Educación Científica y Tecnológica

A modelagem paramétrica da geometría complexa do aeroporto internacional de beijing: um estudo de transposigáo didática para arquitetura

El modelado paramétrico de la geometría compleja del Aeropuerto Internacional de Beijing: un estudio de transposición didáctica para arquitectura

The parametric modeling of complex geometry of beijing international airport: a didactic transposition study for architecture

 

Janice de Freitas Pires¹, Alice Cybis Pereira²

1- Universidade Federal de Pelotas, Brasil; 2- Unlversldade Federal de Santa Catarina, Brasil * E-mail: janicefpires@hotmail.com

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Resumo

A arquitetura contemporánea, principalmente a produzida nos últimos vinte anos, incorpora um conjunto de conceitos e técnicas forjadas no desenvolvimento científico ocorrido na área da matemática a partir do século XVlll e na área da informática gráfica na última metade do século XX. Neste contexto, formas geométricas com elevado grau de complexidade são experimentadas e empregadas na prática arquitetónica, objetivando alcançar requisitos de projeto, funcóes estéticas, espaciáis, estruturais, de desempenho e/ou sustentabilidade. Devido á adocáo da modelagem paramétrica para conformar tais geometrias,identificou-se a necessidade de realizar um estudo de transposiçáo didática de este saber para arquitetura.A partir da explicitacáo do saber envolvido na superfície complexa empregada no Aeroporto Internacional de Beijing e fundamentando-se na Teoria Antropológica da Didática, estruturou-se uma parte de uma rede de conceitos da geometria complexa da arquitetura contemporânea,a qual foi disponibilizada no contexto da rede TEAR_AD, da Universidade Federal de Santa Catarina, Brasil.

Keywords: geometria complexa; modelagem paramétrica; ensino de arquitetura; aeroporto de Beijing; transposição didática.

Resumen

La arquitectura contemporánea, principalmente la producida en los últimos veinte años, incorpora un conjunto de conceptos y técnicas forjadas en el desarrollo científico ocurrido en el área de las matemáticas a partir del siglo XVlll y en el área de la informática gráfica en la última mitad del siglo XX. En este contexto, formas geométricas con alto grado de complejidad son experimentadas y empleadas en la práctica arquitectónica, objetivando alcanzar requisitos de diseño, funciones estéticas, espaciales, estructurales, de desempeño y / o sostenibilidad. Debido a la adopción del modelado paramétrico para conformar tales geometrías, se identificó la necesidad de realizar un estudio de transposición didáctica de este saber para arquitectura. A partir de la explicitación del saber involucrado en la superficie compleja empleada en el Aeropuerto Internacional de Beijing y fundamentándose en la Teoría Antropológica de la Didáctica, se estructuró una parte de una red de conceptos de la geometría compleja de la arquitectura contemporánea, la cual fue puesta a disposición en el contexto la red TEAR_AD, de la Universidad Federal de Santa Catarina, Brasil.

Palabras clave: geometría compleja; modelado paramétrico; enseñanza de arquitectura; aeropuerto de Beijing; transposición didáctica.

Abstract

Contemporary architecture, especially the one produced in the last twenty years, incorporates a set of concepts and techniques forged in the scientific development that occurred in the área of mathematics from the I8th century and in the área of computer graphics in the second half of the twentieth century. In this context, geometric forms with a high degree of complexity were tried and used in architectural practice, aiming to achieve design, aesthetic, spatial, structural, performance and / or sustainability requirements. Due to the adoption of the parametric modeling to conform such geometries, the need to carry out a didactic transposition study of this knowledge for architecture was identified. A part of a network of concepts of the complex geometry of contemporary architecture was structured based on the specification of the knowledge involved in the complex surface used at the Beijing International Airport and based on the anthropological theory of didactics. It was made available in the context of TEAR_AD network, Federal University of Santa Catarina, Brazil.

Keywords: complex geometry; parametric modeling; architecture teaching; Beijing airport; didactic transposition.

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Introdugáo

A arquitetura contemporánea, principalmente a pro-duzida nos últimos vinte anos, incorpora um conjunto de conceitos e técnicas forjadas no desenvolvimento científico ocorrido na área da matemática a partir do século XVIII e na área da informática gráfica na última metade do século XX. Neste contexto, formas geométricas com elevado grau de complexidade são experimentadas e empregadas na prática arquitetónica, objetivando alcanzar requisitos de projeto, fungões estéticas, espaciáis, estruturais, de desempenho e/ou sustentabilidade. Urna técnica que tem sido utilizada na prática profssional de arquitetura para a proposigáo de tais geometrías é a modelagem paramétrica [1], que consiste na descrigáo de um modelo digital com base em parámetros e relagóes entre os seus elementos geométricos, possibilitando urna gama de solugões alternativas para a sua conformagáo final ou a proposigáo de um objeto arquitetónico.

Considerando-se a importância de tais desenvolvimen-tos para o contexto didático de arquitetura e a dificuldade inerente ao saber envolvido, tomou-se por base para o estado duas teorías didáticas da matemática, em que: urna délas, a Teoría da Transposigáo Didática [2], se dedica a identificar os saberes que transitam ñas instituigóes científica, profssional e educativa e discute a necessidade de integragáo destes em um contexto didático; e a outra, a Teoría Antropológica da Didática [3], identifica que tais saberes possuem urna estrutura a qual pode ser explicitada a partir de seus elementos:problemas ou tarefas; as suas técnicas de resolugáo; as tecnologías; e as teorías, que as explicam e justificam, sendo esta estrutura do saber um modelo teórico para urna análise transpositiva. Estas teorías subsidiaram anteriormente análises e a explicitagáo da estrutura de saber envolvida na confguragáo da forma arquitetónica, visando apoiar tal tipo de transposigáo didática para arquitetura [4] [5].

As descrigóes apresentadas por autores que analisam a geometría complexa da arquitetura contemporánea[6] tratam de um vocabulário o qual necessita ser explicitado, visando urna maior compreensáo para que possa efetiva-mente apoiar processos de confguragáo de tais geometrías. Devido a isto, neste trabalho, considerou-se a necessidade de desenvolver um processo de explicitagáo e estruturagáo do saber relativo a estas, e apresenta-se, específicamente, um estado para a superfície matemática do aeroporto internacional de Beijing na China, por ter se identificado que seu processo de geragáo é eminentemente simples

resultando em uma forma complexa, porém racional sob o aspecto construtivo. Para dar apoio a processos transpositivos ao ensino de arquitetura, propôs-se a estruturação do saberque envolve tal geometria em uma rede de conceitos da geometria complexa da arquitetura contemporânea a ser disponibilizada no contexto da rede TEAR_AD, da Universidade Federal de Santa Catarina, Brasil.

Procedimentos metodológicos

Borda [7] descreve que, nas escolas de arquitetura, no final do século XX e início do século XXI, o tipo de transposição didática relativa à adoção de tecnologias digitais não se apresentava transparente aos docentes, principalmente em respeito às estratégias para a inserção de tais tecnologias, gerando um inquestionável e difícil problema didático. Devido a isso, a autora buscou nas teo-rias didáticasTAD e TD compreender como este problema poderia ser tratado, desde que estas teorias auxiliavam a identificar que tipos de conteúdos ou elementos de saber (nos termos da TAD) necessitavam serem tratados estrategicamente para a ocorrência de tal inserção (trans-posição didática, nos termos da TD). Segundo a TD, um conteúdo didático sofre transformações quando transita em diferentes contextos institucionais (científico, profssional e educativo) e isto se deve a caracterização que é dada ao próprio saber, em que,num dado contexto,por exemplo, é atribuída uma maior importânciaà inserção dos elementos tecnológicos de um saber,e em outro, dos elementos teóricos que constituem este mesmo saber, ou, em adição, das técnicas.Por esta teoria, estes elementos associam-se a resolução de um problema específico ou de uma classe de problemas relacionados. No entanto, esta teoria destaca a necessidade de, no contexto educacional,todos os elementos do saber estarem presentes, exigindo que, em processos transpositivos, ocorra a identificação de tais elementos que constituem a "estrutura do saber" que será alvo da transposição. Amesma autora considera que a TAD, a partir da caracterização de tais elementos, fornece um quadro teórico de base para análise do saber, sendo que estes elementos se caracterizam por: técnicas, ou as maneiras de resolver os problemas; tecnologias, que se referem aos níveis de justificação e explicação das técnicas, ou também à geração de novas técnicas; e teorias, que possuem o mes-mo papel em relação às tecnologias (justificam e explicam as tecnologias, ou produzem tecnologias, referindo-se a um nível mais profundo de explicação).

Este modelo de análise foi adotado para explicitar e estruturar do saber relativo á geometría do Aeroporto de Beijing e sua modelagem paramétrica, a partir do qual se estruturaram as seguintes etapas de desenvolvimento: - O reconhecimento de descríeles relativas a geometría da obra de arquitetura; - A análise sobre o saber que envolve sua geometría; - A estruturagão dos elementos de saber que envolve a superfície da obra; - A constituigao de urna rede de conceitos relativa a tal estrutura de saber.

A descrição da obra, segundo Foster & Partners.

O Aeroporto de Beijing (Figura l)foi projetado para ser a porta de entrada para a vigésima nona Olímpiada em 2008 e o maior e mais avanzado edifício aeroportuário do mundo, não apenas tecnológicamente, mas também em termos de experiência de passageiros, eficiência operacional e sustentabilidade. É um símbolo do lugar pelo seu telhado aerodinámico em forma de dragão, visando comemorar a emogão e poesia do voo e evocar as cores e os símbolos tradicionais chineses.

Figura 1: Aeroporto Internacional de Beijing, na China, de Foster & Partners.Fonte: https://www.fosterandpartners.com/projects/beijing-capital-international-airport/

A análise sobre a geometria

Para analisar a geometria desta obra, se recorre, inicial-mente, as descrições de Burry & Burry [6], sobre as quais, faz-se uma análise dos conceitos geométricos apresentados pelos autores. Essencialmente, a partir do texto descritivo e do glossário, selecionam-se os termos e as definições dadas para a geometria, e, posteriormente, analisa-se e categorizam-se tais conceitos, utilizando-se a estrutura de mapas conceituais. Na sequência, é feitoum estudo de ampliação de estruturas de saber[3], para explicitar cada um destes termos, tendo-se como referênciaautores específicos da área da geometria, que tratam de diferentes abordagens. Estruturas específicas de saber, tais como a classificação da geometria da superfície analisada e os tipos de parâmetros envolvidos em tal classificação, são adicionados à estrutura do saber por que os mesmos auxiliam a visualizar e compreender os próprios processos de geração da superfície. Tal como ocorre com o conceito de curvatura de superfícies, o qual está associado ao tipo

de superfície, sua classificação e seus atributos funcionais.

A estruturação do saber é desenvolvida em mapas conceituais, porque eles: possibilitam especificar um conjunto de termos ou conceitos, hierarquiza-los e aloca-los em categorias, desde os conceitos mais gerais aos mais particulares; permitem estabelecer relações entre os concei-tos e especificar o tipo de relação a partir de palavras de ligação ou frases de ligação; representam proposições, que contém dois ou mais conceitos conectados por palavras-chave ou frases de vinculação, objetivando formar uma declaração significativa [8].Além destas propriedades e a característica dos mapas de facilitar ao entendimento de um conhecimento específico, eles podem representar de maneira fácil e visual a rede de conceitos a qual será construída.

Os processos de modelagem paramétrica da superfície são desenvolvidos por meio da linguagem de programação visual do plug-in Grasshopper associado ao sofitware Rhinoceros, por este facilitar a compreensão sobre os parâmetros geométricos e as relações a serem estabelecidas entre eles.

Análise do saber: a descrição e imagens da obra, a partir de Burry e Burry

A seguir é transcrita a descrição dos autores para caracterizar a obra do Aeroporto de Beijing na China, do escritório Foster e Partners, pág. 25-26 [6]:

A beleza desta proposta de um novo aeroporto internacional encontra-se na resolução do que pode ser o maior espaço coberto do mundo em um pequeno número de arcos de grande raio. O objetivo era criar uma sensação de calma através do uso de geometria simples e curvas graduais. "Quisemos simplificar a matemática", diz o arquiteto Jonathan Parr. "Os planos para os terminais são baseados, por exemplo, em curvas de tempo". Em última análise, toda a geometria foi gerada a partir dearcos e linhas retas para criar um vasto telhado duplamente curvado, duplamente abrangente que envolve mais de um milhão de metros quadrados. Os arcos começam no plano, seus raios são determinados pelo arranjo ideal dos estandes de aeronaves, com base na extensão da asa dos aviões dispostas ao longo das curvas. [...] O telhadoda estação de trem reutiliza a geometria empregada pela primeira vez pelos arquitetos na estação de Canary Wharfde Londres: o patch toroid, uma forma gerada por arcos diferentes em execução em direções ortogonais. Aqui, o teto varia de curvaturaem três dimensões. A curvatura lenta(o raio mínimo de curvatura é de 250 m) permitiu que a geometria fosse encontrada levantando a grade de nós regular da estru-tura espacial leve verticalmente do plano para a super-fície. Teoricamente, a curvatura variável implicava que os 18.262 pontos de conexão e 76.924 membros seriam todos diferentes, mas, na prática, alguns eram suficientemente semelhantes para serem replicados. [...] Com os terminais de quase um quilômetro de comprimento e 80m de largura, a proporção mínima para a altura do teto foi estimada em 20 a 30 m.Dezesseis tons de vermelho e amarelo variam em passos espectrais nos terminais, refe-tindo a lenta mudança da geometria e as sequências de chegada e partida (passageiros domésticos partem do dramático nível superior de seu terminal, enquanto viajantes internacionais têm um encontro comparável na chegada). Telhas triangulares erguem-se da rede do telhado como escamas de dragão para admitir o calor luz e calor passivo através do bosque do espaço acima. O sucesso da fórmula simples também estava em sua transmissibilidade. O em-preiteirorecebeu do arquiteto uma declaração de método geométrico; na verdade, uma receita para construir a geometria como um poderoso modelo de luxo do edifício¹.

 

Figura 2: Mapa conceitual que expressa uma ontologia em linguagem natural relativa à descrição de Burry e Burry [6] para o aeroporto de Bei-jing, na China. Fonte: Elaboração própria.

sublinhadas); e termos e expressões relativos á geometría da superfície (palavras em formato itálico).A Figura 2 apresenta um esquema desta descrigão no formato de mapa conceitual, contendo os termos associados á obra, as relagoes entre os termos e os tipos de relagáo, buscando formatá-la como urna ontologia em linguagem natural. Sobre esta descrigão foram marcados com retángulos na cor vermelha os conceitos geométricos a serem ampliados e na cor amarela os conceitos que se referem aos tipos de entes geométricos e seus atributos formáis.

A Figura 3 apresenta um esquema gráfico que sistematiza as fguras apresentadas em Burry e Burry [6] com a sua respectiva descrigáo

Ampliacáo das estruturas de saber: Patch Toroid (Porcáo toroide) e curvatura

As palavras e expressões assinaladas no texto referem-se á(s): os conceitos gerais (marcadas na cor cinza); descrigões ou explicagões de tais conceitos (palavras

1- The beauty of this proposal for a new international airport lies in the resolution what may be the world's largest covered grace into a small number of arcs of grand radios. The aim was to create a sense of calm through the use of simple geometry and gradual curves. 'We wanted to simplify the mathematics: says architect Jonathan Parr. The plans for the terminals are based on three curves, for example.' Ultimately, all of the geometry was generated from arcs and might lines to create a vast, doubly curved, doubly spanning roof that encloses over a million square meters. The arcs begin in plan, their radii determined by the optimal arrangement of the aircraft stands, based on the wing span of the planes arrayed along the curves. [.] The BIA train station roof reuses the geometry frst employed by the architects at London's Canary Wharf station: the toroid patch, a shape generated by different arcs running in orthogonal directions. Here, the roof varies in curvature in three dimensions. The slow curvature (the minimum radius of curvature is 25om) allowed the geometry to be found by lifting the regular node grid of the lightweight space-frame vertically from the plan onto the surface. Theoretically, the variable curvature implied that the 18,262 connection points and 76.924 members would all be different, but in practice, some were sufficiently similar to be replicated. [...] With the terminals almost a kilometre in length and 80om across, the minimum proportion for the ceiling height was judged to be 20 to 30 m. Sixteen shades of red and yellow vary in spectral steps across the terminals, refecting the slow change of the geometry and the arrival and departure sequences (domestic passengers depart from the dramatic upper level of their terminal, while international travelers have a comparable encounter on arrival). Triangular roof lights rise like dragon scales from the grid of the roof to admit light and passive warmth through the bosque of space-work above. The success of the simple formula was also in its transmissibility. The contractor received from the architect a geometrical method statement; in effect, a recipe for constructing the geometry as a mighty upscale model of the building.

Na sequência será feita uma análise sobre os conceitos de Patch Toroid (Porção de um Toro) a paritr da classi-ficação de superfícies curvas e Telhado duplamente curvado a partir do conceito de curvatura de superfícies, termos demarcados na cor vermelha no mapa da Figura 2. Objetiva-se explicitar os termos demarcados em cor amarela (geometria simples, pequeno número de arcos de grande raio, curvas graduais, arcos e linhas retas, arcos diferentes, direções ortogonais e curvatura em três dimensões) a paritr da especificação detalhada dos dois termos principais (marcados em vermelho) e incluídos de maneira clara e explícita na rede de conceitos que será constituída.A descrição dos elementos geométricos primários e do processo de geração da superfície da obra pôde ser obtida tanto a partir do relato de Burry & Burry [6], que se referem a arcos circulares que geram um patch toroid, como a partir da observação direta sobre o modelo parametrizado, disponibilizado na página do escritório de arquitetura Foster & Partners (http://www.fosterandpart-ners.com/projects/beijing-airport/), conforme a Figura 4.

 

Figura 3: Esquema gráfico com as imagens do aeroporto de Beijing, apresentadas em Burry e Burry.
Fonte: Elaboração própria.

Figura 4: Fotografas e modelo paramétrico do Aeroporto de Beijing, Foster & Partners.
Fonte:http://www.fosterandpartners.com/projects/beijing-airport/

 

Os autores caracterizam a superfície de um patch toroid a partir da seguinte descrição [6], pág. 266:

Um toro é descrito como o produto de dois círculos ou a revolução de um círculo ao redor de um eixo no mesmo plano, ou um 'doughnut'. Realizar a varredu-ra (translação) de um arco circular ao longo de um caminho em arcocircular é uma maneira arquiteto-nicamente útil de gerar uma superfície que é variável em termos de sua forma e curvatura; não visivelmente identificável imediatamente na forma de uma superfície esférica,mas simples para descrever e construir, pois possui uma seção circular em duas direções ortogonais.

O processo de geração de um toro circular pela teoria de superfícies curvas

Rodrigues [9] detalha o processo de geração de um toro como de uma circunvolução de uma circunferência geratriz (g) ao redor de outra circunferência diretriz (d), perpendicular à primeira, sendo que o eixo desta diretriz (e) é uma reta contida no mesmo plano das geratrizes, mas que não passa pelo centro das mesmas. A Figura 4.5 ilustra

o processo de geração de um toro circular e as condições para gerar três diferentes tipos de toros circulares, sejam elas: se o raio da geratriz (r) for menor que a distância do seu centro ao eixo (s), a superfície é tórica circular aberta; se o raio da geratriz (r) for igual à distância do seu centro ao eixo (s), a superfície é tórica circular fechada; e se o raio da geratriz (r) for maior que a distância do seu centro ao eixo (s), a superfície é tórica circular reentrante [10].

Figura 5: Á esquerda o processo de geragáo de um toro circular. Elaboragáo própria. Ao centro e a direita, três tipos de toros circulares e seus parámetros de definigáo.
Fonte: Pottmann et al [10].

A classificação de um toro circular pela teoria de superfícies curvas

A partir da classificação de Superfícies Curvas sistematizada por Gaspar Monge e apresentada em Rodrigues [9], identifica-se que o toro circular é classificado como uma Superfície Propriamente Curva, da família das Circulares em Geral (por sua geratriz ser urna circunferência), e ainda classificado como Circular de Circunvolução (que se refere ao tipo de processo de geração). A Figura 6 apresenta um esquema visual e descritivo que explica os elementos que caracterizam esta classificação.

Figura 6: Classificacjio de superfícies curvas a partir do parámetro sistema e leis de geracao e tipo de curva geratriz.
Fonte: Elaboracao própria a partir da classificacao de Monge, apresen-tada em Rodrigues [9].

Tais elementos permitem compreender que, por exem-plo, se a geratriz do toro não fosse uma circunferência, e sim outra curva qualquer, como uma elipse, parábola ou hipérbole, o toro a ser considerado seria classificado como uma superfície Propriamente Curva, do grupo das Quádri-cas em Geral e não mais das Circulares em Geral. Também é possível compreender como a classificação dos subgru-pos está relacionada ao processo de geração da superfície: o toro pertence ao subgrupo de 2ª espécie, por ser gerado pelo processo denominado de circunvolução(processo em que há uma 'varredura' de uma curva geratriz em torno de uma curva diretriz, com a particularidade de o eixo de 'varredura' não ser o mesmo eixo da curva em que esta é aplicada, ou seja, a geratriz da superfície). Rodrigues [9] se refere a que, neste movimento, o eixo da geratriz descreve uma circunferência, por isso este movimento recebe o nome de circunvolução. As superfícies do subgrupo de 1ª espécie são geradas unicamente pelo processo denominado de revolução, que se distingue do anterior pelo fato de o eixo da geratriz durante o movimento descrever uma linha reta. Isso quer dizer que o eixo de revolução corresponde com o eixo da própria curva geratriz.

O processo de geração do patch toroid do Aeroporto de Beijing

Ao se analisar a descrição de Burry e Burry [6] sobre a geometria do Aeroporto de Beijing foi possível identificar que a conformação da superfície não é feita a partir de uma circunvolução de uma circunferência geratriz em torno de um eixo que está em um plano ortogonal ao eixo desta, conforme apresentado em Rodrigues [9], para explicar a classe tradicional de superfícies curvas (Figura

5).Observando-se uma imagem que acompanha a descrição de Burry e Burry [6] para a superfície patch toroid (à direita da Figura 7), é possível identificar o processo de geração a partir de outros elementos que o conformam,os quais se encontram em planos ortogonais as geratrizes: estes elementos são os 'paralelos' da superfície, que se correspondem na obra analisada com os arcos que geraram a superfície considerada.

Figura 7: À esquerda, identificação das geratrizes e dos paralelos de um toro. À direita, porção da superfície de um toro que se corresponde com o conceito de patch toroid.
Fonte: GEGRADI/UFPEL (bolsista Cristiane Nunes) e Burry & Burry [6].

Caracterização do conceito de curvatura, tipos e as curvaturas de um toro circular

Outro conceito associado á obra do Aeroporto de Bei-jing foi o de curvatura, sendo expressa, nesta superfície, como gerada por arcos de raios variáveis com alturas também variáveis e que se desenvolvem segundo urna trajetória circular. Com isso, segundo Burry e Burry [6], pág. 25, "foi criado um telhado duplamente curvado, abrangendo urna área enorme de mais de um milháo de metros quadrados".

A definição dada por Burry e Burry [6], pág. 255, para curvatura é:

Curvatura é essencialmente o valor pelo qual uma curva ou superfície diferenciase respectivamente de uma linha retaou de uma superfície plana. O caso mais simples é o de uma curva no plano. Sua

curvatura pode variar em cada um dos pontos ao longo da curva, mas pode ser quantificada em cada ponto individual como sendo o inverso do raio de um circulo que mais proximamente se encaixa na curva localizada naquele ponto. Um círculo é uma figura com curvatura constante; um círculo pequeno tem alta curvatura e um círculo maior terá menos curvatura extrema, dessa maneira verificase a relação inversa ao raio. Curvatura Gaussiana é uma medida intrínseca de uma curvatura de superfície, é o produto das duas principais curvaturas da superfície em um determinado ponto. Superfícies convexas como esferas tem curvatura positiva, superfícies em sela como hiperboloides tem curvatura negativa e planos tem curvatura zero local e global.

A curvatura de uma superfície é a medida escalar da taxa de variação da direção de um vetor normal unitário em torno da superfície: Um plano tem direção normal constante e assim sua curvatura não existe, é zero; Em uma esfera, o vetor normal unitário tem variação constante de direção, assim diz-se que a curvatura da esfera é constante, sendo convencionada como positiva por qualquer de seus pontos encontrarem-se sempre do mesmo lado de um plano tangente a este ponto; Em superfícies hiperbólicas², a variação de direção do vetor normal não é constante, sendo convencionada como negativa porque em qualquer ponto sempre a superfície atravessará o plano tangente que passa no ponto dado (https://www.math.tecnico.ulisboa. pt/~lgodin/GEOII/Geometria/geometry_surfaces.html).

Segundo Pottmann et al [10], as curvaturas principais da superfície em um ponto são obtidas tomando-se os valores máximo e mínimo das curvas geradas pela interseção de planos ortogonais aos planos tangentes a este ponto da superfície. Por um único ponto passam muito planos ortogonais ao plano tangente e que geram muitas curvas de seção; uma destas curvas terá a maior curvatura e outra terá a menor curvatura entre todas elas.

A curvatura Gaussiana é o produto das curvaturas máxima e mínima da superfície ou curvaturas principais (k1 x k₂). Ela é intrínseca a superfície e não depende do modo como está imersa no espaço [10].

Em função destes tipos de curvaturas são confgurados tipos de pontos na superfície, os quais são classificados em função da orientação da superfície vizinha a um plano tangente neste ponto, dos sinais de suas curvaturas principais e da curvatura Gaussiana neste ponto, segundo[11] http://www.grad.hr/geomteh3d/Plohe/plohe1_eng.html e[10]:- Um ponto é dito elíptico quando a superfície na sua vizinhança é no mesmo lado do plano tangente a esta superfície que passa por tal ponto [11]; Em um ponto elíptico, ambas as curvaturas principais têm o mesmo sinal (negativo ou positivo) e, portanto, tem-se uma curvatura Gaussiana (o produto das curvaturas principais) positiva [10]. Este tipo de ponto caracteriza superfícies de curvatura única; - Um ponto é dito hiperbólico quando a superfície na sua vizinhança é em ambos os lados do plano tangente a esta superfície que passa por tal ponto [11]; Em um ponto hiperbólico, as curvaturas principais

2- Superfícies geradas pela revolução de uma curva hipérbole em torno de um de seus eixos ou pela rotação de retas reversas apoiadas em duas diretrizes circulares que se encontram em planos paralelos.

possuem sinal diferente e, portanto a curvatura Gaussiana é negativa [10]. Este tipo de ponto caracteriza superfícies de dupla curvatura; - Um ponto é dito parabólico quando a superfície na sua vizinhança é no mesmo lado do plano tangente, tal como ocorre com o elíptico, mas este plano tangente é também o plano tangente para todos os pontos de alguma curva da superfície perto de tal ponto. No ponto elíptico o plano tangente não é o mesmo para todos os pontos de alguma curva da superfície que estão próximos deste ponto [11]; No ponto parabólico uma das curvaturas principais é nula e a outra é não nula, portanto a curvatura Gaussiana é nula também [10]. Este tipo de ponto também caracteriza superfícies de curvatura única, tal como o ponto elíptico. A Figura 8 ilustra os tipos de pontos em uma superfície.

Figura 8: Pontos elípticos, hiperbólicos e parabólicos sobre uma superfície curva.
Fonte: Gorjanc [11], University of Zagreb, http://www.grad.hr/geomte-h3d/Plohe/plohe1_eng.html

Os pontos denominados de planares possuem as duas curvaturas principais nulas; E ainda existem os pontos denominados de umbílicos, os quais possuem as duas curvaturas principais com valores iguais [12].

O toro circular possui pontos elípticos, hiperbólicos e parabólicos, conforme ilustrado na Figura 9. Isto quer dizer que ele possui regiões da superfície com curvatura única (nas porções vermelha e azul) e regiões com dupla curvatura (porção na cor verde), sendo esta última, o tipo de região que corresponde à porção de superfície do Aeroporto de Beijing. Este detalhamento dos conceitos associados ao conceito de curvatura possibilitou explicar a afrmação de Burry & Burry [6] sobre a obra ter um telhado duplamente curvado.

Figura 9: Tipos de pontos encontrados na superfície de um toro circular.
Fonte: http://www.grad.hr/itproject_math/Links/sonja/gausseng/ehpp/ehpp.html e Pottmann et al [10].

 

A partir dos conceitos apresentados, é possível des-crever a geometria da superfície do Aeroporto de Beijing, sendo ela uma porção de uma superfície tórica do tipo aberta, localizada na região de pontos hiperbólicos da superfície, conforme ilustrado na Figura 10.

Figura 10: Estrutura da superfície do aeroporto de Beijing, de Foster e Partners, e sua localização em um toro do tipo circularaberto. Fonte: Elaboração própria.

Segundo Heaton [13], assim como a curvatura positiva de superfície de uma esfera está associada à geometria elíptica, há também algo chamado 'geometria hiperbólica' associada à curvatura Gaussiana negativa. O autor destaca que, na geometria hiperbólica, os ângulos de um triângulo

sobre a superfície somam menos de 180º, mas o fato mais fundamental é que dados qualquer linha reta e um ponto fora desta linha, existe pelo menos duas linhas retas que passam através do ponto, mas não interceptam a primeira linha. É uma geometria menos intuitiva do que a geometria elíptica, mas superfícies com curvatura negativa ocorrem na natureza para muitos aspectos funcionais. O autor exemplifica os recifes de coral os quais muitas vezes tém curvatura Gaussiana negativa.

A Estruturação dos elementos de saber da superfície do aeroporto

As teorias associadas às superfícies do toro circular

Nesta seção, o saber explicitado na seção anterior é estruturado por meio de mapas conceituais, em que se podem distinguir os seguintes elementos:

- As classes, os entes geométricos e atributos, que se referem aos processos de geração e conceitos geométricos intrínsecos da geometria tratada (teorias). A classificagáo das Superfícies Propriamente Curvas (geometria do toro circular) está esquematizada no mapa da Figura 11, contendo a identificagáo das classes, grupos, subgrupos e os nomes das superfícies correspondentes a estes. Os parâmetros e os atributos que norteiam esta classificagáo das superfícies estáo descritos no mesmo mapa conceitual;

-  A justificação sobre a classificação e sobre os elementos e atributos da geometria e a explicação de seus processos de geração (nível tecnológico). O mapa da Figura 12 busca associar os parámetros de categorizagáo da Superfície Tórica do tipo Aberta á sua correspondente justificagão, no que diz respeito ao tipo de classe, ao grupo e ao subgrupo identificados, sendo estes baseados no tipo de curva geratriz e ñas condigões particulares estabelecidas em seu processo de geragáo. Também são delimitados os parámetros de descrigáo deste tipo de superfície.

Figura 11: Mapa com a classificação e atributos das Superfícies Propriamente Curvas, segundo Rodrigues [9]. Fonte: Elaboração própria.

 

Figura 12: Mapa com a classificacao da superfície tórica, parámetros de classificacao e o seu processo de geracao. Fonte: Elaboracao própria, a partir de Rodrigues [9].

 

Em apenas este esquema visual foi possível explicitar três níveis de saber relacionados á forma geométrica estudada: o nível teórico, por meio da identificagáo de atributos inerentes a classificagáo; o nível tecnológico pela justificagáo que se aplica a esta classificagáo; e o nível técnico, relativo aos processos de geragáo intrínsecos a tal geometría, os quais estáo associados a urna ou mais técnicas de geragáo. A explicitagáo desta estrutura de saber a partir principalmente das teorías possibilitou identificar as técnicas de geragáo da superfície, os quais são fundamentáis para a proposigáo de seus processos de modelagem paramétrica e a serem considerados na rede de conceitos proposta na pesquisa.

Os elementos teóricos apresentados nesta segáo se referem aos níveis de justificagáo/explicagáo dos conceitos inerentes ás técnicas de geragáo da superfície do toro circular. Na próxima subsegáo, seráo apresentados os elementos de justificagáo/explicagáo das técnicas postas em prática, ou seja, em seu processo de aplicagáo por meio da modelagem paramétrica da superfície do aeroporto de Beijing.

As técnicas de modelagem paramétrica e os elementos de justificação/explicação de tais técnicas

A partir dos elementos teóricos explicitados na segáo anterior,identificou-se que a superfície da obra Aeroporto de Beijing (urna porgáo de um toro circular) é gerada por urna porgáo de circunferência (um arco como geratriz) em circunvolugáo ao redor de urna porgáo de outra circunferência (um arco como diretriz) e que ambas as porgóes de circunferências estáo coñudas em planos ortogonais.

A representagáo desta porgáo de superfície do toro não a partir de urna segáo na superfície e sim a partir da representagáo dos arcos, que são "partes" dos paralelos da superfície, pode ser em um primeiro momento considerada urna ideia mais abstraía em relagáo á primeira hipótese de representagáo (por segáo em urna porgáo do toro). Mas, ao contrário, ela possibilita lidar com a identificagáo e com-preensáo sobre os elementos primários desta geometría, especificamente os paralelos, e sobre o reconhecimento de sua variagáo dimensional (raios) ao longo da superfície. Além disso, por haver urna sequéncia de arcos e retas na confguragáo da curva diretriz que forma o contorno da superfície do aeroporto, este tipo de processo de geragáo traz para o contexto didático conceitos mais específicos da geometría plana e espacial, tais como de concordância entre arcos de circunferência e retas. Este conceito se baseia na construgáo dos arcos pela especificagáo de parámetros como os ángulos e as diregóes das tangentes nos seus pontos extremos. Didaticamente é relevante a insergáo deste tipo de conceito pelos motivos a seguir: ele explícita a fungáo das retas tangentes quanto á manutengáo da continuidade nos pontos de conexáo entre arcos e retas, o que pode ser generalizado para outros casos de concordância entre elementos geométricos iguais ou distintos; e ele promove a associagáo entre os saberes advindos das técnicas tradicionais de representagáo gráfica e os das técnicas digitais de geragáo de tal superfície, facilitando a transposigáo ao meio digital pela modelagem paramétrica.

Análise da superfície da obra

A análise sobre as imagens da obra (Figura 13), em vista superior e frontal, aponta os seguintes parámetros para os elementos geométricos da superfície da cobertura:

Figura 13: Análise geométrica da cobertura do Aeroporto de Beijing. Fonte: Elaboração própria, com base em imagens disponíveis em: http://www.fosterandpartners.com/projects/beijing-airport/

- os valores dos raios da circunferência diretriz e dos arcos geratrizes da superfície; o valor do ângulo do arco de circunferência diretriz, sobre o qual ocorre o movimento circular dos arcos de circunferência geratriz; - as dimensões das linhas tangentes aos pontos extremos do arco diretriz; as alturas de cada arco geratriz da superfície, assim como adistância entre seus pontos extremos, para a definição dos pontos de construção dos arcos.

Delimitação do algoritmo de modelagem paramétrica da superfície do aeroporto

O algoritmo correspondente ao processo de geração, identificado por meio das análises ilustradas na Figura 13, está expresso nas etapas representadas na Figura 14.

 

Figura 14: Algoritmo de representacao da porcao da superfície tórica correspondente á cobertura do Aeroporto de Beijing. Fonte: Elaboracao própria.

O detalhamento dos parámetros relacionados ás etapas do processo de modelagem paramétrica está ilustrado no esquema da Figura 15. Tais etapas para a geração da superfície e os parámetros correspondentes ao desenvolvimento destas são utilizados como base para a programacao visual em Grasshopper.

Figura 15: Detalhamento dos parâmetros em cada etapa do processo de representação paramétrica da geometria da cobertura do Aeroporto de Beijing. Fonte: Elaboração própria.

Transposicáo do algoritmo para a programacao visual em Grasshopper

A transposiçáo do algoritmo delimitado na seção anterior para um ambiente de modelagem paramétrica confgurou-se por intermédio da programação visual do plug-inGrasshopper (Rhinoceros), conforme descrito na seção de procedimentos metodológicos. De maneira geral, este /?/wg-z'»emprega componentes que recebem informacoes de entrada (inputs) e devolve, após o proces-samento, outras informacoes de saída (outputs) que podem ser usadas como novas informações de entrada para outras operacoes e construcoes geométricas.

A programação teve como base os elementos geométricos da superfície e as técnicas de representação destes elementos, abordando ao mesmo tempo o conceito de otimização do processo de descrição da geometria. A otimização trata do emprego de conceitos geométricos ou de transformações que integram mais de uma função geométrica, fazendo com que se reduza o número de etapas da programação sem perda da flexibilidade do modelo resultante. Um exemplo inserido no processo de programação do aeroporto de Beijing é o componente denominado de 'Evalúate Curve', disponível junto ao conjunto de ferramentas de análise de curvas. Este componente permite delimitar um ponto específico na curva de acordo com algum parâmetro informado, como, por exemplo, o próprio comprimento da curva ou outro ponto qualquer sobre ela. O componente também permite delimitar a reta tangente a este ponto e o ângulo da curva, sendo estes os dados de saída do componente (a informação que ele devolve como resultado da análise da curva). Ou seja, um único componente identifica e delimita três informações geométricas da curva, as quais podem ser caracterizadas como dados de entrada para outras funções. A Figura 16 ilustra as etapas da programação correspondentes ao algoritmo anteriormente delineado (Figura 14), contendo a inclusão de mais dois arcos geratriz, os quais foram necessários para a geração da superfície e a inclusão da refexão das linhas diretrizes para compor o contorno inteiro da superfície.

Figura 16: Programação da modelagem paramétrica da superfície geométrica do Aeroporto de Beijing, desenvolvida no pluginGrasshop-per para Rhinoceros. Fonte: Elaboração própria.

A programação inclui a representação: do arco da circunferência e das retas tangentes a este arco em seus pontos extremos que são as curvas diretrizes da superfície (1); das linhas de largura dos arcos geratrizes e dos arcos geratrizes, inicialmente previsto em número de dois, mas posteriormente ampliado para quatro arcos (2); da simetria de refexão das diretrizes representadas no lado esquerdo da superfície (3); e da geração da superfície a partir das geratrizes e diretrizes representadas anteriormente (4).

Na etapa 1 estão incluídos os elementos de saber referentes aos parâmetros de definição de um arco construído pelo ponto central, um plano e um valor de raio e os elementos referentes ao conceito de direção tangente aos pontos extremos do arco diretriz e a avalição de curvas para definir tal direção; Na etapa 2 estão incluídos os elementos de saber referentes à direção segundo um vetor

correspondente ao eixo x de coordenadas e aos parâmetros de construção de um arco por três pontos localizados no espaço tridimensional (por suas coordenadas x, y e z); Na etapa 3 estão incluídos os elementos de saber referentes aos parâmetros de definição da simetria de refexão em torno de um eixo (uma linha), sejam eles a curva que define o eixo de refexão (a qual por sua vez inclui o elemento direção do eixo a partir de um vetor em y) e a geometria a ser refetida; Na etapa 4 estão incluídos os elementos de saber referentes ao conceito de geração de superfície pela 'varredura' (SWEEP) de curvas geratrizes (seções) apoiadas em duas curvas diretrizes ('rails' ou 'trilhos', na linguagem tecnológica, da ferramenta de modelagem paramétrica).

A superfície final resultante está ilustrada na Figura 17, com suas vistas ortográficas e perspectiva.

Figura 17: Superfície gerada pela modelagem paramétrica em Gras-shopper correspondente à cobertura do Aeroporto de Beijing. Fonte: Elaboração própria.

 

Figura 18: Estrutura geral da rede de conceitos da modelagem paramétrica da geometria complexa da arquitetura contemporânea. Fonte: Elaboração própria.

A constituição da rede de conceitos relativa à superfície do Aeroporto de Beijing

Conforme descrito nos procedimentos metodológicos, de acordó com a Teoría Antropológica da Didática [3], um conteúdo didático possui urna praxeologia que está constituída por elementos de saber: os problemas ou a classe de problemas associados; as técnicas de resolugão deste problema; as tecnologias que permitem produzir, justificar e explicar as técnicas; e as teorías que dão suporte a tais explicagóes e justificagóes a respeito das técnicas. Dessa maneira, os elementos de saber da geometría complexa da arquitetura contemporánea associados á superfície matemática da obra Aeroporto de Beijing foram explicitados a partir do modelo teórico de organizagao praxeológica³, que é o referencial de análise de saberes proposto na teoría de base deste estudo.

Urna estruturagáo de tais saberes é compreendida ne-cessária para a sua transposigáo aos contextos de ensino de arquitetura. Tal estruturagáo é dada em mapas concerníais, por estes permitirem categorizar os conceitos e relaciónalos mutuamente assim como descrevé-los em seus aspectos de explicagáo e justificagáo, pela caracterizagáo dos atributos dos conceitos geométricos tratados, tal como ocorre em urna ontologia leve (baseada essencialmente no conceito de ontologia da flosofa) em linguagem natural.

Nesta segáo é realizada a estruturagáo de tais praxeo-logias, no formato de urna rede de conceitos que integra todos os elementos de saber descritos ao longo das segóes anteriores. A estrutura geral da rede de conceitos da geometría complexa da arquitetura contemporánea para as superfícies matemáticas apresentadas em Burry & Burry está ilustrada no esquema visual da Figura 18.Os tipos de estruturas de saber foram classificados com base nos conceitos explicitados a partir dos autores de referência, sendo o mapa inicial a exemplificação de obras de arquite-tura apresentadas nas análises de Burry e Burry. Este mapa inicial (Figura 19), de acesso a todos os demais mapas integrantes da rede de conceitos, foi construído a partir de dois elementos significativos para o ensino de geometria na Arquitetura, contidos nos discursos dos autores de referên-cia: os exemplos arquitetônicos e os conceitos geométricos (matemáticos) atribuídos a cada obra exemplificada.

O mapa que dá acesso ao conteúdo do Aeroporto de Beijing (Figura 20) categoriza os tipos de saber tais como: a descrição de Burry & Burry; as imagens da obra; e a ampliação da estrutura de saber a partir dos conceitos da geometria do toro circular, curvatura de superfícies e da modelagem paramétrica da superfície do aeroporto.

Este segundo nível da estrutura de saberagrega catego-rias de conceitos mais específicos que se referem:

- A descrição do projeto do Aeroporto e as definições apresentadas em Burry & Burry para os conceitos geométricos de 'porção toroide' e 'curvatura'; e a ampliação dos conceitos geométricos apresentados nas descrições tomadas incialmente como referência, estruturados em outros mapas conceituais. Estes mapas contém o aprofun-damento dos seguintes temas: a definição de superfícies e seus elementos principais a partir de autores da área da geometria [9] [10]; os parâmetros de classificação de geometrias e superfícies [9]; a classificação de superfícies curvas [9]; a classificação de superfícies propriamente curvas [9]; a definição do toro e seu processo de geração [9] [10]; a definição de curvatura de superfícies [14]; os tipos de curvaturas em superfícies [10] [15] [11]; os tipos de pontos em uma superfície [10] [11]; e os tipos de pontos em um toro circular aberto [10] [11]. Tais temas se complementam e ampliam os conceitos apresentados em cada um dos mapas.

3- Urna organizagao praxeológica descreve a estrutura lógica da acáo humana [3].

 

Figura 19: Mapa conceitual de acesso à rede de conceitos. Fonte: Elaboração própria

Figura 20: Estrutura da rede de conceitos do Aeroporto de Beijing. Fonte: Elaboração própria

Todos estes mapas possuem links para o mapa que permite o acesso a cada exemplo de obra de arquitetura e aos mapas específicos que contém as descrigoes do Aeroporto de Beijing, as imagens da obra, os conceitos da geometría e os fundamentos para a modelagem paramétrica. O acesso aos mapas não é exclusivamente linear, desde que é possível acessar cada tema ou conceito individualmente a partir do mapa inicial da rede de conceitos de cada obra. Há também urna indicagao no mapa inicial de urna sequéncia lógica do conteúdo.

As estaturas de saber referentes á modelagem paramétrica foram categorizadas por meio de esquemas visuais que incluem a descrigão detalhada das etapas de modelagem paramétrica: a representagão por programagão visual dos elementos fundamentáis da superfície (as curvas diretrizes - arcos e retas, e os arcos geratrizes); e o pro-cesso de geragao da superfície, a partir de seus elementos fundamentáis.

No próprio mapa que descreve o algoritmo de modelagem paramétrica existe acesso aos mapas das etapas de

modelagem, os quais reúnem novas estruturas de saber, detalhadas em outros mapas conceituais, com esquemas gráficos que objetivam relacionar o respectivo algoritmo de modelagem paramétrica, a programação visual e a descrição dos tipos de parâmetros que caracterizam os dados de entrada e saída de tal programação (Figura 21). À esquerda desta Figura há uma explicação do algoritmo em termos das técnicas correspondentes; ao centro, imagens da programação e da geometria resultante do emprego das técnicas; à direita e ao centro embaixo, as estruturas de saber referentes aos parâmetros e os componentes que operacionalizam as técnicas de modelagem; e à esquerda embaixo, os dados de entrada e os de saída de cada componente.

O detalhamento de todas as demais etapas de modela-gem paramétrica encontra-se disponível na rede de concei-tos no ambiente online da REDE TEAR_AD (http://tearad. ufsc.br/biblioteca/modelagem-parametrica-da-geometria-complexa-do-aeroporto-de-beijing/#open-modal).

 

Figura 21: Mapa conceitual com o detalhamento da modelagem paramétrica das curvas diretrizes da cobertura do Aeroporto de Beijing. Fonte: Elaboração própria.

Resultados e Discussáo: Reflexóes para o ensino de Arquitetura

A partir da análise e explicitagao das estaturas de saber relativas á geometría empregada no Aeroporto de Beijing identificou-se que poderia ser um exemplo estratégico para a insergao dos conceitos e técnicas de modelagem paramé-trica da geometría complexa no ensino de arquitetura. Isto se justifica pelas seguintes premissas:

- Embora a superfície tenha urna confguragão visual complexa e com geometría de dupla curvatura, ela é definida por urna classe tradicional de superfícies curvas, o toro circular de revolugão, superfície que é estudada em estágios iniciáis de formagao em arquitetura, ñas disciplinas de geometría descritiva. O atributo de ser confgurada a partir de arcos de circunferência em desenvolvimento ao longo de urna curva composta também por arcos de circunferência que estão em concordância com linhas retas torna o problema de compreensão desta geometría como um problema que abarca conceitos fundamentáis de geometría plana e espacial. Tais conceitos referem-se, além da definigão e representagao dos parámetros de constagao dos arcos, à caracterizagao das condigões de concordância destes com linhas retas, dada pela diregão das linhas tangentes nos pontos de concordância. Isto permite inserir o conceito de tangência e as técnicas que garantam a

sua definição, como o emprego de linhas orientadas e vetores de orientação, os quais são imprescindíveis em processos de modelagem paramétrica. - Também foi possível reconhecer o tipo de processo de geração da superfície por revolução ou varredura de um arco geratriz em torno de um arco que é dire-triz, ou como se refere Burry & Burry [6], pág. 25: "arcos em varredura gerando um telhado duplamente curvado". Devido a estas questões, a representação desta superfície pode ser caracterizada como uma estratégia didática para o ensino e a aprendizagem da modelagem paramétrica no ensino de arquitetura, além de trazer elementos de saber significativos para o projeto de arquitetura, principalmente a característica de dupla curvatura desta superfície, que resulta de suas condições de geração. Estes elementos referem-se também a racionalidade do seu processo de geração, em termos geométricos e construtivos, o que contribui tanto para a exploração da forma quanto para a economia no processo de sua construção no canteiro de obras, pela racionalidade no emprego dos materiais e mão de obra, conforme destacado em Burry & Burry [6]. Ao lidar com a racionalidade construtiva e a simplicidade de elementos geométricos em sua composição formal, este tipo de superfície pode vir a desmistificar a ideia de que a complexidade geométrica está intrinsicamente associada a um alto custo de construção. Este preceito é sistematicamente atribuído, de forma equivocada, às geometrias complexas empregadas na Arquitetura contemporânea, especialmente as que se conformam com dupla curvatura;

- A sua característica de superfície de dupla curvatura é importante para o reconhecimento e a inserção de conceitos que em geral não são abordados nos currí-culos de arquitetura, tais como: os tipos de curvatura de uma superfície e sua infuência na caracterização geométrica da própria superfície; as diferentes con-formações de uma geometria em função da variação em sua curvatura; e como estes variações infuenciam no projeto, em termos do desempenho estrutural da superfície. A questão estrutural talvez seja uma das mais importantes no contexto de Arquitetura, já que geometrias com dupla curvatura possuem ótimo des-empenho estrutural se forem comparadas as geometrias com curvatura única (como esferas e elipsoides) e de curvatura gaussiana nula (como cones e cilindros). Este aspecto também infuencia na economia de material e racionalidade construtiva, porque é possível vencer grandes vãos com uma estrutura relativamente fina (pouca espessura para o vão livre a ser alcançado).

Conforme assinalado, os conceitos apresentados pos-suem potencial para atividades exploratórias de geração paramétrica da forma durante o processo de projeto, pois é possível atribuir na programação visual parâmetros e ações relativas a tais conceitos, tal como fxar valores de curvaturas e verificar por meio de componentes analíticos o quanto as instâncias geradas aproximam-se das curvaturas desejadas. Além disso, devido à geometria associativa, parâmetros e ações adicionais podem ser definidos, ge-rando um modelo paramétrico relacional que responde a vários aspectos arquitetônicos e geométricos;

- A superfície do Aeroporto de Beijing, ao parecer mais complexa do que realmente é e por poder ser facilmente representada, tem potencial para ativar a visualização espacial dos estudantes e facilitar a inserção da análise, identificação e explicitação de outros tipos de geome-trias complexas da arquitetura contemporânea, especialmente as definidas matematicamente. Considera-se com isso a possibilidade de uma maior generalização dos conceitos apresentados a outros problemas de projeto e representação de superfícies.

Os principais resultados da análise realizada foram: uma maior compreensão sobre os termos e descrições apresentados pelos autores que se dedicam a fazer análises da arquitetura contemporânea sob o aspecto geométrico; a integração entre os saberes científicos, profssionais e de ensino; e a possibilidade de inserção e aplicação didática em disciplinas de projeto de arquitetura das técnicas de geração de geometrias complexas pela modelagem para-métrica.

Conclusáo

O presente estado tratou de desenvolver um processo analítico com o objetivo de explicitar os elementos geométricos envolvidos no tipo de superfície que conforma a cobertura do Aeroporto de Beijing na China. Foi possível identificar que apesar desta superfície possuir urna con-figuragáo visual complexa, ela é gerada a partir de urna superfície curva simples, que pertence á classe tradicional de superfícies sistematizadas na geometría descritiva. Possui desta maneira, um processo de descrigáo que está amparado em conceitos fundamentáis da geometría, envol-vendo a representagáo de curvas do tipo circunferências e a geragáo por transformagao geométrica de circunvolugao em torno de um eixo. Isto está diretamente associado ao fato de esta superfície poder ser construída com técnicas consuntivas racionáis. Além disso, em termos didáticos, esta superfície do aeroporto foi identificada como estratégica quanto á insergáo no ensino de arquitetura dos saberes da geometría complexa da arquitetura contemporánea e da modelagem paramétrica, por ter urna confguragáo definida por urna classe tradicional de superfícies curvas e por conceitos fundamentáis de geometría plana e espacial. Tendo um significado funcional, a característica de dupla curvatura desta superfície é resultado de suas condigões de geragáo. A racionalidade de seu processo de geragáo e de construgáo é outra característica importante para o projeto de arquitetura, trazendo elementos concretos para a exploragáo da forma e para propor solugões que priorizem economia e racionalidade no emprego dos materiais e máo de obra na construgáo.

Todos os atributos citados de tal geometría não são claramente visíveis, exigindo que haja um estado mais profundo para conhecer o tipo de geometría que conforma urna determinada obra de arquitetura.A TAD, teoría didática adotada neste trabalho, ao fornecer um modelo de análise para explicitar o saber envolvido em tais geometrías, possibilita compreender como este saber se constitui. A geometría aqui analisada possui tal estrutura de saber constituída a partir: do conceito e distingáo entre superfícies de revolugáo e de circunvolugão; do tipo de geratrizes e diretrizes da superfície; do processo de geragáo da superfície; das técnicas de geragáo que se associam a tal processo de geragáo; e das tecnologías que disponibilizam tais técnicas de geragáo, e as quais também possuem elementos justificativos e explicativos para que tais técnicas possam ser desenvolvidas. A clareza sobre estes elementos do saber possibilita desenvolver e estruturar momentos didáticos com objetivos mais ampios, tais como para: pro-cessos de ensino e aprendizagemda representagáo gráfica da geometría; processos criativos envolvidos em atividades de projeto. Tais momentos didáticos exigem principalmente a refexáo dos estudantes sobre os processos projetuais de arquitetos reconhecidos que empregam geometrías complexas e a autorrefexáo dos estudantes sobre os seus próprios processos projetuais.

Dado o caráter intuitivo do projeto de arquitetura, considera-se que tal abordagem didática contribui de ma-neira significativa para auxiliar os estudantes a terem maior clareza sobre suas escolhas e proposigões de projeto, no sentido de selecionar ou até mesmo refutar tais geometrías como elemento de concepgao projetual.

Outra questão é a proposta de trazer para o contexto didático exploragões geométricas amparadas em atividades de projeto que explicitem todos os elementos de saber que envolvem tais geometrías, para que seu emprego ou não no projeto se concretize de modo consciente e não por meio de urna abordagem limitada. A partir de tais atividades é possível exemplificar concretamente aos estudantes quais tipos de geometrías complexas tem potencial qualitativo e porque arquitetos contemporáneos empregam estas em seus projetos. Tais explicagões e elementos de saber não são estudados em geral nos cursos de arquitetura. Devido principalmente ás abordagens contemporáneas de projeto que buscam conformar geometrías mais livres (denominadas de paramétricas), ñas quais na maioria das vezes não há um controle sobre o tipo de geometría que está sendo configurada, há um receio por parte de educadores que os estudantes acabem propondo projetos exclusivamente formáis sem haver justificativas para tal e um entendimento do que representam de fato estas estaturas. Considera-se que este estudo pode ter um papel importante para urna mudanga neste pensamento em relagáo á educagáo em arquitetura.

No contexto em que este trabalho se insere, o en-sino da representado gráfica digital para o projeto de arquitetura,este tipo de proposta didática já está sendo adotada, com resultados que podem ser considerados positivos, tanto em termos de um maior interesse, clareza e significado para as atividades de representado (por meios tradicionais e por meios digitais) quanto para introduzir estudos mais avanzados ñas disciplinas de projeto, relativos á arquitetura contemporánea.

Além disto, a explicitagáo das estaturas de saber que envolvem esta superfície possibilitou esclarecer alguns conceitos apresentados nos autores de referência e principalmente permitiram reconhecer a limitacáo de algumas descricoes dos mesmos autores. Isto traz para o contexto de arquitetura urna maior clareza do vocabulário que envolve a forma geométrica e seus processos de geragáo e modelagem.Esta nogáo de vocabulário geométrico é bastante discutida entre os educadores da área, desde que não existe urna abordagem única na adogáo de tal vocabulário, pela própria característica interdisciplinar da disciplina arquitetura. Neste caso, o vocabulário (sua amplitude ou limitagáo) irá também infuenciar no processo de ensino, sendo a rede de conceitos aqui desenvolvida urna estatura de apoio áampliagáo de tal vocabulário.

A conclusáo do estudo desenvolvido é que a ex-plicitagáo dos elementos de saber da geometría e da

matemática, específicos de formas complexas, contribui para o entendimento destas em seus aspectos qualitativos e representacionais, como por exemplo,a modelagem e a proposição de formas semelhantes gerando a possibilidade de uso em projetos autorais. No entanto, o processo em si, de como modelar, exige a análise e a explicitação do saber e isto é o que a teoria didática adotada nesta pesquisa enfoca em seu princípio, ou seja, o processo de projeto de tais superfícies para arquitetura é totalmente dependente e um refexo do saber que as envolvem.

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Recibido: 19/07/2018. Aprobado: 01/10/2018.