INGENIERÍA, TECNOLOGÍA E INFORMÁTICA

El procesamiento estadístico de orden superior: herramienta útil para el análisis de señales

Higher-order statistical analysis: an useful tool for signal processing

 

Neydis Cabezas Defaus, Pedro P. Cruz Pérez, Miguel E. Iglesias Martínez, Fidel E. Hernández Montero

¹Grupo de Investigación para el Diagnóstico Avanzado de Maquinaria, Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad de Pinar del Río, Cuba.
²Centro para el Desarrollo de la Electrónica y la Automática, Pinar del Río, Cuba

Neydis Cabezas Defaus¹
Estudiante de la especialidad de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad de Pinar del Río, Cuba.

Pedro P. Cruz Pérez¹
Estudiante de la especialidad de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad de Pinar del Río, Cuba.

Miguel E. Iglesias Martínez²
Investigador en el Centro de Desarrollo de la Electrónica y la Automática, Pinar del Río, Cuba. Ingeniero en Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad de Pinar del Río, 2008. Máster en Sistemas Digitales, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Cuba, 2011.

Fidel E.Hernández Montero¹
Profesor, Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica, Jefe del Grupo de Investigación para el Diagnóstico Avanzado de Maquinaria, Universidad de Pinar del Río (UPR), Cuba. Ingeniero en Telecomunicaciones y Electrónica, UPR, 1995. Máster en Sistemas Digitales, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Cuba, 2000. Doctor en Ciencias Técnicas, Universidad de Mondragón, España, 2006. fidel@tele.upr.edu.cu

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Resumen

El trabajo que se presenta tiene el objetivo de introducir y mostrar lo efectivo que constituye la utilización de técnicas de procesamiento estadístico de orden superior de señales para aplicaciones en las que técnicas clásicas no resultan efectivas.
En particular, en esta investigación se presentan los resultados del análisis estadístico de orden superior de vibraciones mecánicas, señales de comunicación y señales contaminadas por ruido, evaluando la conveniencia de su empleo.
La efectividad de las técnicas implementadas fue demostrada a partir de estudios experimentales reales y de simulación computacional.

Palabras Clave: Análisis estadístico de orden superior; Procesamiento de señales.

Abstract

This work has the objective of introducing the effectiveness of using higher-order statistical signal processing techniques when classical techniques do not represent an effective choice.
This research revealed some results from the higher-order signal analysis of mechanical vibrations, communications signals and noise corrupted signals, evaluating the benefits of the different applications.
Effectiveness of the implementations was proved through real and computational simulation experiments.

Keywords: Higher-order statistical analysis; Signal processing.

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Introducción

Durante los años recientes las estadísticas de orden superior vienen teniendo una mayor aplicación en diversos campos de la ciencia y la técnica; por ejemplo, en sistemas sonares, radares, biomedicina, procesamiento de datos sísmicos, reconstrucción de imágenes, estimación de retraso en el tiempo, filtros adaptativos y ecualización ciega, entre otros. Estas herramientas estadísticas conocidas como cumulantes, y sus asociadas transformadas de Fourier, conocidas como poliespectro, no solo revelan información de amplitud sobre el proceso, sino también información de fase. Esto es importante porque, como es conocido, las características estadísticas de segundo orden son ciegas a la fase ^[1].
Las estadísticas de orden superior son aplicables si se trata con procesos no gaussianos (y posiblemente no lineales) y muchas aplicaciones del mundo real son no gaussianas ^[1]. Se pueden encontrar aplicaciones en las que el análisis espectral clásico, por ejemplo, no es efectivo debido a las características de la señal a procesar, y sin embargo, pueden aplicarse técnicas derivadas del análisis espectral de orden superior, como el biespectro, la cual permite obtener resultados más efectivos ^[2].
La vibración emitida por cojinetes de rodamiento defectuosos es un ejemplo de señal con características que pueden hacer que el análisis espectral clásico fracase indicando que la falla no existe debido a que la banda espectral de la señal a procesar está solapada por componentes espectrales de señales de interferencia ^{[3, 4]}. Los procesos de modulación lineal que aparecen en las vibraciones producidas por cojinetes de rodamiento defectuosos pueden sugerir la conveniencia de aplicar el análisis espectral de orden superior. Y otro ejemplo que muestra las ventajas del uso de técnicas de procesamiento estadístico de orden superior, en lugar de herramientas tradicionales, puede encontrarse en las modulaciones digitales de fase donde la relación señal/ruido es baja y por ello no puede detectarse la modulación en el espectro de la señal modulada (el procesamiento estadístico de orden superior de señales permite detectar las componentes espectrales relacionadas en fase, un rasgo distintivo de la modulación de señales ^[1]). En tareas de cancelación de ruido, cuando este se corresponde con una señal aleatoria con distribución probabilística normal, también se manifiesta la conveniencia de aplicar fundamentos del procesamiento estadístico de orden superior.
En este trabajo se proponen tres aplicaciones del procesamiento estadístico de orden superior, mostrándose las conveniencias de las mismas frente al uso de técnicas clásicas.

Fundamentos teóricos del Análisis Estadístico de Orden Superior
El campo científico de la matemática estadística proporciona muchas herramientas para el tratamiento de señales aleatorias. En el procesamiento de señales, el análisis estadístico de primer y segundo orden ha tenido gran relevancia, sin embargo, muchas señales, especialmente las no lineales, no pueden ser examinadas propiamente por los métodos estadísticos de segundo orden. Por esa razón se han desarrollado métodos estadísticos de orden superior ^[5].
Existen varias motivaciones generales detrás del uso de la estadística de orden superior en el procesamiento de señales, dentro de las cuales destaca ^[6]:
• Eliminar el ruido coloreado aditivo gaussiano de espectro de potencia desconocida.
• Identificar los sistemas de fase no mínima o reconstrucción de señales de fase no mínima.
• Extraer la información debido a las desviaciones de gaussianidad.
• Detectar y caracterizar las propiedades no lineales de las señales, así como identificar los sistemas no lineales.
Sea entonces ... 3,2,1,0)}, ({±±±= k kX una señal real estacionaria discreta en el tiempo donde sus momentos de orden superior existen, luego:

representa el momento de orden n de una señal estacionaria, el cual depende solo de los diferentes espacios de tiempo ,... 1, 0, ,... 1 2 , 1± = − i nτ τ τ τ para todo i. Claramente se puede apreciar que el momento de segundo orden ) ( 1 2 τ x mes la función de autocorrelación de }) ({kX , del mismo modo que ) , ( 2 1 3 τ τ x my ) , , ( 3 2 1 4 τ τ τ x mrepresentan los momentos de tercer y cuarto órdenes, respectivamente. E{.} denota el operador valor esperado de la señal ^[6].
El cumulante de orden n de una señal aleatoria no gaussiana estacionaria, }) ({kX , puede escribirse solamente para n = 3 o n = 4 como:

donde ) ,..., , ( 1 2 1 −nGn m τ τ τ es el momento de orden n de una señal gaussiana equivalente que presente el mismo valor medio y función de autocorrelación que })({kX . Es evidente que si es gaussiana, ) ,..., , ( 1 2 1 −nx n m τ τ τ = ) ,..., , ( 1 2 1 −nGn m τ τ τ , por tanto 0 ) ,..., , ( 1 2 1 = − nx n C τ τ τ . Obsérvese, que aunque la ecuación (1) es solo verdadera para n = 3 y n = 4, 0 ) ,..., , ( 1 2 1 = − nx n C τ τ τ , para todo n si } )({kX es gaussiano. Las relaciones mostradas a continuación entre momentos y cumulantes se cumplen para órdenes menores o igual que 4.
a) Cumulante de Primer Orden:

donde ) ( 1 2 τ −x mes la secuencia de autocorrelación. Por lo tanto se puede ver que la secuencia cumulante de segundo orden es la covarianza mientras que el momento del mismo orden es la secuencia de autocorrelación ^[1].
b) Cumulante de Segundo Orden

donde ( ) 2 1 mx −τ es la secuencia de autocorrelación. Por lo tanto se puede ver que la secuencia cumulante de segundo orden es la covarianza mientras que el momento del mismo orden es la secuencia de autocorrelación ^[1].
c) Cumulante de Tercer Orden

donde ) , ( 2 1 3 τ τ x mes el momento de tercer orden.
d) Cumulante de Cuarto Orden

Si la señal } )({kX tiene media cero ( 0 1 = x m), se deduce de la ecuación (4) y la expresión (5) que los cumulantes de segundo y tercer orden son idénticamente iguales a los momentos de segundo y tercer orden, respectivamente . Sin embargo, en este caso para generar el cumulante de cuarto orden, se debe contar con los momentos de segundo y cuarto órdenes en la ecuación (6):

Se considera orden superior cuando el orden es mayor que 2.
Es posible generalizar la relación de Wiener-Khintchine a través de la transformada de Fourier de los cumulantes, dando como resultado el espectro de cumulante del orden correspondiente, por ejemplo:

Los símbolos →←1, → ←2denotan la transformada de Fourier de una y dos dimensiones respectivamente. El espectro del cumulante de segundo orden, ) ( 1 2 f C , es el clásico espectro de potencia y el espectro del cumulante de tercer orden, ) , ( 2 1 3 f f C , es el biespectro.
Los espectros de cumulante de segundo y tercer órdenes pueden ser también expresados como a continuación se muestra:

donde ()( ) T T xtXf ↔ , y ( ) T x t es un registro finito de duración T segundos de x(t) con valor medio cero.

Aplicaciones desarrolladas
En este trabajo se proponen tres aplicaciones del procesamiento estadístico de orden superior que muestran la conveniencia de su uso en aplicaciones en las que las técnicas clásicas no resultarían eficientes.
El cálculo matemático se efectuó utilizando el programa Matlab, en particular, el Toolbox Higher-Order Spectral Analisis, el cual proporciona las funciones necesarias para estimar características estadísticas de orden superior.

Detección de fallos en cojinetes de rodamientos
La primera propuesta constituye una tarea de detección de fallos locales en cojinetes de rodamientos a partir de la identificación de la vibración que se genera cuando este componente mecánico se halla defectuoso. En este caso, se calcula el biespectro a las señales de vibración emitidas.

Sobre las vibraciones de cojinetes de rodamientos defectuosos
La principal función de los cojinetes de rodamiento es proporcionar condiciones de baja fricción para sostener y guiar un eje que rota ^[7].
Las partes de un cojinete de rodamiento son: elementos rodantes, pista interior, pista exterior y la jaula. Ellos permanecen en contacto y sus fallas pueden ser causadas por problemas en la fabricación, uso inadecuado o desgaste.
Uno de los defectos más importantes a detectar en un cojinete de rodamiento es la falla local. Este tipo de falla hace que el cojinete produzca una vibración que se corresponde con la modulación lineal de una señal, la cual usualmente se superpone con otras fuentes de vibraciones en la máquina ^[8].
La detección del fallo local en un cojinete de rodamientos se basa en la detección de los impactos producidos y excitadores de las frecuencias resonantes. Como los pulsos resonantes tienen una naturaleza periódica, la detección de su existencia pasa por la identificación de tal periodicidad, cuyo inverso se conoce como frecuencia característica de fallo. El análisis espectral es la técnica que más se utiliza para detectar las componentes correspondientes a la frecuencia característica de fallo en la vibración.
El valor de la frecuencia característica de fallo depende de las características mecánicas del cojinete de rodamientos, así como de la parte que presenta el daño. Por ello determinar la frecuencia característica de fallo no sólo da idea de la existencia del desperfecto, sino también identifica qué parte o zona del cojinete está deteriorada. Para cada parte del cojinete de rodamientos existe una frecuencia característica de fallo ^[9]:

en las que BPFO es la frecuencia de paso de los elementos rodantes por el aro exterior, BPFI es la frecuencia de paso de los elementos rodantes por el aro interior, BSF es la frecuencia de rotación de los elementos rodantes y FSF es la frecuencia de rotación de la jaula. Por su parte, N es el número de elementos rodantes, Cd es el diámetro medio de la jaula, fr es la frecuencia de rotación del eje, Bd es el diámetro de los elementos rodantes y a es el ángulo formado por la carga y el plano radial.

Aplicación de HOSA al análisis de vibraciones de cojinetes de rodamiento defectuosos.
Para realizar el experimento se trabajó sobre una maqueta mecánica, como se puede apreciar en la figura 1. El cojinete de rodamientos que se empleará como objeto de esta investigación específica es del tipo SKF 1205 cuyas frecuencias características ya calculadas están definidas como:

Figura 1: Maqueta experimental mecánica.

BPFO = 5,25 fr
BPFI = 7,75 fr
BSF = 4,93 fr
FTF = 0,4 fr
En particular se indujo un daño local al cojinete de rodamientos.

Como el eje que soporta el cojinete bajo estudio se encuentra girando a una frecuencia fr = 20 Hz, las frecuencias características de fallo son: BPFO = 105 Hz, BPFI = 155 Hz, BSF = 98.5 Hz y FTF = 8 Hz. La frecuencia de muestreo es de 20 kHz.
En particular se indujo un daño local al aro externo del cojinete de rodamientos (frecuencia característica de fallo de 105 Hz). La señal de vibración obtenida en este caso se puede observar en la figura 2.

Figura 2: Vibración producida por un cojinete de rodamiento defectuoso.

La técnica más utilizada de detección de este tipo de señal es el análisis espectral, cuyo resultado, para la señal en cuestión, se puede observar en la figura 3.

Figura 3: Espectro de la señal de vibración real producida por un cojinete de rodamientos defectuoso.

El análisis espectral debería haber mostrado componentes igualmente espaciadas a la frecuencia característica de fallo, 105 Hz, mas no es exactamente lo que el resultado refleja debido a la existencia de otras señales interferentes y ruido. Por tanto este constituye un caso en el que la aplicación de una técnica tradicional no es efectiva. Entonces se puede proponer la aplicación de técnicas más complejas, por ejemplo, el cálculo del biespectro, el cual sí es capaz de reflejar componentes espectrales relacionadas en fase inmersas en un espectro de ruido.
En la figura 4 se muestra el contorno de la amplitud del biespectro calculado para la señal de vibración mostrada en la figura 2. El biespectro en este caso muestra claramente componentes biespectrales (círculos azulosos) separadas a la frecuencia característica de fallo, indicando, por tanto, que la vibración generada se debe a la presencia de fallos en el cojinete de rodamientos.

Figura 4: Contorno del módulo del biespectro de la señal de vibración producida por la existencia de un fallo en la pista exterior en un cojinete de rodamientos.

Detección de señales digitales.
En esta sección se tratará la aplicación del procesamiento estadístico de orden superior, en particular, el biespectro, a la detección de una señal digital específica: una modulación de BPSK.

Sobre modulación BPSK
Una señal digital puede modular la amplitud, frecuencia, o fase de una portadora sinusoidal. Si la forma de onda de la señal moduladora es NRZ de pulsos rectangulares, entonces el parámetro modulado se cambiará o se codificará de un valor discreto a otro. La figura 5 ilustra una modulación binaria de fase (BPSK) ^[10].
La forma de onda BPSK en la figura 5 contiene cambio de fase de ± radianes. La densidad espectral de potencia de la señal BPSK (ver figura 6) viene dada por ^[10]:

Figura 5: Modulación BPSK en el tiempo

Figura 6: Densidad espectral de potencia de la señal BPSK.

Aplicación de HOSA a la detección de modulación digital BPSK contaminada con ruido
Una de las tareas a realizar en procedimientos de procesamiento de señales de comunicación es la detección de la señal como tal. En esta sección se presenta la utilización del biespectro para detectar la señal de BPSK contaminada por ruido. Para el experimento, fueron utilizadas señales de comunicación simuladas en Matlab. La señal de mensaje se obtuvo generando ceros y unos de manera aleatoria y como señal portadora se empleó un coseno de 200 Hz . Puede observarse en la Figura 7 que el espectro de la modulación obtenida presenta un lóbulo principal centrado a la frecuencia de la portadora y lóbulos secundarios espaciados a la frecuencia del bit, , que en este caso es de 10 bit/s; el nivel de ruido blanco gaussiano adicionado es relativamente bajo. En la Figura 8 puede observarse el biespectro correspondiente, el cual muestra componentes a la frecuencia de la portadora en ambos ejes.

Figura 7: Espectro de la modulación BPSK obtenida

Figura 8: Contorno del módulo del biespectro de la modulación PSK obtenida

Al añadir ruido en un nivel considerable y realizar nuevamente el análisis espectral, no será posible detectar la presencia de la modulación, como puede observarse en la Figura 9. Sin embargo, el biespectro calculado continúa mostrando las componentes biespectrales prácticamente originales, donde los valores con amplitud considerable se encuentran a la frecuencia de la portadora (ver figura 10). Esto es precisamente lo que se espera puesto que el ruido es reducido pues el biespectro representa un cálculo estadístico de tercer orden.

Figura 9: Espectro de la modulación PSK de una señal contaminada con ruido

Figura 10: Contorno del módulo del biespectro de la modulación PSK de una señal contaminada con ruido

Cancelación de ruido
Una de las potenciales aplicaciones del procesamiento estadístico de orden superior al análisis de señales lo constituye la tarea de cancelación de ruido. En este particular se presentan los resultados del empleo de características estadísticas de orden superior a la cancelación de ruido.

Sobre la tarea de cancelación de ruido
Numerosos métodos han sido desarrollados buscando la extracción de señales perturbadoras. Algunos de estos son los siguientes ^[11]:

Métodos clásicos de cancelación de ruido, aplicados esencialmente en la rama de las comunicaciones eléctricas, cuando la señal deseada presenta un comportamiento primordialmente periódico.
Métodos clásicos de procesamiento estadístico de señal.
Métodos adaptativos de cancelación de ruido.
Métodos de Inteligencia Artificial
Relativo a los métodos de procesamiento estadístico de señal, se puede plantear que en su búsqueda de hacer menos complejo todo el procesamiento matemático pertinente, se basan en tres suposiciones elementales: linealidad; sistema estacionario y sistemas con estadísticas de segundo orden, lo cual en no pocas ocasiones conducen a resultados adversos e inesperados. Una alternativa que conduce a resultados más precisos la constituye el aplicar procesamiento estadístico de orden superior, basado en el cumulante teniendo en cuenta que el cumulante para órdenes mayores que 2, de una muestra distorsionante gaussiana, es cero.

Cancelación de ruido basada en la aplicación de estadística de orden superior
De los métodos empleados para la eliminación del ruido y la interferencia en esta sección se abordará uno basado en el cálculo de los estadísticos de orden superior de la señal. Se tomará como señal útil "a limpiar" un coseno de amplitud A, de frecuencia k f y fase k f, el cual es afectado por ruido blanco gaussiano.
En un problema de reducción del ruido de una señal cosinusoidal los datos observados pueden ser descritos de la forma:

donde w(n) es el ruido aditivo. Supuestos adicionales se hacen a menudo en relación con la fase ^[12]. El supuesto típico es que la fase es una variable aleatoria independiente distribuida uniformemente entre [0, 2π ].

Estimación Basada en Cumulantes
Como se ha comentado con anterioridad el cumulante de segundo orden de un proceso de ruido es distinto de cero. Por esta razón se decide encontrar el cumulante de tercer orden para el proceso descrito en (11), el cual se define, de la siguiente forma:

Existe entonces la problemática de que para una señal cosinusoidal el cumulante de orden 3 es cero, lo cual se puede desarrollar de siguiente manera análogamente a lo tratado en ^[13]:

Luego, no tiene sentido estimar el cumulante de tercer orden de la señal x(t) es 0 para cancelar su ruido. Por esta razón, se pasa a la estimación del cumulante de cuarto orden.

Método de estimación basado en el cumulante de cuarto orden
El cumulante de cuarto orden del proceso descrito en (11) se puede calcular de la siguiente manera:

Después de esta demostración teórica de la efectividad de la aplicación del procesamiento estadístico de orden superior para cancelar ruido, se pasa a comprobar la efectividad práctica del método mediante la herramienta de simulación Matlab, utilizando las señales de muestra para el análisis de las técnicas descritas. Como se puede observar en la figura 11, la señal contaminada bajo estudio constituye una señal cosinusoidal, generada por simulación, con componente espectral en 50 Hz (0.05 normalizada); las demás son componentes de frecuencia del ruido.

Figura 11: Ilustración de a) Densidad Espectral de Potencia de la señal contaminada, y b) Resultados de la estimación del espectro del cumulante de cuarto orden de la señal contaminada.

En la figura 11a se observa la estimación de la densidad espectral de potencia de la señal contaminada, mientras que en la figura 11b se refleja la densidad espectral de potencia de la señal obtenida tras estimar el cumulante cuarto orden de la secuencia de entrada contaminada. Se puede apreciar que el espectro de frecuencias sólo muestra la existencia de picos a la frecuencia correspondiente a la señal útil (0.05 normalizada).
Cabe resaltar que para la estimación del espectro de potencia de la secuencia obtenida mediante el cálculo del cumulante de cuarto orden se aplican métodos de análisis espectral de alta resolución; en este caso se empleó el método MUSIC (Clasificación Múltiple de Señales), a través de la función pmusic de Matlab. La forma de onda de la señal de salida, una vez estimado el cumulante de cuarto orden se puede observar en la figura 12.

Figura 12. Ilustración de: a) Señal contaminada, b) Componente del cumulante de cuarto orden de la señal contaminada y c) Señal útil original sin contaminar.

Conclusiones

A través de esta investigación quedó constatada la efectividad que reviste la aplicación de técnicas de procesamiento estadístico de orden superior. Si por un lado representan un costo computacional mayor que la alternativa de emplear técnicas clásicas, en dependencia de la aplicación este costo puede estar bien pagado por la alta efectividad obtenida.
Respecto a los ejemplos aportados en este trabajo, quedó demostrada la efectividad que se puede obtener al aplicar el procesamiento estadístico de orden superior al análisis de vibraciones a la detección de fallos mecánicos, a la detección de señales de comunicación y la cancelación de ruido, teniendo en cuenta que los fundamentos teóricos aquí tratados pueden ser generalizados a otras áreas del conocimiento.

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Recibido: 18/09/2012
Aprobado: 22/04/2013