La filosofía de la práctica matemática es un área interdisciplinaria de la filosofía aún en desarrollo, y aunque la misma cuenta con importantes investigadores de habla hispana, no se puede negar la falta de traducciones al español de textos escritos por figuras líderes en el área. Sin ninguna duda, Paolo Mancosu es una de esas figuras, tanto por sus contribuciones como por su militancia en favor de convertir un conjunto heterogéneo de estudios y abordajes sobre la matemática y la lógica en un área disciplinar con estatus propio. Gracias al coraje de Eduardo N. Giovannini, Gabriela Fulugonio, Federico Raffo Quintana y Sandra Visokolskis, hoy los hispanoparlantes cuentan con la traducción de una obra amplia en alcance, sumamente fecunda en observaciones interesantes y rigurosa en el modo de hacer interactuar matemática, historia de la matemática, lógica y filosofía. El li¬bro presenta una colección de artículos originalmente publicados en inglés, pero cuya reunión se editó originalmente en francés (Infini, logique, géométrie, Librairie Philosophique J.Vrin, 2015), y le valió el Prix Jean Cavadles 2018.

La parte I del libro (“Infinito, numerosidades y neologicismo”) cuenta con dos capítulos: “Midiendo el tamaño de colecciones infinitas de númer¬os naturales: ¿era inevitable la teoría de Cantor de número infinito?”, y “¿En buena compañia? Acerca del principio de Hume y la asignación de números a conceptos infinitos”. En el primero de ellos, Mancosu aborda, desde un punto de vista histórico, matemático y filosófico, alternativas para medir el “tamaño” de conjuntos infinitos. La forma usual de hacer esto es por medio de la definición cantoriana de “número cardinal”, según la cual dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y solo si pueden ser puestos en una correspondencia uno a uno, independientemente de cómo se haga tal cosa (CP). Esto hecha por tierra otra “intuición” especialmente presente cuando tratamos con conjuntos finitos, a saber: Si A es un subconjunto propio de B, entonces el tamaño de A es menor que el tamaño de B (PW). Desde la perspectiva histórica, Mancosu rastrea que PW recibe una adhesión por parte de los matemáticos no inferior a CP, tanto antes como después de Cantor (aunque sea CP lo que usualmente se toma como la “intuición” estándar). Es una mues¬tra de riguroso trabajo histórico lo que Mancosu hace en las secciones 1.1-1.5 para tal finalidad. Desde un punto de vista matemático, Mancosu se enfoca en la teoría de las numerosidades de V! Benci, M. Di Nasso y M. Forti (“Numerosities of Labelled Sets: A New Way of Counting”, Advances in Mathematics, 173: 50-67, 2003). Sin tecnicismos, esta teoría asigna cardinalidades a conjuntos infinitos por medio de una sumatoria parcial de las cardinalidades de subconjuntos finitos de las colecciones infinitas. El punto de Mancosu es que tenemos a disposición herramientas matemáticas para capturar PW en conjuntos infinitos. Filosófica¬mente, Mancosu objeta la célebre afir-mación de Godel (en “¿Qué es el problema del continuo de Cantor?” de 1947) de que la definición de Cantor es “inevitable”. Ciertamente esto es histórica y matemáticamente falso (i.e. existen alternativas matemáticas para capturar PW), pero Mancosu no toma en consideración el hecho de que Godel podría estar diciendo que CP ofrece apoyo “intrínseco” a la definición cantoriana. En tal caso, podría objetarse que, debido a que las numerosidades de conjuntos son sensibles al ultrafiltro empleado (como Mancosu señala en pp. 55, 105), PW no daría apoyo “intrínseco” a la definición de la función de numerosidad.

Aunque autónomo, el primer capí¬tulo es un excelente preámbulo para el segundo. Aquí Mancosu plantea una crítica (o “desafío”) al neologicismo: la crítica de “buenas compañías”. El punto de Mancosu es que existen una contable infinitud de principios de abstracción alternativos al Principio de Hume (PH), de iguales virtudes (estabilidad, no infla¬cionarios), a partir de los cuales pueden deducirse los axiomas de la aritmética de segundo orden, aunque sean lógica¬mente más débiles que HP. Estos son los “buenos compañeros” de PH. El aspecto filosófico del neologicismo consiste en sostener que PH es una verdad conceptual, por lo que el problema radica en evaluar el carácter “conceptual” o “analítico” de PH, que conduce, en virtud de la exis¬tencia de principios de abstracción alter¬nativos, a preguntarse por la naturaleza epistemológica del proyecto neologi- cista: ¿se pretende fundamentar PH (o un principio más débil) mostrando que está implícito en nuestros “razonamien¬tos aritméticos ordinarios”, o PH es “analítico”, o “explicativo” de un oper¬ador de cardinalidad, “#”, allende si el mismo subyace a nuestros razonamien¬tos aritméticos ordinarios? (p. 110). Mancosu presenta y discute diversas al¬ternativas (pp. 112-115): la liberal, según la cual la unicidad de PH no es relevante, pues lo importante es la existencia de “rutas a priori” para la aritmética de se¬gundo orden; la moderada, para la cual el PH finito es suficiente porque permite derivar la aritmética de segundo orden; y la conservadora, para la cual PH es único y, por lo tanto, se necesita responder al desafío de las “buenas compañías”. Esta clasificación, que parte de la observación de “buena compañía” es sumamente iluminadora (satisfaciendo los objetivos del autor), pero es importante notar que el problema real (p. 114) del proyecto neo- logicista parece entonces recaer sobre la identificación de aquello respecto de lo cual los principios de abstracción serían putativamente “verdaderos” (con¬ceptual o analíticamente): la(s) nociones pre-teóricas de cardinalidad. Mancosu no avanza sobre esto.

La Parte II (“Historia y filosofía de la lógica”) presenta tres artículos donde Mancosu hace un gran trabajo arque¬ológico de descubrimiento y análisis de documentos, que iluminan algunos compromisos filosóficos de una figura en la historia de la lógica elusiva y rel¬evante: Alfred Tarski. En el primero de ellos (“Tarski, Neurath y Kokoszynska sobre la concepción semántica de la verdad”), revela las objeciones de Neur- ath al análisis de la verdad de Tarski, así como las respuestas de este y Carnap. Mancosu observa que las objeciones de Neurath carecen de una articulación clara de la lógica de las mismas (p. 193). En favor de Neurath, podría pensarse que una objeción recurrente (pp. 165-166, por ejemplo), no advertida por Tarski (p. 162) ni Carnap (p. 171), es que el uso “científico” de “verdad” no se reduce a la convención (T), pues contiene un elemento “sociológico”. El se¬gundo artículo (“Quine y Tarski sobre el nominalismo”) aborda la cuestión de si Tarski, en su seminal conferencia sobre el concepto de consecuencia lógi¬ca de 1936, asume una concepción de “modelo” con dominio fijo. Mancosu argumenta que este es el caso, y discute la opinión contraria de Gómez-Torrente (“Rereading Tarski on Logical Consequence”, The Review of Symbolic Logic, 2(2): 249-297, 2009). El resultado de la discusión es muy iluminador en cuanto a la complejidad del asunto y las previsiones metodológicas para su discusión, aunque el resultado final en la adenda al artículo es un poco frustrante: la sofisticación de la discusión parece conducir a una situación de impasse entre Mancosu y Gómez-Torrente. El tercer artículo presenta y discute com¬parativamente los puntos de vista de Tarski y Quine sobre el nominalismo. El tratamiento de Mancosu es particularmente interesante a la hora de vincular el nominalismo con la preferencia por ciertos lenguajes lógicos (orden uno, en particular) para el discurso científico. En esta parte entonces, Mancosu muestra claramente sus virtudes ejemplares para la investigación de archivo.

En la Parte III (“Filosofía de la práctica matemática”) ^Mancosu exhibe sus virtudes para sugerir (o repensar) estimulantes problemas para la filosofía de la práctica matemática. Los primeros dos capítulos atañen a la explicación matemática; el primero de ellos (“Por qué importa la explicación matemática”) pretende arrojar nueva luz sobre el interés en el estudio de la explicación matemática en ciencias, así como la explicación matemática dentro de la matemática pura. En particular, Mancosu muestra estimulantes conexiones de este tema con el problema de las aplicaciones de la matemática a las ciencias, así como con los argumentos de indispensabilidad en ontología. El segundo artículo (“Más allá de la unificación”) es una colaboración con J. Hafner en el que se explora y plantea una crítica al modelo de explicación como unificación (en matemáticas y en ciencias) de Phil- lip Kitcher (“Explanatory unification”, Philosophy of Science, 48(4): 507-531, 1981). Mancosu y Hafner presentan, con detallado rigor, un contraejemplo al modelo de Kitcher extraído de la geometría algebraica real. Una moralejaque se extrae aquí es la poca plausibili- dad de pretender una teoría de la explicación matemática general, así como la conveniencia de proceder por medio de estudios de casos.

El tercer artículo de esta parte (“Sobre la relación entre geometría plana y sólida”) está escrito en colaboración con Andrew Arana y también tiene una naturaleza exploratoria. Los autores exploran la relación entre geometría plana y geometría sólida desde el punto de vista de los usos de la segunda en la demostración o solución de teoremas o problemas de la geometría plana. Luego de revisar estos usos en diversos casos de distintas épocas (griega antigua, siglo XVII europeo y la escuela de Monge), los autores sugieren que los mismos ocurren, por lo general, en problemas geométricos “no elementales”, aun cuando tal cosa no suscitó debates fundacionales y metodológicos. En la sección 2 los autores presentan el “debate fusionista” que tuvo lugar entre matemáticos italianos posteriormente a la publicación de Elementi de Geome.