ARTÍCULOS ORIGINALES

¿Funciona la ley de equilibrio de hardy-weinberg en autopoliploides igual que en diploides?

Does the hardy-weinberg law of equilibrium work in autopolyploids as it does in diploids?

 

Núñez-Colín C.A.

Programa de Biotecnología, Universidad de Guanajuato, Mutualismo 303, Col. La Suiza, Celaya, Guanajuato, 38060, México.
email: carlos.nunez@ugto.mx

Fecha de recepción: 18/01/2017
Fecha de aceptación de versión final: 17/05/2018

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RESUMEN

La ley del equilibrio Hardy-Weinberg es la piedra angular de la genética de poblaciones y la genética cuantitativa; sin embargo, para su cálculo en autopoliploides hay que tener en cuenta que las frecuencias alélicas y gaméticas son diferentes, caso contrario que los diploides donde son iguales. Esto ocasiona que el cálculo de esta fórmula deba hacerse con las frecuencias alélicas o las gaméticas basadas en las alélicas, de otra forma se puede romper el equilibrio de la población y el sesgo que esto conlleva en cálculos de otras pruebas como los estadísticos F de Wright, la GST de Nei o modelos bayesianos que se basan en los desequilibrios que presentan las poblaciones. Por eso este ensayo desarrolla los modelos de un locus con dos alelos en genotipos autotetraploides y autooctoploides para poder realizar una generalización de la ley del equilibrio en poblaciones autopoliploides.

Palabras clave: Genética de poblaciones; Genética Cuantitativa; Cálculo de frecuencias genotípicas.

ABSTRACT

The law of equilibrium Hardy-Weinberg is the cornerstone of the population genetics and of the quantitative genetics; however, for its calculation in autopolyploids it is necessary take in account that the allelic and gametic frequencies are different, contrary to the diploids where they are the same. This causes that the calculations must be done with the allelic frequencies or gametic based on allelic frequencies. Otherwise the equilibrium is broken in the population and the bias that this entails in the calculation of other genetical test like Wright’s F statistics, the Nei’s GST or Bayesian models that are based on the disequilibrium that populations show. That is why in this work they developed models of one locus with two alleles in autotetraploid and autooctoploid genotypes to make a generalization of the law of equilibrium in autopolyploid populations.

Key words: Population Genetics; Quantitative Genetics; Genotype frequencies calculation.

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INTRODUCCIÓN

La genética es la ciencia del siglo XX, que se origina con el redescubrimiento de las leyes de Mendel (De Vries, 1900; 1902; Correns, 1900), originalmente publicadas en 1866 (Mendel, 1866) y que a partir de este punto empieza su estudio, pasando por la Teoría cromosómica de Thomas Morgan (Morgan et al., 1915) que dio el sustento biológico a las mismas. Sin embargo, la genética de poblaciones nace con un conocimiento muy especial al inicio de la genética como ciencia: la ley del equilibrio (Crow, 1988; 1999). Hardy (1908) y Weinberg (1908) de manera autónoma, lograron descifrar que el cuadrado de la suma de las frecuencias alélicas daba como resultado la suma de las frecuencias genotípicas, y que las frecuencias genotípicas segregaban exactamente las mismas frecuencias alélicas. No obstante, en un modelo diploide donde 2n=2x y los gametos son n=x, las frecuencias alélicas y gaméticas son idénticas debido a que hay un solo alelo por gameto (Haldane, 1930). Esto hace que exista confusión sobre lo que se está calculando en estudios con marcadores moleculares si es que se está calculando las frecuencias alélicas o gaméticas. En los autopoliploides estas son frecuencias diferentes, debido a que en el caso de los autotetraploides tenemos genotipos 2n=4x que segregan gametos n=2x, los autohexaploides genotipos 2n=6x que segregan gametos n=3x y los autooctoploides que presentan genotipos 2n=8x que segregan gametos n=4x y con sólo dos alelos por locus generan un mayor número de gametos y genotipos (Tabla 1).

Tabla 1. Número de gametos y genotipos en modelos de dos alelos por locus con diferentes niveles de ploidía.

Hoy en día la mayoría de los programas de análisis genético tienen programado la obtención de frecuencias alélicas basadas en el modelo del equilibrio HW con dos alelos, principalmente para marcadores denominados dominantes como los ISSR, RAPD, AFLP, entre otros (Yeh et al., 1999; Peakall y Smouse, 2012). No obstante, Dufresne et al. (2014) hacen una revisión del estado del arte sobre análisis de poliploides y uno de los principales conflictos es que el cálculo de las frecuencias alélicas es la adaptación del modelo diploide y no obtienen realmente frecuencias alélicas sino gaméticas, razón por la cual este ensayo tuvo como objetivo calcular el equilibrio Hardy-Weinberg (HW) en autopoliploides a partir de frecuencias alélicas y de frecuencias gaméticas y poder conocer los posibles errores que se cometen con los programas que calculan con unas u otras frecuencias; para hacerlo se utilizó el modelo de un locus con dos alelos con genotipos autotetraploides (genotipos 2n=4x y gametos n=2x) y en genotipos autooctoploides (genotipos 2n=8x y gametos n=4x). Hay que mencionar que estos cálculos son aplicables sólo para autopoliploides y deben omitirse aquellas ploidías con polisomías.

EQUILIBRIO HW EN UN MODELO DIPLOIDE

Numéricamente, el equilibrio HW se explica así en un modelo de un locus con dos alelos (A/a) en diploides, el alelo A tiene una frecuencia de p (pA) y el alelo a una frecuencia de q (qa) sabiendo entonces que p+q= 1 entonces:

Es decir, la suma de estas frecuencias gaméticas al cuadrado es igual a la suma de las frecuencias genotípicas. Al mismo tiempo sabemos que el genotipo AA sólo segrega gametos A al igual que el genotipo aa sólo segrega gametos a; mientras que el genotipo Aa segrega ½ de gametos con el alelo A y ½ con el alelo a, por tanto, para volver a obtener la frecuencia del gameto con el alelo A se procede de la siguiente manera:

De manera análoga se hace para el alelo a

Lo que demuestra que en apareamiento aleatorio y en ausencia de mutación, migración o selección, las frecuencias gaméticas, y por obvias razones las genotípicas, se mantienen de generación en generación y que sólo es necesario una generación en apareamiento aleatorio para obtener el equilibrio.

DESARROLLO DEL EQUILIBRIO HW EN UN MODELO AUTOTETRAPLOIDE

En un modelo autotetraploide de un locus con dos alelos (A/a) se pueden tener 5 genotipos diferentes: AAAA, AAAa, AAaa, Aaaa y aaaa y estos pueden segregar 3 gametos: AA, Aa y aa; en este sentido, se sigue la fórmula de la ley del equilibrio Hardy-Weinberg (equilibrio HW) suponiendo frecuencias gaméticas de p1, p2 y p3, respectivamente, se obtiene lo siguiente:

Como puede notarse existen dos combinaciones gaméticas que expresan el mismo genotipo: AA x aa y Aa x Aa dan como resultado el genotipo AAaa por lo que la expresión se reduce a

Ahora, los genotipos AAAA y aaaa sólo segregan gametos AA y aa, respectivamente; mientras que los otros tres genotipos pueden generar dos o los tres gametos por lo que se segregarán de acuerdo a sus combinaciones de 4 en 2,

Es decir, existen seis combinaciones, y si a cada genotipo se numera de acuerdo a sus combinaciones dará como resultado la frecuencia con la que segrega cada uno de los gametos (Tabla 2).

Tabla 2. Combinaciones gaméticas de genotipos tetraploides.

Lo que se traduce que el genotipo AAAA segrega sólo gametos AA, mismo caso de aaaa que sólo segrega gametos aa, mientras que el genotipo AAAa segrega ½ de gametos AA y ½ de gametos Aa y de manera análoga el genotipo Aaaa segrega ½ de gametos Aa y ½ de gametos aa. Sin embargo, el genotipo AAaa segrega de gametos AA, ⅔ de gametos Aa y de gametos aa.
Los gametos parecen estar en equilibrio como podemos constatarlo en la Tabla 2; sin embargo, al comprobar la frecuencia del gameto AA, ésta estaría calculada de la siguiente forma:

De manera análoga para el gameto Aa resulta

Y finalmente para el gameto aa resulta

Por lo que existe una desviación del equilibrio de del cual se resta del gameto heteroalélico y se suma la mitad de este factor a cada uno de los gametos homoalélicos.
Si vemos a este sistema desde la perspectiva de la frecuencia alélica, es decir, si vemos la frecuencia de pA y qa en el modelo autotetraploide (genotipos 2n=4x y gametos n=2x) tenemos lo siguiente:

Si seguimos el mismo principio para la asignación de las frecuencias gaméticas en base a las frecuencias alélicas de la siguiente generación, se tiene para el caso del gameto AA lo siguiente:

Para el gameto Aa se deriva de la siguiente manera:

Finalmente, para el gameto aa resulta lo siguiente:

Es decir, se mantiene el equilibrio siempre y cuando se utilicen las frecuencias gaméticas basadas en las frecuencias alélicas y también las frecuencias alélicas se mantienen en equilibrio considerando que el genotipo AAAA tiene sólo alelos A y aaaa tiene sólo alelos a, mientras que el genotipo AAAa tiene ¾ del alelo A y ¼ del alelo a y Aaaa tiene ¼ del alelo A y ¾ del alelo a y finalmente el genotipo AAaa tiene ½ de cada uno de los alelos. Por tanto, el cálculo de la frecuencia alélica para el alelo A es el siguiente:

De manera análoga para el cálculo de la frecuencia del alelo a es la siguiente:

Es decir, el equilibrio alélico, gamético y genotípico se mantiene siempre y cuando se estén utilizando las frecuencias gaméticas basadas en las frecuencias alélicas. De otra forma se estaría extrapolando un modelo diploide de un locus con alelos múltiples y con su obvio desequilibrio HW que eso conlleva.

DESARROLLO DEL EQUILIBRIO HW EN UN MODELO AUTOOCTOPLOIDE

En un modelo autooctoploide de un locus con dos alelos (A/a) se pueden tener 9 genotipos diferentes: AAAAAAAA, AAAAAAAa, AAAAAAaa, AAAAAaaa, AAAAaaaa, AAAaaaaa, AAaaaaaa, Aaaaaaaa y aaaaaaaa y estos pueden segregar 5 gametos: AAAA, AAAa, AAaa, Aaaa y aaaa; en este sentido, y al igual que en modelo autotetraploide; se sigue la fórmula de la ley del equilibrio HW suponiendo frecuencias gaméticas p1, p2, p3, p4 y p5, respectivamente, se obtiene lo siguiente:

Como puede notarse en este modelo existen varias combinaciones gaméticas que expresan el mismo genotipo: AAAa x AAAa y AAAA x AAaa dan como resultado AAAAAAaa; AAAA x Aaaa y AAAa x AAaa dan como resultado AAAAAaaa; AAAA x aaaa, AAAa x Aaaa y AAaa x AAaa dan como resultado AAAAaaaa; AAAa x aaaa y AAaa x Aaaa dan como resultado AAAaaaaa, y finalmente, AAaa x aaaa y Aaaa x Aaaa dan como resultado AAaaaaaa. Al igual que en el caso del modelo autotetraploide, los genotipos AAAAAAAA y aaaaaaaa sólo segregan gametos AAAA y aaaa, respectivamente, los otros genotipos pueden segregar dos o más de los cinco gametos posibles por lo que en este modelo los gametos de cada genotipo se pueden obtener con las combinaciones posibles.

Por lo que se muestra en la Tabla 3 las frecuencias con la que se manifiesta cada gameto en cada genotipo en este modelo autooctoploide.

Tabla 3. Proporción de la segregación de gametos a partir de genotipos octoploides en un modelo de un locus con dos alelos.

De manera análoga para el gameto AAAase deriva de la siguiente manera:

Por tanto, para obtener la frecuencia gamética del gameto AAAA se obtiene de la siguiente manera:

Para obtener la frecuencia del gameto AAaa resulta lo siguiente:

Mientras que para obtener la frecuencia del gameto Aaaa se obtiene de la siguiente manera:

Finalmente, la frecuencia del gameto aaaa se deriva de la siguiente manera:

Por lo que puede notarse el desbalance es bastante fuerte y complicado en los gametos e involucran todos los valores del equilibrio, principalmente los términos de los dobles productos y al menos dos términos al cuadrado; no obstante, cuando se suman todos los gametos esos desbalances se cancelan y al igual que en el caso del modelo autotetraploide hay desequilibrios que un gameto gana y es la suma de lo que pierden uno, dos o más gametos o viceversa uno pierde y los otros gametos ganan una proporción de esos desequilibrios (Tabla 4).

Tabla 4. Factores de desequilibrio de los cinco gametos en un modelo octoploide con dos alelos por locus.

Asimismo, se puede observar que el gameto heteroalélico AAaa es el que tiene mayor desbalance, seguido por los otros dos gametos heteroalélicos y en menor medida los dos gametos homoalélicos (Tabla 4).
Ahora, siguiendo el mismo principio que para el modelo autotetraploide se procede al cálculo del equilibrio basado en las frecuencias gaméticas basadas en las frecuencias alélicas, es decir, si vemos la frecuencia de pA y qa en el modelo autooctoploide (genotipos 2n=8x y gametos n=4x) tenemos lo siguiente: Si seguimos el mismo principio para la asignación de las frecuencias gaméticas en base a las frecuencias alélicas de la siguiente generación se tiene para el caso del gameto AAAA lo siguiente:

Para el gameto AAAa se deriva de la siguiente manera:

Ahora para el gameto AAaa se deriva de la siguiente manera:

Siguiendo con el gameto Aaaa se obtiene lo siguiente:

Finalmente, para el gameto aaaa se tiene lo siguiente:

Es decir, se mantiene el equilibrio siempre y cuando se utilicen las frecuencias gaméticas basadas en las frecuencias alélicas y también las frecuencias alélicas se mantienen en equilibrio considerando que el genotipo AAAAAAAA tiene sólo alelos A y aaaaaaaa tiene sólo alelos a, mientras que el genotipo AAAAAAAa tiene ⅞ del alelo A y ⅛ del alelo a y Aaaaaaaa tiene ⅛ del alelo A y ⅞ del alelo a, el genotipo AAAAAAaa ¾ del alelo A y ¼ del alelo a y AAaaaaaa tiene ¼ del alelo A y ¾ del alelo a, el genotipo AAAAAaaa tiene ⅝ del alelo A y ⅜ del alelo a y el genotipo AAAaaaaa tiene ⅜ del alelo A y ⅝ del alelo a finalmente el genotipo AAAAaaaa tiene ½ de cada uno de los alelos. Por tanto, el cálculo de la frecuencia alélica para el alelo A es el siguiente:

De manera análoga para el cálculo de la frecuencia del alelo a es la siguiente:

Al igual que en el caso anterior se mantiene el equilibrio HW, es decir, el equilibrio alélico, gamético y genotípico se mantiene siempre y cuando se estén utilizando las frecuencias gaméticas basadas en las frecuencias alélicas. De otra forma se estaría extrapolando un modelo diploide de un locus con alelos múltiples y con su obvio desequilibrio HW que eso conlleva.

DESARROLLO DE LA GENERALIZACIÓN DEL EQUILIBRIO HW

Como se habrá notado en los desarrollos anteriores el equilibrio HW se mantiene utilizando las frecuencias alélicas. Además, se pudo notar que al duplicar el nivel de ploidía, las frecuencias gaméticas de los autotetraploides son iguales a las frecuencias genotípicas de los diploides y las frecuencias gaméticas de los autooctoploides son iguales a las frecuencias genotípicas de los autotetraploides por lo que se puede resumir el cálculo de las frecuencias genotípicas del modelo de dos alelos por locus con las formulas expuestas en la Tabla 5.

Tabla 5. Fórmulas para el cálculo de frecuencias genotípicas a partir de las frecuencias alélicas modelo de dos alelos por locus en diferentes niveles de ploidía.

Esto significa que la suma de las frecuencias alélicas debe ser elevada al exponente del nivel de ploidía que se esté analizando y con esto se obtienen las frecuencias genotípicas y como se demostró anteriormente se alcanza el equilibrio HW.
Y se puede tomar la generalización de la fórmula del equilibrio HW desarrollada por Haldane (1930) y esta puede ser utilizada sin importar su nivel de ploidía ni el número de alelos mediante la siguiente expresión:

Donde k= número de alelos por locus y C= Nivel de ploidía.

Esto es válido siempre y cuando se trate de autopoliploides de reproducción sexual. Sin embargo, la dificultad es que para modelos multialélicos es difícil encontrar una única solución como si lo puede haber para diploides mediante la fórmula:

Debido a que los coeficientes son diferentes dependiendo de cuantos alelos tengan repetidos en el genotipo y cuantos sean diferentes, pudiendo tener uno, dos, tres o cuatro alelos diferentes, un autotetraploide y entre uno y ocho alelos diferentes un autooctoploide y hay que hacer el cálculo específico para cada uno de ellos. Por ejemplo, para el caso de un autotetraploide tendríamos que la generalización sería

Y para el caso de un modelo autooctoploide se derivaría lo siguiente

DISCUSIÓN

Como se pudo observar el equilibrio HW en autopoliploides debe ser calculado por métodos apropiados para no tener un desequilibrio por generalizar la estructura de un modelo diploide. Esto es importante porque muchos análisis genéticos se basan en el equilibrio HW, desde el cálculo de frecuencias genotípicas y heterocigocidad así como las pruebas F (FST, FIT y FIS) de Wright (Wright, 1949; 1965), el estadístico GST de Nei (1973) y los métodos bayesianos (Pritchard et al., 2000; Falush et al., 2003).
Haldane (1930) desarrolló las bases para la generalización de la ley del equilibrio HW para poliploides, las cuales también fueron revisadas y ampliadas por Wright (1938), Fisher y Mather (1942), Fisher (1941; 1943) y Little (1945). Más recientemente Moody et al. (1993) desarrollaron la teoría completa sobre el cálculo de varios parámetros genéticos en autotetraploides; desarrollos similares fueron obtenidos por Vargas (2000) también para tetraploides. No obstante, el asunto sigue siendo de interés por no generar aún los algoritmos para cualquier tipo de ploidía en los programas actuales de análisis genético (Dufresne et al., 2014).
La ley del equilibrio HW es una buena herramienta para estimar las frecuencias genotípicas, la heterocigocidad y ser el soporte de las otras pruebas genéticas antes mencionadas. Si se están calculando las frecuencias genotípicas de poliploides de manera incorrecta con el modelo diploide, entonces todos los cálculos de parámetros genéticos están sesgados, lo que puede traducirse en una mala interpretación de la genética de poblaciones propia para estas poblaciones poliploides, es decir, si su cálculo se hace con el modelo de ploidía adecuado entonces se puede mantener el equilibrio, si no se hace así y se generaliza el modelo diploide, lleva a tener un desequilibrio HW por hacer mal uso del modelo apropiado y no por desequilibrios que pueden darse de manera natural por mutación, selección o deriva genética (Stern, 1943).

AGRADECIMIENTOS

A la Universidad de Guanajuato por el financiamiento mediante el proyecto CIFOREA 012/2015. Asimismo, se agradece al PRODEP por el financiamiento mediante el proyecto DSA/103.5/15/7007.

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