1. Introducción

El concepto de verdad ha sido estudiado de manera profunda a lo largo de la historia de la filosofía. Sin embargo, no fue hasta el siglo pasado cuando en 1933 Tarski intentó por primera vez utilizar métodos formales a los fines de construir lo que conocemos como una “teoría de la verdad” (^{Tarski, 1983}). También fue Tarski quien notó que cualquier teoría formulada en lógica clásica y lo suficientemente expresiva para representar su propia sintaxis (una teoría aritmética débil) es incapaz de representar mediante un predicado su propio concepto de verdad. La razón de ello es que, para hacerlo, dicho predicado debería satisfacer algunos principios tales como el Esquema-T¹, lo que lleva a paradojas.

La solución que muchos filósofos y lógicos han encontrado para solucionar este tipo de problemas ha consistido en formular teorías de la verdad utilizando como lógica de base una lógica no clásica y, de esta manera, incorporar las paradojas dentro de las teorías sin que estas últimas sean triviales. En los últimos años, el foco de estudio se ha posado sobre las teorías de la verdad basadas en lógicas subestructurales. Estas lógicas se caracterizan por el rechazo o restricción de alguna regla estructural, es decir una de aquellas reglas que estipulan las propiedades de la noción misma de consecuencia lógica. Las propuestas más comunes basadas en presentaciones en cálculos de secuentes consisten en el abandono de la regla de corte y de contracción, mientras que más recientemente también ha sido propuesto el abandono de reflexividad y de monotonía.

Algunos teóricos han ido un paso más allá en este sentido y han afirmado que de hecho alguna de estas reglas estructurales es la culpable de las paradojas. No solo eso, las derivaciones de las paradojas han sido utilizadas como evidencia de su culpabilidad. En este artículo, siguiendo algunas consideraciones vertidas por Hjortland (²⁰¹⁷), discutiremos esta metodología acentuando el hecho de que no es tan simple distinguir entre reglas que están siendo aplicadas de manera explícita en una derivación de aquellas que lo están haciendo implícitamente. Llamaré a este el problema de la dependencia de las soluciones subestructurales del marco en el que se presentan. Luego, mostraré en qué sentido este es un problema para las soluciones subestructurales y en qué sentido no lo es.

A los fines de llegar a ese punto, el artículo se estructura de la siguiente manera. En la Sección 2 presentaré un cálculo de secuentes para la lógica clásica y mostraré cómo las paradojas pueden ser derivadas formalmente. En la Sección 3, introduciré las principales soluciones subestructurales a las paradojas semánticas. En la Sección 4, en el mismo sentido que Hjortland (²⁰¹⁷), desarrollaré el problema de la dependencia, esto es cuán dependiente son las soluciones subestructurales de las características generales de los cálculos en los que se presentan, en particular de la formulación de las reglas operacionales. A los fines de enfatizar esta dependencia, diseñaré un cálculo de secuentes que no exhibe de manera explícita ninguna regla estructural y sin embargo es trivial una vez que se le agrega el predicado veritativo. Luego, evaluaré si esta dependencia es un problema para dichas soluciones y desplegaré algunas líneas de respuesta. Finalmente, en la Sección 5 finalizaré con algunas conclusiones.

2. Lógica clásica y paradojas

Como hemos mencionado, del trabajo de Tarski se desprende que una teoría de la verdad clásica debe restringir las reglas de predicado veritativo. Lo que haremos ahora es presentar formalmente las paradojas. A lo largo de este artículo evitaremos la apelación a la semántica y nos restringiremos a las presentaciones en teorías de la prueba (en particular, en cálculos de secuentes), dado que las teorías subestructurales son en su mayoría presentadas de esta manera.² Un cálculo de secuentes (^{Avron, 2003}) sobre un lenguaje L es un sistema axiomático formulado sobre secuentes, no sobre fórmulas. Un secuente, por su lado, es un objeto de la forma Γ ⇒ ∆, donde Γ,∆ son multiconjuntos³ de fórmulas⁴ y ⇒ es un símbolo que no pertenece al lenguaje objeto.

Definición 1. Sean Γ, ∆ multiconjuntos finitos de fórmulas y sean φ,ψ dos fórmulas. El cálculo S_CL es definido por las siguientes reglas

Reglas estructurales 

Reglas operacionales  

donde φ^At es una oración atómica. Como es usual, el cálculo S_CL es correcto y completo para la lógica clásica. Un condicional es definible a partir de las reglas de la negación y de la disyunción como es usual:

Lo que haremos ahora es construir una teoría de la verdad extendiendo este cálculo. En particular dado que estamos interesados en teorías de la verdad necesitamos conseguir autorreferencia. Para lograrlo, evitaremos apelar a aritmética, dado que eso haría más complejo el trabajo de lo que necesitamos para mostrar el punto de la dependencia de las lógicas subestructurales en sus presentaciones en cálculos de secuentes. Entonces, extenderemos el lenguaje proposicional L con un predicado Tr y un conjunto denumerable de constantes. Este nuevo lenguaje será llamado L⁺⁵. Cada constante que hemos agregado al lenguaje referirá a una y solo una fórmula del lenguaje L⁺ y mediante el método de función auxiliar desarrollado en ^{Beall, Glanzberg y Ripley ( 2018}) y en Ripley (²⁰¹⁴), tomaremos dichas funciones que generan oraciones paradójicas. En lo que sigue, ⎡φ⎤ será usada como el nombre de φ, y Tr(⎡φ⎤) significará que la oración φ es verdadera.⁶

Una vez que hemos enriquecido el lenguaje L y construido el lenguaje L+, nos gustaría que el predicado de verdad agregado satisficiera ciertas reglas que capturen la noción ingenua de verdad, es decir su comportamiento en el lenguaje natural. Siguiendo la tradición, (e.g. ^{Beall, 2009} y ^{Beall, Glanzberg, & Ripley, 2018}) tomaremos la noción de transparencia como la propiedad que un predicado de verdad apropiado debe satisfacer. En términos de reglas, la idea es que se garantice la intersustitutividad de una oración por su predicación de verdad en todo contexto no opaco, es decir de la oración φ por la oración Tr(⎡φ⎤). Así, recordando los ejemplos tradicionales, la transparencia nos permite reemplazar la oración The snow is white por la oración ‘The snow is white’ is true, siempre que estemos evaluando su contenido semántico en contextos no problemáticos. Formalmente,

Definición 2. Sea S_CLTT el cálculo resultante de agregar a S_CL, sobre L⁺, las siguientes dos reglas ⁷:

Definimos la teoría CLTT como el conjunto de secuentes derivables a partir del cálculo S_CLTT. Así, tenemos una teoría clásica de la verdad aparentemente muy débil⁸. Sin embargo es lo suficientemente fuerte como para derivar cualquier secuente. Es decir, es trivial.

Observación 3. CLTTes trivial.

Prueba. Una vez que admitimos que ciertas oraciones paradójicas pueden ser expresadas en la teoría es posible derivar una contradicción. Por ejemplo, tomemos la oración del mentiroso, i.e. una oración que dice de sí misma que no es verdadera: λ equivalente a ¬Tr( ⎡λ⎤). Si tenemos esta oración en el lenguaje entonces podemos construir la siguiente derivación en S_CLTT ⁹:

con Γ y ∆, dos multiconjuntos cualquiera de fórmulas.

Esta es una derivación de la famosa paradoja del mentiroso. De dicha derivación se puede observar que además de las reglas para la negación y para el predicado veritativo, todas las reglas estructurales han sido aplicadas.

Hay otra célebre paradoja semántica que ya no incluye el uso de la negación sino del condicional¹⁰: la paradoja de Curry. Supongamos que hay una oración κ, equivalente a Tr(⎡κ⎤) → γ, donde γ es una oración arbitraria del lenguaje.¹¹ Entonces, podemos construir una prueba de trivialidad como sigue:

con Σ, un multiconjunto arbitrario de fórmulas y Γ algún multiconjunto de fórmulas que contenga a γ. Como en el caso de la derivación de la paradoja del mentiroso, aquí también todas las reglas estructurales han sido aplicadas, junto con las del condicional y las del predicado veritativo.

Así, muchos autores a los fines de evitar estas derivaciones han optado por no modificar las reglas del predicado veritativo, sino restringir o abandonar alguna de las reglas estructurales del cálculo S_CL (o cálculos equivalentes) y así adoptar una sublógica de la lógica clásica.¹² Estas son las llamadas teorías subestructurales de la verdad. En la sección siguiente, mencionaremos y describiremos someramente algunas de ellas.

3. Las soluciones subestructurales

Las soluciones subestructurales a las paradojas semánticas consisten en el abandono de alguna (o algunas) de las reglas estructurales. En este sentido, como hemos visto hay cuatro reglas estructurales: reflexividad, corte, contracción y monotonía.

Entre quienes proponen el abandono de la regla de contracción, se destacan: Mares y Paoli (²⁰¹⁴), Shapiro (²⁰¹¹), Brady (²⁰⁰⁶), Murzi y Shapiro (²⁰¹⁵), Weber (²⁰¹⁴), Caret y Weber (²⁰¹⁵), Zardini (²⁰¹¹, ²⁰¹³, ²⁰¹⁴), y más recientemente, Rosenblatt (²⁰¹⁹). En estos enfoques, usualmente las siguientes derivaciones λ,λ ⇒ y ⇒ λ,λ están permitidas, pero dado que contracción está ausente, no es posible derivar de dichos secuentes λ ⇒ ni ⇒ λ.

Por otro lado, se encuentran aquellos teóricos que propusieron el abandono de la regla de corte, entre quienes podemos mencionar a Weir (²⁰¹³), Tennant (²⁰¹⁵), Cobreros et al. (²⁰¹², ²⁰¹³) y Ripley (²⁰¹²). En particular ^{Cobreros et al.} y Ripley proponen la adopción de la lógica ST y consideran que la regla de corte no es correcta en contextos en los que hay vocabulario semántico (y también vocabulario vago). Así, por ejemplo, en algunas circunstancias los autores mencionados aceptan la derivación de dos secuentes tales como φ ⇒ ψ y ψ ⇒ γ, pero rechazan que de ellos se pueda derivar el secuente φ ⇒ γ.¹³ Un hecho interesante respecto de las teorías basadas en la lógica ST es que es posible derivar todos los secuentes clásicos, esto es ST coincide inferencialmente con la lógica clásica. Esto se debe a que la lógica ST es presentada desde un punto de vista de teoría de la prueba como el cálculo resultante de eliminar la regla de corte del cálculo LK para la lógica clásica, presentado por Gentzen. Como resultado del célebre teorema de eliminación de corte, el famoso Hauptsatz, todo secuente derivable en LK puede ser probado sin utilizar la regla de corte. Sin embargo, una vez que se agrega un predicado de verdad, ambos sistemas obviamente difieren (véase ^{Ripley, 2012} o ^{Cobreros et al., 2013}).

En tercer lugar, French (²⁰¹⁶), Fjellstad (²⁰¹⁵), Nicolai y Rossi (²⁰¹⁸) y Schroeder-Heister (²⁰¹², ²⁰¹⁶), entre otros, han propuesto el abandono de la regla de reflexividad, el único axioma del cálculo de secuentes. En particular, French propone la adopción de la lógica TS. En el cálculo para TS, obviamente al no haber axiomas ningún secuente es derivable. En particular, λ ⇒ λ no es derivable.

Finalmente, más recientemente Da Ré (²⁰²⁰) ha propuesto la adopción de una lógica no monotónica a los fines de lidiar con vocabulario semántico. En particular, en dicha lógica las demás reglas estructurales son aceptadas y, por lo tanto, una vez que agregamos oraciones paradójicas tenemos una derivación del secuente vacío. Sin embargo, dado que las reglas de monotonía no son admisibles no es posible construir una derivación a partir de dicho secuente a los fines de trivializar la teoría.

Habiendo esquemáticamente esbozado (o en algunos casos simplemente mencionado) las principales soluciones subestructurales a las paradojas, estamos en posición de presentar el problema de la dependencia de dichos enfoques. Antes de ir hacia eso, es importante realizar la siguiente aclaración: el problema que aquí presentaremos solo se aplica a aquellas soluciones que son planteadas utilizando cálculos de secuentes, quedando exentas todas aquellas propuestas que son presentadas semánticamente.¹⁴

4. La dependencia de las soluciones subestructurales

Como hemos mencionado, las soluciones subestructurales a las paradojas surgen como rivales a las soluciones estructurales, esto es las soluciones que no modifican ninguna regla estructural, sino únicamente reglas operacionales. Usualmente, las soluciones subestructurales son presentadas mediante un cálculo de secuentes de forma tal que, en dichos sistemas, alguna regla estructural es restringida o abandonada. En otras palabras, aquellos que adoptan soluciones subestructurales, en general, argumentan que sus soluciones modifican alguna regla estructural, pero conservando las reglas operacionales. Sin embargo, en el mismo sentido que lo ha marcado Hjortland (²⁰¹⁷)¹⁵, considero que no se ha hecho suficiente hincapié en el siguiente punto: toda solución subestructural impone restricciones sobre las reglas operacionales. En otras palabras, no existen las soluciones subestructurales puras. No slo eso, además, las soluciones subestructurales están esencialmente relativizadas al cálculo de secuentes en el que se presentan. Esto es lo que llamaremos el problema de la dependencia de las soluciones subestructurales. A continuación, ahondaremos en este problema. Luego, delimitaremos dicho problema y discutiremos en qué sentido puede ser disuelto. Comencemos, entonces con una cita que encontramos en la bibliografía, pero creemos representativa. Dutilh Novaes y French (²⁰¹⁸, p.143) argumentan: “Left Weakening… is not discussed in the recent literature on substructural approaches to paradox, as it does not play a prominent role in typical derivations of the Liar, Curry etc.”. Dejando de lado el contenido de dicha afirmación, lo que nos gustaría enfatizar es el hecho de que los autores toman la idea de typical derivations (derivaciones típicas) como evidencia de la presencia o ausencia de alguna regla estructural en algún razonamiento paradójico. Este criterio metodológico omite el hecho de que una regla estructural (o alguna instancia de ella) puede ser absorbida por reglas operacionales.

A los fines de ilustrar este punto, recordemos la distinción entre reglas aditivas y reglas multiplicativas. Una vez que monotonía y/o contracción no son admisibles en un cálculo de secuentes, podemos formular de diversas maneras las reglas operacionales para los conectivos. Las dos formas más usuales son mediante reglas aditivas y mediante reglas multiplicativas. Comencemos con las dos reglas para ⊗:

donde ⊗ es el símbolo para la conjunción multiplicativa. Por otro lado, podríamos tomar las reglas (aditivas) que hemos presentado para la conjunción (∧) en el cálculo S_CL (véase Sección 2):

y la regla a la derecha:

Así, tanto ∧ como ⊗ son solo dos símbolos diferentes para representar la conjunción. En lógica clásica, ambos pares de reglas son interderivables y por lo tanto no es relevante cuál de ellos elijamos a la hora de formular un cálculo. Esto es así dado que una vez que monotonía y contracción están presentes tenemos las siguientes derivaciones (asumiendo las reglas de la izquierda correspondientes):

Lo mismo podríamos probar para las reglas aditivas y multiplicativas de introducción de la conjunción a la izquierda.

Sin embargo, una vez que monotonía y/o contracción están ausentes la manera en la que formulamos las reglas deviene relevante, dado que ello implicará cuánto de las reglas estructurales mencionadas estaremos absorbiendo. Por ejemplo, la regla a la derecha correspondiente a ∧ absorbe contracción, mientras que ⊗ absorbe monotonía.

No solo eso, podríamos inclusive presionar más el punto al tomar una formulación mixta de las reglas de los conectivos. Por ejemplo, consideremos las siguientes reglas (aditivas) a izquierda:

y la regla (multiplicativa) a la derecha:

Con Corte^M16 y reflexividad, estas reglas son suficientes para recuperar monotonía a la izquierda como regla derivable:

Cabe destacar que en la anterior derivación, asumimos que Δ es no vacío, por lo que en rigor probamos algo más débil que la derivabilidad de monotonía a izquierda. En el caso que Δ fuera vacío, si no tuviéramos más reglas que las reglas de la conjunción presentadas, monotonía a izquierda sería admisible, aunque no derivable.¹⁷ Consideraciones simétricas (apelando a reglas duales) pueden realizarse para recuperar la regla de monotonía a derecha.

Por otro lado, si formulamos las reglas mixtas para la conjunción de una manera dual, recuperamos la regla a la izquierda de contracción. Consideremos las siguientes reglas:

donde la regla a la izquierda es multiplicativa, mientras que la regla de la derecha es aditiva. Con Corte^M, podemos derivar la regla izquierda de contracción¹⁸:

Respecto de la regla derecha, una derivación similar puede ser presentada.

Así, lo que estos ejemplos muestran es que no es inocente la manera en que las reglas operacionales son formuladas en cálculos que pretenden ser utilizados para desarrollar teorías subestructurales. Hasta aquí, podría pensarse que estas relaciones son abstractas. Sin embargo, a continuación lo ilustraremos con una derivación. Tomemos la derivación de la paradoja del mentiroso presentada en la Sección 2. Luego de la derivación, hemos afirmado que todas las reglas estructurales son aplicadas en dicha derivación. Sin embargo, consideremos la siguiente derivación alternativa de la paradoja en S_CLTT, donde contracción no es aplicada explícitamente. Primero, derivamos ⇒ Tr( ⎡λ⎤):

Luego, probamos Tr(⎡λ⎤) ⇒:

Finalmente, aplicamos la regla de Corte^A y monotonía y podemos derivar cualquier secuente.

Así, tenemos una derivación de la paradoja del mentiroso que no hace uso de las reglas de contracción. Si consideráramos la cita de ^{Dutilh Novaes y French} que hemos presentado al comienzo de esta sección y asumiéramos que las derivaciones típicas de las paradojas en cálculos de secuentes fueran del tipo que he presentado anteriormente, entonces no habría evidencia en favor de que contracción está presente en los razonamientos paradójicos, lo cual contradice la tradición de teóricos no contractivos que hemos mencionado.

Por lo tanto, creo que el hecho de que una regla estructural como contracción participe de manera esencial de un razonamiento paradójico no debería depender de una derivación particular de dicha paradoja en un cálculo específico. En este sentido, aun cuando contracción no esté siendo aplicada de manera explícita en la derivación, un teórico no contractivista podría argumentar que de hecho contracción está siendo aplicada, solo que de manera implícita al utilizar reglas aditivas para las conectivas y la regla de corte con contextos compartidos. En otras palabras, no es evidencia para determinar que una regla estructural no está presente en un razonamiento paradójico el hecho de presentar una derivación de dicha paradoja. En este caso, las reglas aditivas y de contexto compartido absorben suficiente contracción como para que no sea necesario aplicar explícitamente dicha regla en la derivación de la paradoja. Esto pareciera ser particularmente problemático para las reglas de contracción y de monotonía. Sin embargo, estas consideraciones pueden ser extendidas a las teorías no transitivas y no reflexivas. Los teóricos no reflexivos usualmente rechazan el agregado de axiomas¹⁹ mientras que los teóricos no transitivos tienden a rechazar reglas de eliminación²⁰.

En pocas palabras, lo que he mostrado hasta aquí es que las soluciones subestructurales a las paradojas, cuando son presentadas mediante un cálculo de secuentes, son sensibles a la manera en la que son formuladas las reglas para los conectivos.

A continuación, ilustraré aún más este punto presentando un cálculo en el cual ninguna regla estructural está explícitamente formulada y que, sin embargo, una vez intentamos construir una teoría de la verdad deviene trivial. Comencemos con una lógica M definida como el conjunto de secuentes derivables por el siguiente cálculo.

Definición 4. Sean Γ, ∆, Π, y Σ multiconjuntos finitos de fórmulas y sean φ y ψ dos fórmulas de L. El cálculo S_M consiste en las siguientes reglas:

En primer lugar, cabe resaltar que el cálculo así presentado no contiene de manera explícita ninguna regla estructural. De hecho, dado que reflexividad en particular no está presente el conjunto de secuentes derivables es vacío. En segundo lugar, la regla mMP por meta Modus Ponens²¹ es una regla de eliminación para el condicional²².

Por lo tanto, si las reglas estructurales fueran las culpables de las paradojas, al estar ausentes en este cálculo, podríamos construir una teoría de la verdad no trivial sobre él. Sin embargo, agregar un predicado de verdad transparente y una oración paradójica con sus axiomas es suficiente para trivializar la teoría.

Definición 5. Sean Γ, ∆, Π, y Σ multiconjuntos finitos de fórmulas y sean φ y ψ dos fórmulas de L⁺. El cálculo S_MTT consiste en agregar a S_M las reglas LTr yRTr (véase Definición 2) y los siguientes axiomas:

donde κ es la oración de Curry definida en la Sección 2, i.e. una oración que es equivalente a Tr(⎡κ⎤) ⊸ γ, donde γ es cualquier oración que no quisiéramos probar en la teoría.²³

Así, las reglas del cálculo S_MTT consisten en las reglas de S_M, más las reglas del predicado veritativo y los axiomas de la oración de Curry, representando la idea de que la teoría puede lidiar con oraciones paradójicas. Esto es suficiente para trivializar la teoría, como veremos a continuación. Sea D₀ la siguiente derivación:

De D₀, podemos obtener D₁ :

y juntando ambas derivaciones podemos derivar γ:

dado que γ es arbitraria, podríamos derivar cualquier oración del lenguaje L⁺. Por lo tanto la teoría resultante no es adecuada para lidiar con vocabulario semántico.²⁴ Sin embargo, ninguna regla estructural ha sido utilizada en la derivación de manera explícita.

¿Es este un problema para las soluciones subestructurales? Veamos el siguiente razonamiento: si chequear que una regla estructural no es aplicada en una derivación fuera evidencia para argumentar que dicha regla no es la culpable de los razonamientos paradójicos, dado que hemos mostrado que hay derivaciones en las que ninguna regla estructural es aplicada, la conclusión sería que ninguna regla estructural es culpable de dichos fenómenos.²⁵ Sin embargo, lo que creo que debe desprenderse de este análisis no es la conclusión del anterior razonamiento, sino la falsedad de una de sus premisas, esto es el carácter evidencial de la aplicación explícita de reglas en las derivaciones. En este sentido, creo que todas las reglas estructurales están presentes en todas las derivaciones de paradojas, solo que, dependiendo del sistema de prueba y la formulación de las reglas del cálculo, algunas lo están de manera explícita, mientras que otras se encuentran absorbidas en la formulación de las otras reglas del cálculo. En otras palabras, no hay razones lógicas para señalar a una regla estructural en particular como la culpable de una derivación de una paradoja semántica, sino que todas las reglas estructurales están en mayor o menor medida asumidas en la formulación de las reglas del cálculo en el que dicha derivación es llevada a cabo.²⁶ Sin embargo, esto no implica que de hecho no haya una (o más de una) regla que sea la culpable de los razonamientos paradójicos. Puesto en otros términos, el hecho de que las derivaciones particulares en cálculos de secuentes específicos no sean evidencia para mostrar la preponderancia de una solución subestructural por sobre otra no implica que no exista otro tipo de evidencia que permita dirimir esta disputa (sobre esto volveremos más abajo). En última instancia, podemos recordar la afirmación de Ripley (^2015b, p. 310): “Rather than rushing from paradox to paradox making ad hoc modifications, these substructural approaches grapple with the paradoxes where they live: in the basic features of argumentation”.

Este párrafo resume por qué las soluciones subestructurales han sido tan estudiadas y por qué son superaciones de las soluciones puramente operacionales: permiten dar una solución unificada a una gran variedad de paradojas, apuntando al núcleo mismo del razonamiento, esto es a la noción de consecuencia lógica. Sin embargo, como hemos mostrado, el hecho de que un determinado formalismo logre dar cuenta de un variopinto abanico de razonamientos clásicamente problemáticos, no es suficiente para explicar, en un sentido más sustantivo, cuál es el rol que dicha regla estructural juega en dichos razonamientos. Puesto en otros términos, aun cuando aceptáramos cuáles son las reglas formales que debe obedecer un predicado problemático, como el predicado veritativo, y además aceptáramos que en las derivaciones de las paradojas se aplica una determinada regla estructural, ello sin embargo no sería suficiente para afirmar que la culpable de dicha derivación o de dicho razonamiento problemático sea esa regla y no cualquier otra.

En esta línea de pensamiento, creo que todas las soluciones subestructurales están, desde un punto de vista formal, en igualdad de condiciones. En otros términos, dado que cualquier derivación paradójica puede ser bloqueada mediante el abandono de cualquier regla estructural, no existen razones puramente formales para afirmar la superioridad de una solución subestructural por sobre otra. Esto, sin embargo, como se mencionaba anteriormente, no implica que no haya otro tipo de razones que permitan dirimir la disputa. Muy esquemáticamente, podríamos decir que hay razones conceptuales y razones experimentales a considerar.

Respecto de las razones que he llamado conceptuales, es importante señalar que una solución a una paradoja requiere, además del formalismo, una interpretación del fenómeno paradójico que vaya de la mano con el abandono de la regla estructural en cuestión en el contexto paradójico. Esto es, además del bloqueo formal de la derivación paradójica, una solución satisfactoria a una paradoja debe traer consigo una respuesta a la siguiente pregunta: ¿por qué tal regla estructural (la que sea que se esté considerando) juega un papel en el razonamiento paradójico? Es decir, ¿por qué esa regla debería fallar en dichos contextos? En otros términos, no es suficiente con mostrar que si fallara entonces la derivación no se seguiría, sino que hay que proveer razones que justifiquen su falla. En este sentido, las soluciones no contractivas y no transitivas tienen cierta ventaja respecto de sus rivales no monotónicas y no reflexivas. Entre otros, Rosenblatt (²⁰¹⁹) realiza un compendio de las diversas interpretaciones filosóficas esgrimidas en la bibliografía que justifican el abandono de contracción en el contexto de paradojas. Respecto de las soluciones no transitivas, puede consultarse a Ripley (²⁰¹²). Además, Ripley (^2015b) desarrolla una comparación detallada entre estos dos tipos de soluciones. Entonces, la comparación y la evaluación de los argumentos que justifican la falla de una regla estructural en un contexto paradójico es una de las estrategias para decidir entre distintas soluciones subestructurales.

Por otro lado, se encuentran las razones empíricas o experimentales que podrían aportar evidencia en favor o en contra de una determinada solución subestructural. Como es bien sabido, muchas de las soluciones subestructurales tienen como trasfondo una posición inferencialista. Esto es, muchos de los teóricos subestructurales se han comprometido con la tesis que afirma que el significado de las conectivas lógicas y de la noción de consecuencia lógica (y, por ende, las reglas de los cálculos) está basado en las prácticas inferenciales de los hablantes. Esto ha motivado la utilización de recursos experimentales que testean qué comportamientos tienen los hablantes en contextos paradójicos y cómo modelar formalmente dichos comportamientos (véase, por ejemplo, ^{Ripley, 2016} para una introducción general a la filosofía de la lógica experimental).

Si bien no he ahondado en este trabajo acerca de las paradojas de la vaguedad, las lógicas subestructurales se han propuesto y mostrado eficaces para enfrentar este tipo de razonamientos. En este sentido, se han desarrollado diversas líneas de investigación que explicitan las fallas de monotonía y de transitividad en relación con predicados vagos. Entre otros, podemos mencionar a Cobreros et al. (²⁰¹⁶), y también a Egré et al. (²⁰¹³) y Egré y Zehr (²⁰¹⁸). Obviamente, el área de filosofía experimental aplicado a lógicas subestructurales está en un estadio incipiente, por lo que no hay evidencia suficiente para destacar una solución subestructural por sobre las demás.

5. Conclusión

En este artículo hemos mostrado y enfatizado la algunas veces subestimada relación de dependencia que existe entre las soluciones subestructurales a las paradojas semánticas y las características del cálculo de secuentes en el que se presentan. En particular, nos hemos enfocado en la relación entre la formulación de las reglas operacionales y las reglas estructurales. De este análisis se desprende la necesidad de hacer hincapié en que las reglas estructurales pueden ser absorbidas en las reglas operacionales y que, por ende, la formulación de estas últimas no es inocente en este contexto.

Asimismo, hemos argumentado en contra de una metodología presente en la bibliografía que consiste en tomar como evidencia derivaciones particulares de paradojas en las que una regla estructural no es aplicada explícitamente, a los fines de mostrar que dicha regla no está involucrada en razonamientos paradójicos. Para ilustrar este punto, hemos presentado un cálculo en el que ninguna regla estructural se encuentra explícita en su formulación y que sin embargo es incapaz de lidiar con vocabulario semántico.

El presente análisis no tiene como intención sugerir la ineficacia o falta de pertinencia de las soluciones subestructurales. Muy por el contrario, si bien no hemos argumentado en este artículo en este sentido, creemos con Ripley (^2015b) que las soluciones subestructurales están en la ruta correcta dado que enfocan el fenómeno de la paradojicidad en los engranajes del razonamiento, esto es en las reglas que regulan la noción misma de consecuencia lógica. En este sentido, dado que se ha mostrado que para afirmar que una regla no está presente en una derivación de una paradoja, no es suficiente con chequear que dicha regla no se aplique explícitamente, sostenemos que la disputa sobre cuál es (si la hay) la regla responsable o culpable de los razonamientos paradójicos y cuál la teoría subestructural más adecuada para echar luz a estos fenómenos será saldada, en última instancia, en función de las interpretaciones filosóficas brindadas por la teoría sobre el fenómeno y de la adecuación de cada una de ellas a la evidencia empírica pertinente.