la TAD al respecto.

4. LA MODELIZACIÓN COMO CUESTIÓN CRUCIAL EN LAS ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS

El concepto de modelización ha sido entendido de diversas maneras. Durante mucho tiempo ha sido concebido como la "aplicación" de una noción matemática a ciertas situaciones "reales", o la interpretación de un sistema axiomático que se produce al encontrar un modelo del mismo. Actualmente, la modelización se considera que va más allá de esta interpretación. Es entendida en un sentido más fructífero y funcional.

Al respecto, la TAD postula que "gran parte de la actividad matemática puede identificarse con una actividad de modelización matemática" Esto implica que la modelización no es sólo una dimensión de la actividad matemática sino que la actividad matemática es, en esencia, una actividad de modelización. Esta afirmación adquiere pleno sentido si, en primer lugar, la noción de modelización no queda limitada sólo a la "matematización" de situaciones extra-matemática, esto es, cuando la modelización intra-matemática es considerada como un aspecto esencial e inseparable de la matemática y, en segundo lugar, cuando se dote de un significado preciso a la actividad de modelización dentro del modelo general de la actividad matemática propuesto por la TAD (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). En este marco, se reformulan por lo tanto, los procesos de modelización como procesos de reconstrucción y articulación de praxeologías de complejidad creciente que debe tener su origen en el cuestionamiento de las razones de ser de las organizaciones matemáticas que se desean reconstruir y articular. En este ámbito surgirán las cuestiones cruciales (para la comunidad de estudio) cuya respuesta se plasmará en una organización matemática regional. (Bosch, García, Gascón, Ruiz Higueras, 2006).

La OM de referencia que se reconstruye y presenta en este trabajo, como ya se mencionó en párrafos precedentes, responde a la cuestión de la derivabilidad de ciertos tipos de funciones de variable real. Esta cuestión, crucial para la Economía y la Administración, dota de sentido (intra-matemático) a las OM relativas al límite y la continuidad de funciones dentro de la Institución de análisis y, en particular, dentro de esa área, pues la derivabilidad de funciones es central a la hora de analizar modelos económicos que intentan simular el comportamiento de los mercados. Ahora bien, la noción de derivabilidad requiere y necesita del estudio de las OM en torno al límite de funciones. Emergen así, dos nuevas cuestiones cuyas respuestas  se "materializan" en dos OM locales,  que denominamos OM1 y OM2, respectivamente: ¿Por qué y cómo verificar la existencia o inexistencia del límite de funciones? y ¿Por qué y cómo calcular un límite suponiendo que existe?

Resulta apropiado aclarar aquí tres aspectos. Primero, en este trabajo se reconstruye y describe las OM relativas al límite y continuidad de funciones según el punto de vista de la TAD, es decir, articulando praxeologías de complejidad creciente. Por esto, se considera que el camino que se debe recorrer es el representado por la Figura 1:

Figura 1

Segundo, insistir en que la separación en dos OM locales, la OM1 y la OM2, se realiza sólo a los efectos de facilitar la descripción de la OM de referencia ya que, ambas OM son parte de un mismo género de tareas, el de calcular. La OM1 tiene como cuestión central la de verificar la existencia de un límite. Esta cuestión, en cierto modo, también es una forma de "calcular" pues verificar es un cómputo que se realiza por medio de operaciones matemáticas. Por lo tanto, insistimos en que, esta separación entre las dos OM locales se realiza a los efectos de facilitar la reconstrucción y descripción de la OM de referencia. Se considera como punto de separación el énfasis puesto en cada OM respecto al rol que desempeña la definición usual del límite de funciones.

Y tercero, en la descripción presentada en anexos, podrá advertirse que la OM de referencia está fundamentada sólo en aspectos formales del límite y la continuidad de funciones, sin explicitar allí tipos de tareas o tareas relativas a la Economía y la Administración. Por lo tanto, vale la siguiente aclaración: tal como lo sostiene Bosch (En comunicación personal, 2007) la OM de referencia se trata siempre de la OM sabia y puede ser reconstruida (con algunos procesos de transposición) en otra Institución. Ahora bien, el lector podría entonces preguntarse ¿cuál es el rol del área en la reconstrucción y propuesta de cualquier OM? La respuesta a esta pregunta puede hallarse en los últimos resultados obtenidos por Chevallard (2005, 2006, 2007).

En desarrollos recientes de la TAD, Chevallard ha introducido la  noción de Recorrido de Estudio e Investigación (REI) como un modelo general o referente más amplio para analizar y diseñar los procesos de estudio. Un REI se genera por una cuestión "viva y rica" con un fuerte poder generador (denominada cuestión generatriz), es decir, capaz de imponer numerosas cuestiones derivadas. Esta cuestión ha de ser estudiada en un sentido fuerte y la respuesta no puede limitarse a una simple información. Requiere la construcción de una OM. Considerando estos supuestos teóricos, el rol del área en la reconstrucción de cierta OM es el de hábitat de las cuestiones que se deberán responder. Es decir, la cuestión generatriz de un posible REI nace en el área y ésta dota de sentido el estudio y (re)construcción de cierta OM.

5. RECONSTRUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN DE UNA ORGANIZACIÓN MATEMÁTICA DE REFERENCIA RELATIVA AL LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES PARA LA ECONOMÍA Y LA ADMINISTRACIÓN

Como se mencionó anteriormente, una OM regional se encuentra constituida por OM locales articuladas entre sí por una tecnología común. En el caso de la OM regional que aquí se propone y se describe, el discurso articulador de la OM1 y la OM2 es el de la teoría de la construcción de los números reales, en donde es relevante, entre otros, la noción de sucesión. Pero, su inclusión explícita en ciertos cursos de Cálculo va a depender del caso. La OM que aquí se propone y se caracteriza prescinde del tratamiento de sucesiones como tema de estudio explícito puesto que, tanto las OM propuestas para enseñar como la OM efectivamente reconstruida en el aula no contienen ningún tipo de tareas asociado a la noción de sucesión. No obstante, los aspectos variacionales y aproximativos que sí se estudian a través de la aproximación numérica del límite, introducen implícitamente la noción de sucesión numérica. A continuación se describen brevemente las dos OM locales que componen nuestra OM de referencia:

• OM1: Esta OM se construye alrededor de la definición usual del límite y continuidad de funciones reales. La cuestión generatriz es la existencia del límite de una determinada función en un cierto conjunto de puntos y/o cuando éste coincide con la función evaluada en dicho conjunto. La tecnología de esta OM local es la definición del límite de funciones.

• OM2: Esta OM gira en torno al álgebra del límite y su cuestión generatriz es por qué y cómo calcular el límite, habiendo establecido que existe. La tecnología de esta segunda OM es el conjunto de las propiedades del límite de funciones.

El Esquema 2 representa la estructura de nuestra OM de referencia, que luego se describirá detalladamente.

Esquema 2

5.1. La OM local en torno a la definición del límite: OM₁

Antes de mencionar los diferentes tipos de tareas y las tecnologías que componen esta OM, se describe la notación utilizada para ello: 

T_1.n: Tipo de tareas n correspondiente a la OM₁.
θ_1.n: Elemento tecnológico asociado al tipo de tareas n correspondiente a la OM₁.

La OM₁ es una organización local construida alrededor de la definición del límite de funciones. La cuestión generatriz de esta OM se refiere a la existencia y unicidad del límite de funciones. Los tipos de tareas que componen la OM₁ son:

T_1.1: Verificar la existencia o la inexistencia del límite finito de una función real f de una variable en un  punto.
T_1.2: Verificar la existencia o la inexistencia de límites infinitos y de límites en el infinito de una función real f de una variable.
T_1.3: Verificar la existencia o la inexistencia del límite finito de una función real f de dos variables en un punto del plano o en un subconjunto de puntos.
T_1.4: Verificar la continuidad o discontinuidad de una función real f de una variable en un punto o en un subconjunto de puntos.
T_1.5: Verificar la continuidad o discontinuidad de una función real f de dos variables en un punto del plano o en un subconjunto de puntos.
T_1.6: Verificar las propiedades del límite y de la continuidad de funciones reales f de una y dos variables.

Respecto a los elementos tecnológicos-teóricos de la OM1, que se encuentran detallados en el Anexo 1, para el T_1.1 la tecnología mínima (θ_1.1) es la definición del límite en términos de e y d, el teorema de unicidad, y el teorema que relaciona el límite con los límites laterales. Una posible técnica para determinar la existencia o inexistencia del límite de una función f de una variable en un punto es el cálculo de los límites laterales. En el caso en que ambos límites resulten diferentes, se asegura que el límite de la función f  no existe y así, queda demostrada su inexistencia. En el caso en que ambos límites sean iguales a un valor L, finito, el límite de la función f en ese punto existe y debe verificarse a través de la definición del límite en términos de e y d; que efectivamente vale L. Como se verá más adelante, esto muestra una conexión entre la OM1 y a OM2, pues, el cálculo de límites laterales es una tarea propia de la OM2 y aquí, en la OM1, sirve de técnica matemática asociada a un tipo de tareas.

Para T_1.2, la tecnología mínima (θ_1.2) es el conjunto de definiciones de los diferentes tipos de límites infinitos y, de límites en el infinito. Esto es, cuando el valor del límite resulta ser infinito y, cuando la variable independiente tiende a infinito.

En T_1.3, las técnicas matemáticas se asocian al cálculo de los límites sucesivos y direccionales. De esta manera, si entre estos límites, se identifican valores diferentes, se demuestra de inmediato que el límite doble no existe. Debido a que existen infinitos caminos por los cuales acercarse a un punto, resulta que, cuando estos límites coinciden en el resultado L, no se puede asegurar que el límite doble exista y valga L. Pues, podría existir algún camino, que no se consideró, por el cuál el límite dé un valor diferente de L. En este caso, se dice que, "de existir, el límite doble, vale L". La tecnología mínima (θ_1.3) necesaria para justificar las técnicas de este tipo es el conjunto de teoremas que relacionan los distintos límites y la definición de los mismos.

El T_1.4 y T_1.5, se refieren a verificar la continuidad o discontinuidad de funciones de una y dos variables, respectivamente. A partir de las condiciones de continuidad para funciones de una y dos variables, se puede determinar si la función es continua o no en un punto determinado. Una vez analizada la continuidad, debe demostrarse cualquiera de los dos resultados. La tecnología mínima (θ_1.4 y θ_1.5, respectivamente) para ello es la definición de continuidad en términos de límite de la función.

Finalmente, el tipo de tareas T₁₆ se refiere a las demostraciones de las propiedades del límite y de la continuidad. Esto es, verificar que el límite de una suma, resta, producto, cociente, composición de funciones (tanto de una como de dos variables) es la suma, resta, producto, cociente, composición de los límites de las funciones. Además, deben demostrarse las propiedades de las funciones continuas. La definición del límite es la tecnología mínima (θ_1.6) para este tipo de tareas.  

5.2. La OM local en torno al álgebra del límite: OM2

 De manera similar que en la OM1, la notación utilizada en esta OM para enumerar los tipos de tareas y las tecnologías, es la siguiente: 

T_2.k: Tipo de tareas k correspondiente a la OM₂.
θ_2.k: Elemento tecnológico asociado al tipo de tareas k correspondiente a la OM₂.

La OM₂ es una organización local referida al álgebra del límite de funciones. Esta OM responde a la cuestión relativa a por qué y cómo calcular o determinar el límite de funciones. Los tipos de tareas que forman parte de la OM₂ son los siguientes:

T_2.1: Calcular el límite de una función real f de una variable en un punto.
T_2.2: Calcular el límite de una función real f de una variable en el infinito.
T_2.3: Estimar límites de una función real f de una variable en un punto.
T_2.4: Calcular el límite de una función real f de dos variables en un punto de plano.
T_2.5: Calcular límites sucesivos de una función real f de dos variables.
T_2.6: Calcular límites direccionales una función real f de dos variables.
T_2.7: Determinar puntos o conjuntos de continuidad o discontinuidad de una función real f de una variable.
T_2.8: Determinar puntos o conjuntos de continuidad o discontinuidad de una función real f de dos variables.

Respecto a los elementos tecnológicos-teóricos de la OM₂, que se detallan en Anexo 2, la tecnología mínima (θ_2.1) de T_2.1 está asociada a las propiedades del límite de funciones cuando la variable independiente tiende a un valor finito. Es decir, está en correspondencia con T_1.6. En T_2.1 se considera sólo el caso en el que los límites resultan ser finitos, en símbolos:  (L finito) y se incluye el cálculo de límites laterales. 

Para resolver una tarea de este tipo, se podría proceder de diversas maneras. Por un lado, se puede calcular el límite utilizando únicamente propiedades. Por otro lado, la noción de continuidad podría servir como técnica matemática para el cálculo. De esta manera, basta con analizar la continuidad de la función en el punto en torno al cuál se estudia el límite, y en caso de resultar continua, resolver dicho límite por reemplazo directo. Así, a partir de la continuidad de la función, se puede utilizar la técnica de evaluar la función en el punto. Si la función no resulta ser continua, entonces se opera a partir de las propiedades del límite.

Se puede además, aproximar un límite en forma numérica, es decir, utilizando una estrategia variacional. Esto es, calcular el valor numérico de la función para valores cercanos al punto en cual se desea conocer el límite, tanto a derecha como a izquierda. Esta forma no permite afirmar que el límite correspondiente es el que se aproximó. Probar que efectivamente ese es el límite es una tarea de la OM1.

La tecnología mínima (θ_2.2) de T_2.2 es el conjunto de propiedades de los límites infinitos y/o en el infinito. El tipo de tareas T_2.3 corresponde a estimar límites de funciones reales de una variable en torno a un punto. Para ello entonces, la tecnología mínima (θ_2.3) es el conjunto formado por todas las operaciones posibles en el conjunto de números reales y sus respectivas propiedades. Esta tecnología no se detalla en anexo pues, deberíamos enumerar cada una de las operaciones y cada una de las propiedades.

Para T_2.4, la tecnología correspondiente (θ_2.4) es el conjunto de propiedades del límite para funciones de dos variables cuando ambas variables tienden, en simultáneo, a valores a y b, ambos finitos. Estas propiedades, al igual que para funciones de una variable, se  demuestran usando la definición formal del límite doble. Para T_2.5, la tecnología mínima (θ_2.5) es el conjunto de definiciones y propiedades de los límites sucesivos y para T_2.6, es el conjunto de definiciones y propiedades de los límites direccionales (θ_2.6).

A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables, los límites restringidos así como los límites sucesivos son una herramienta que permite simplificar el cálculo al cálculo (valga la redundancia) de un límite en una variable. Es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de la forma (x, g(x)) o (h(y),y). Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también límites direccionales. Estas rectas tienen la forma y − b = m(x − a), junto con la recta vertical x = a.

La tecnología de T_2.7 (θ_2.7) esta formada por el conjunto de propiedades y casos de funciones continuas en un punto o en un subconjunto del dominio, y de las definiciones de los distintos tipos de discontinuidad. La teoría del límite de funciones permite justificar cada una de estas técnicas. Así, a través de la definición y propiedades del límite funcional pueden justificarse las propiedades de las funciones continuas y éstas se establecen sobre la base de la propiedad de completitud de los números reales.

La tecnología mínima de T_2.8 (θ_2.8), es el conjunto de propiedades de las funciones reales de dos variables y las definiciones de los distintos tipos de discontinuidad en un punto o en un subconjunto del dominio.  La teoría del límite de funciones en varias variables justifica esta tecnología.

5.3. Aspectos a destacar entre la OM1 y la OM2.

 Debemos recordar que la separación en dos OM locales se realizó sólo a los efectos de facilitar la reconstrucción y descripción de la OM de referencia y, por lo tanto, hay componentes que pueden estar tanto en una OM como en la otra. Por ejemplo, un mismo tipo de tareas, tiene el estatus de técnica matemática en una OM mientras que, en la otra, es una tarea. Algunos casos son los siguientes:

• El cálculo de límites laterales es una tarea propia de la OM2 mientras que en la OM1, sirve de técnica matemática asociada a un tipo de tareas, el de determinar la existencia o inexistencia del límite de funciones reales en un punto.

• En la OM1 se demuestran las propiedades que en la OM2 tienen el estatus de tecnología. Es decir, la demostración de las propiedades del límite de funciones es una tarea propia de una OM, mientras que, en otra sirve de tecnología.

• La aproximación de un límite a partir del gráfico de una función o la aproximación numérica, es una tarea de la OM2, mientras que, probar que efectivamente el límite es el valor aproximado, es una tarea propia de la OM1.

• Las técnicas matemáticas y la tecnología asociada al cálculo de límites de funciones reales de una variable, forman parte de las técnicas y tecnología de los tipos de tareas referidos a funciones reales de dos variables. De hecho, el cálculo de límites sucesivos se reduce al cálculo de límites en una variable y por tanto, se utilizan todas las propiedades válidas para este caso (el de una variable).

6. CONSIDERACIONES FINALES

En este trabajo reconstruimos y describimos una OM de referencia relativa a las nociones de límite y continuidad de funciones, detallando cada uno de los componentes practico-técnicos y tecnológico-teóricos. Esta OM (regional) integra dos OM locales articuladas entre sí donde cada una de ellas responde a una cuestión generatriz y, en conjunto, a la derivabilidad de funciones reales, siendo esta una noción crucial para la comunidad de estudio de las Ciencias Económicas. Cualquier modelo del análisis de mercado tiene como eje central la noción de intensidad de variación o tasa de cambio, esto es, la derivada.

La reconstrucción de esta OM de referencia y su descripción minuciosa es necesaria pues permite trazar  un "mapa" de recorridos posibles  - relativos al estudio de una determinada cuestión - en una institución de enseñanza. En este sentido, Chevallard (2005, 2006, 2007) introduce la noción de Recorridos de Estudio e Investigación (REI) como un dispositivo didáctico capaz de hacer "vivir" la modelización matemática, entendida según el punto de vista de la TAD, en los sistemas de enseñanza. Un REI parte de una cuestión generatriz, la cuál sirve de hilo conductor de todo el proceso de estudio pues genera preguntas que deben responderse, no dando una simple información, sino que requieren la reconstrucción de una praxeología o un conjunto de éstas.

Actualmente nos encontramos en una instancia de decisión respecto a qué cuestiones serán las más fecundas y vivas para dar origen a un posible REI que permita reconstruir las OM relativas al límite y continuidad de funciones en un curso de cálculo del área "Economía y Administración". Es decir, qué preguntas tendrán sentido y razón de ser dentro de esta área. Consideramos vital retomar cuestiones del tipo ¿Por qué y para qué el análisis de funciones? ¿Por qué y para qué el límite de funciones? ¿Por qué y para qué la derivada en Economía y Administración? Tales interrogantes son importantes en cualquier área, pero a nuestro juicio, más aún en aquellas donde la Matemática tiene más bien un estatus de herramienta que de objeto de estudio.

Anexo 1: Elementos tecnológicos-teóricos correspondientes a la OM1

θ_1.1: Definición del límite en términos de ε y δ, el teorema de unicidad, y el teorema que relaciona el límite con los límites laterales:

Definición 1.1.1: Se dirá que la función real de una variable f tiene límite L en el punto a, y se escribe:   si para cada  existe un número , tal que  (ó equivalentemente  para cada x tal que  (ó equivalentemente para  ).

Teorema 1.1.1: Sea f una función real de una variable definida en todo intervalo real (x₁, x₂) salvo quizás en . Si  y tienen las propiedades siguientes:  y   entonces, debe ser  .

Definición 1.1.2: Sea f una función real de una variable definida en algún intervalo . Entonces, el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por derecha es L1 y se escribe:  si para cada  existe un número  , tal que si  , entonces .

Definición 1.1.3: Sea f una función real de una variable definida en algún intervalo . Entonces, el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por izquierda es L₂ y se escribe:   si para cada  existe un número , tal que si , entonces .

Teorema 1.1.2: Sea f una función real de una variable definida en un intervalo abierto  salvo quizás en . Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

El embrión¹² de tecnología de T_1.2, está dada por el conjunto de definiciones de los diferentes tipos de límites infinitos y, de límites en el infinito. Esto es, cuando el valor del límite resulta ser infinito y, cuando la variable independiente tiende a infinito.

θ_1.2: Definiciones de límites infinitos y de límites en el infinito.

Definición 1.2.1: Se dirá que la función real de una variable f tiene límite  en el punto a si para cada número real M existe un número  tal que f(x)>M siempre que x verifique . En este caso se dirá que la función f crece infinitamente o tiende a infinito o tiene límite infinito cuando x tiende a  a, lo que se indica .

Definición 1.2.2: Se dirá que la función real de una variable f tiene límite  en el punto a cuando  y se notará  .

Definición 1.2.3: Se dirá que la función real de una variable f tiene límite  sin signo determinado en el punto a si para cada número real M existe un número  tal que:siempre que x verifique  y se notará .

En ocasiones interesa conocer el comportamiento de una función, no cuando x se aproxima a un valor a, sino cuando x crece indefinidamente. En este caso, se dice que los límites se estudian en el infinito.

Definición 1.2.4: Se dirá que la función real de una variable f tiene límite en el  si para cada e>0 existe un número real H tal que  para todo x>H. Se notará.

Definición 1.2.5: Análogamente se dirá que la función real de una variable f tiene límite en el  si para cada e>0 existe un número real H tal que  para todo x < H. Se notará.

Definición 1.2.6: Se dirá que la función real de una variable f  tiene límite en el , sin un signo determinado si para cada e>0 existe un número real H tal que  para todo . Se escribirá.

Conviene aclarar que la demostración de la existencia o inexistencia de límites podría llevarse a cabo a través de sucesiones. Como se decidió prescindir de las sucesiones, se utilizan las definiciones de los límites infinitos para verificar la existencia o inexistencia del mismo.

θ_1.3: La tecnología necesaria para justificar las técnicas es el conjunto de teoremas que relacionan los distintos límites y la definición de los mismos:

Definición 1.3.1: Se dice que una función real f de dos variables tiende al límite L en el punto (a, b), o que tiene límite L, cuando para cada número positivo , existe otro número positivo  tal que para todos los puntos del entorno reducido , ó bien , se verifica .

Se escribirá.

Definición 1.3.2: Se definen los límites reiterados o sucesivos como sigue:

Teorema 1.3.1: Si existen el límite doble y los sucesivos, todos ellos son iguales.

Corolario 1.3.1: Criterio para analizar la existencia de límite doble según los reiterados.

a) Si no existe ninguno de los reiterados: el límite doble puede existir o no existir y no se dispone de información sobre él.
b) Si existe sólo uno de los reiterados y su valor es L: el límite doble puede existir o no existir pero en el caso de que exista, valdrá L.
c) Si existen los dos reiterados:
(i) si ambos tienen el mismo valor L: el límite doble puede existir o no existir pero si existe tomará el valor L;
(ii) si los reiterados tienen distinto valor: el límite doble no existe.

θ_1.4: Definición de continuidad en términos del límite de la función:

Definición 1.4.1: Una función real f de una variable se dirá continua en un punto a cuando se verifique 

Es importante remarcar que la definición anterior implica la existencia de la función en el punto a, la existencia del límite en dicho punto, y la coincidencia de ambos valores. 

_θ1.5: Definición de continuidad en términos del límite de la función:

Definición 1.5.1: Una función real f de dos variables se dirá continua en un punto del plano (a,b) cuando se verifique

Nuevamente aquí es importante remarcar que la definición anterior implica la existencia de la función en el punto (a,b), la existencia del límite en dicho punto, y la coincidencia de ambos valores.

θ1.6: Definición del límite de funciones reales de una y dos variables.

Definición 1.6.1: Se dirá que la función real de una variable f tiene límite L en el punto a, y se escribe:   si para cada  existe un número , tal que  (ó equivalentemente  para cada x tal que  (ó equivalentemente para  ).

Definición 1.6.2: Ver definición 1.3.1.

Anexo 2: Elementos tecnológicos-teóricos  correspondientes a la OM₂

θ_2.1: Casos y propiedades que sirven al cálculo del límite de funciones de una variable cuando x tiende a un valor finito:

Caso 2.1.1: El límite de una función real f constante es la misma constante. Es decir, si , para cada x, entonces , para todo a.

Caso 2.1.2: El límite de la función identidad en un punto es el mismo punto. Es decir,

Caso 2.1.3: El límite de la n-ésima potencia de una función real f es igual a la n-ésima potencia del límite, siempre que el límite sea finito. Es decir, si , con L finito, entonces  para n un número entero positivo.

Caso 2.1.4: El límite de la raíz n-ésima de una función real f es igual a la raíz n-ésima del límite, siempre que si n es par, debe ser L>0. Es decir, si n es un entero positivo y , entonces  con la restricción de que si n es par, debe ser L>0.

Caso 2.1.5:

Propiedad 2.1.1: Sean f y g dos funciones reales de una variable. Si  y , entonces .

Propiedad 2.1.2: Sean f, g y h funciones reales de una variable. Si  y si existe  tal que  para todo , entonces .

Propiedad 2.1.3: Una suma algebraica (un producto) de varias funciones con límites finitos tiene como límite la suma algebraica correspondiente (el producto) de los límites de esas funciones. Es decir, si , para i = 1, 2, 3...n, con li finito para todo i, entonces  

Propiedad 2.1.4: El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites, siempre que el límite del denominador sea distinto de cero. Es decir, si  y , con l y l' ambos finitos, entonces .

Propiedad 2.1.5: Si , entonces

Estas propiedades se demuestran utilizando la definición formal de límite haciendo que las pruebas de estas propiedades formen parte de las tareas de la OM₁.

Por definición, una función continua en un punto a, implica que el valor del límite, cuando x tiende a ese punto, sea igual a la función evaluada en el punto.

θ_2.2: Casos y propiedades del límite infinito y/o en el infinito.

Caso 2.2.1: Si 0<a<1 entonces,  y

Caso 2.2.2: Si 1<a entonces,

Caso 2.2.3:

Caso 2.2.4: Si  entonces

Caso 2.2.5: Si a>1 entonces  y

Caso 2.2.6: Si 0<a<1 entonces  y .

Propiedad 2.2.1: Sean f y g dos funciones reales de una variable. Si  y , entonces

Propiedad 2.2.2: Sean f y g dos funciones reales de una variable. Si  y ,  entonces

Propiedad 2.2.3: Sean f y g dos funciones reales de una variable. Si  y , entonces .

Las propiedades 1, 2 y 3 son válidas si se reemplaza por ó.

Propiedad 2.2.4: si y sólo si  si existe  tal que , para todo

Propiedad 2.2.5: Si  y , entonces

Propiedad 2.2.6: Si  y , entonces .

Propiedad 2.2.7: Si  y , entonces:
(i) Si L >0, entonces ,
(iii) Si L <0, entonces .

Corolario 2.2.1: Si  y , entonces:
(i) Si L >0, entonces ,
(iii) Si L <0, entonces .

Propiedad 2.2.8: Si  y , entonces .

Propiedad 2.2.9: Si , 0<L<1 y , entonces .

Propiedad 2.2.10: Si  y , entonces:

(i) Si L>0 y si existe  tal que f(x) > 0 para todo , entonces .

(ii) Si L>0 y si existe  tal que f(x) < 0 para todo , entonces .

(iii) Si L<0 y si existe  tal que f(x) > 0 para todo , entonces .

(iv) Si L<0 y si existe  tal que f(x) < 0 para todo , entonces

Estas propiedades son válidas si se consideran los límites laterales.

Proposición 2.2.1: Si existe un número real a tal que para todo  se verifica f(x) = g(x), entonces  si y sólo si .

Estas propiedades se prueban utilizando la definición formal de límite de funciones reales.

θ_2.4: Casos y propiedades del límite de funciones de dos variables cuando (x, y) tiende al par (a, b).

Caso 2.4.1: El límite de una función real f constante es la misma constante. Es decir, si , para cada (x ,y), entonces , para todo (a,b).

Caso 2.4.2:

Caso 2.4.3: El límite de la n-ésima potencia de una función real f de dos variables es igual a la n-ésima potencia del límite, siempre que el límite sea finito. Es decir, si , con L finito, entonces  para n un número entero positivo.

Caso 2.4.4: El límite de la raíz n-ésima de una función real f es igual a la raíz n-ésima del límite, siempre que si n es par, debe ser L>0. Es decir, si n es un entero positivo y , entonces  con la restricción de que si n es par, debe ser L>0.

Propiedad 2.4.1: Sean f, g y h funciones reales de dos variables. Si  y si existe un entorno reducido del punto (a,b) tal que  para todo (x, y) del entorno reducido, entonces .

Propiedad 2.4.2: Una suma algebraica (un producto) de varias funciones con límites finitos tiene como límite la suma algebraica correspondiente (el producto) de los límites de esas funciones. Si , para i = 1, 2, 3...n, con li finito para todo i, entonces

Propiedad 2.4.3: El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites, siempre que el límite del denominador sea distinto de cero. Si  y , ambos finitos, entonces   siempre que .

Estas propiedades, al igual que para funciones de una variable, se  demuestran usando la definición formal del límite doble.

θ_2.5: Definición y propiedades de los límites sucesivos:

Definición 2.5.1: Dada una función real f de dos variables y (a,b) un punto del plano si  existe  tal que cumplen:

(i) Para cada existe el

(ii) Existe .

Entonces se dirá que existe un limite sucesivo y se nota  El límite sucesivo se define de manera análoga.

Propiedad 2.5.1: Las propiedades citadas en θ₂₁ para el cálculo de límites de funciones reales de una variable se aplican al cálculo de límites sucesivos.

La propiedad 2.5.1 es un resultado directo del hecho de que en la definición de los límites sucesivos sólo interviene la noción de límite de funciones de una variable. Por tanto técnicas matemáticas asociadas a este tipo de tareas son derivaciones de las propiedades descriptas en θ₂₁.

θ_2.6: Definición y propiedades de los límites direccionales:

Definición 2.6.1: Dada una función real f de dos variables, (a,b) un punto del plano y una función  tal que , si  existe  se dirá que la función f  tiene limite L restringida a la región del plano determinada por el grafico de g, usualmente llamada curva.

Propiedad 2.6.1: Las propiedades citadas en θ₂₁ para el cálculo de límites de funciones reales de una variable se aplican al cálculo de límites restringidos a curvas.

A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables, los límites restringidos así como los límites sucesivos brindan una herramienta que permite simplificar el cálculo al cálculo de un límite en una variable. Es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de la forma (x,g(x)) o (h(y),y). Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también límites direccionales. Estas rectas tienen la forma y − b = m(x − a), junto con la recta vertical x = a.

θ_2.7: Casos y propiedades de las funciones continuas en un punto o en un subconjunto del dominio y definiciones de los distintos tipos de discontinuidad:

Caso 2.7.1: Toda función polinómica es continua.

Caso 2.7.2: La función es continua.

Caso 2.7.3: La función exponencial de R en R con a>0 y dada por es continua.

Propiedad 2.7.1: La suma de dos o más funciones continuas en un punto a es una función continua en a.

Propiedad 2.7.2: El producto de dos o más funciones continuas en un punto a es una función continua en a.

Propiedad 2.7.3: El cociente de dos funciones continuas en  un punto a es una función continua en a si el denominador no se anula en a.

Corolario 2.7.1: Una función racional es continua en todos los puntos en donde el denominador es distinto de cero.

Propiedad 2.7.4: La composición de dos funciones reales continuas es continua. Es decir, dadas f y g dos funciones reales de una variable. Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces  es continua en a.

Propiedad 2.7.5: Conservación del signo en algún entorno del punto. Es decir, dada f una función real de una variable continua en el punto a, existe  tal que para todo :
(i) Si f(a)>0, entonces  f(x)>0 ó
(ii) Si f(a)<0, entonces f(x)<0.

La afirmación  se refiere a los valores de f(x) cuando x toma valores cerca de a pero distintos de a. No es un enunciado acerca de f(a). Entonces:

Definición 2.7.1: Aún cuando exista el límite , f(a) puede no existir o bien, no coincidir con L. En este caso, a se llama discontinuidad evitable.

Definición 2.7.2: Cuando el límite  no existe, la discontinuidad se llama no evitable. Éstas se clasifican en:
Discontinuidades de primera especie: esto ocurre cuando los límites laterales existen pero no coinciden
Discontinuidad de segunda especie: esto ocurre cuando alguno de los límites laterales no existe o es infinito.

Las técnicas matemáticas se basan en analizar el cumplimiento o incumplimiento de las condiciones de continuidad de la definición de función continua.

La teoría que permite justificar estas técnicas se refiere al límite funcional. Así, a través de la definición y propiedades del límite funcional pueden justificarse estas propiedades de las funciones continuas. Las propiedades de las funciones continuas son establecidas sobre la base de la propiedad de completitud de los números reales.

θ_2.8: Casos y propiedades de las funciones continuas en un punto o en un subconjunto del dominio y definiciones de los distintos tipos de discontinuidad:

Caso 2.8.1: Las proyecciones son continuas.  Es decir, las funciones  definidas por  y son funciones continuas en todo el plano.

Propiedad 2.8.1: La suma de dos o más funciones continuas  en un punto del plano (a, b)  es una función continua en ese punto.

Propiedad 2.8.2: El producto de dos o más funciones continuas en un punto del plano (a, b)  es una función continua en ese punto.

Corolario 2.8.1: Toda función polinómica de dos variables es continua.

Propiedad 2.8.3: El cociente de dos funciones continuas en un punto del plano (a, b)  es una función continua en ese punto, si el denominador no se anula en  (a, b).

Corolario 2.8.2: Una función racional es continua en todos los puntos en donde el denominador es distinto de cero.

Propiedad 2.8.4: Si f es una función real de dos variables continua en un punto (a,b) y g es una función real de una variable continua en f(a,b) entonces  es continua en el punto (a,b).

Corolario 2.8.3: es función continua de x é y en todo punto en que sea f(x, y) positiva y continua.

Corolario 2.8.4: La función exponencial de  en R con a>0 y y dada por es continua.

La teoría que justifica esta tecnología es la referida al límite funcional para funciones de varias variables.

Notas al pie

¹Chevallard (1999) también las denomina praxeologías matemáticas. El concepto praxeología proviene de la unión de los términos praxis y logos. El primero hace referencia al saber hacer, es decir, los tipos de problemas o tareas que se estudian y las técnicas que se construyen para solucionarlos. El término logos se identifica con el saber e incluye el discurso tecnológico y la teoría que da sentido a los problemas planteados, permite interpretar las técnicas y fundamentar las descripciones y justificaciones tecnológicas.

²Las organizaciones didácticas o praxeologías didácticas (OD) son respuesta a las cuestiones del tipo ¿Cómo estudiar una organización matemática? Por OD se entenderá pues, el conjunto de los tipos de tareas, de técnicas, de tecnologías y de teorías movilizadas por profesores y alumnos, para el estudio concreto de una OM en una institución concreta. A diferencia de las OM, las OD están formadas por tareas y técnicas cooperativas en el sentido que requieren la cooperación de distintos actores que ocupan posiciones claramente diferentes: la posición del profesor y la de los alumnos (Bosch, Espinoza, Gascón, 2003). Así, se distingue entre la praxeología docente y la praxeología discente, respectivamente. A pesar de que una OD involucra "maneras propias de hacer" de cada profesor, existen praxelogías didácticas genéricas que no dependen tanto de los rasgos personales del docente sino que, provienen de construcciones colectivas e históricas que son propias de una determinada institución.

³Se entiende por tecnología un discurso racional sobre la técnica cuya principal función es justificar racionalmente la técnica, para asegurarse de que permita realizar las tareas. Una segunda función de la tecnología es la de explicar, aclarar la técnica, es decir, exponer por qué es correcta. Por último, un tercer objetivo de la tecnología corresponde a un empleo más actual del término: la función de producción de técnicas. A su vez, el discurso tecnológico contiene afirmaciones de las que se puede pedir razón. Se pasa entonces a un nivel superior de justificación-explicación-producción, el de la teoría, que retoma, en relación a la tecnología, el papel que esta última tiene respecto de la técnica (Chevallard, 1999, pp.4).

⁴La demostración de este límite puede verse en la obra de Courant R. (1979) "Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático" Volumen I. Pág. 101.

⁵Las aseveraciones en torno a límites pueden ser expresadas en términos de sucesiones nulas racionales, esto es, sucesiones a1, a2,... de números racionales para los cuales.

⁶Denominada "Cortadura de Dedekind".

⁷Más adelante se mencionará brevemente la diferencia entre equilibrio parcial y equilibrio general.

⁸En economía matemática, un modelo económico es una representación del funcionamiento pretendido de los diversos procesos de la economía, utilizando variables, que pueden ser exógenas o endógenas, y relaciones lógicas entre las mismas. Las variables endógenas se explican dentro del modelo económico a partir de sus relaciones con otras variables (que a su vez pueden ser endógenas o exógenas). Las variables exógenas están determinadas fuera del modelo, es decir, están predeterminadas, el modelo las toma como fijas y mantiene siempre el mismo valor.

⁹Este efecto es un proceso de ajuste del precio o la cantidad de un mercado por los ajustes del precio y de la cantidad de mercados relacionados con él.

¹⁰El precio al cuál se hace referencia en el ejemplo corresponde al precio de mercado. El precio de mercado es el precio al que un bien o servicio puede adquirirse en un mercado concreto y se establece mediante la ley de la oferta y la demanda conforme a las características del mercado en cuestión.

¹¹En economía, los factores productivos o factores de producción son aquellos recursos, materiales o no, que al ser combinados en el proceso de producción agregan valor para la elaboración de bienes y servicios.

¹²Se entiende por "embrión" a la tecnología mínima necesaria para justificar las técnicas. Un "embrión de tecnología" forma parte de una tecnología más amplia. Por ejemplo, θ₂₇  es parte de una tecnología más amplia formada por el conjunto de propiedades y casos de funciones de n variables continuas en un punto o en un subconjunto del dominio. Chevallard (1999) sostiene al respecto que "en una Institución I, cualquiera que sea el tipo de tareas T, la técnica τ relativa a T está siempre acompañada de al menos un embrión de tecnología o más frecuentemente aún, de un vestigio de tecnología".

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17. Parra, V; Otero, M. R. (2008) Praxeologías Didácticas en la Universidad: Un estudio de caso relativo al Límite y Continuidad de funciones. Enviado y en proceso de referato.  Revista Zetetiké. UNICAMP-Faculdade de Educação-CEMPEM.         [ Links ]