TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN

El uso de redes neuronales en la interpolación de anomalías de gravedad – aplicación en el cálculo del modelo geoidal en Santa Catarina - Brasil

The use of neural network for gravity anomalies interpolation – application to geoid model computation in Santa Catarina - Brasil

 

Wagner Carrupt Machado¹, Ana Cristina Oliveira Cancoro de Matos², Denizar Blitzkow², Gabriel do Nascimento Guimarães¹

¹ Laboratório de Topografia e Geodésia – LTGEO,Universidade Federal de Uberlândia (UFU), campus Monte Carmelo-MG. Rod LMG 746, km 01, s/n, bloco1 CEP 38500-000, Monte Carmelo/MG-Brasil
² Laboratório de Topografia e Geodésia, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (LTG/EPUSP), Av. Prof. Almeida Prado trav.2 n.83 sala1, CEP 05508-070, São Paulo/SP-Brasil
E-mail: wcarrupt@yahoo.com.br

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RESUMEN

Este artículo trata de evaluar el impacto del uso de las anomalías de gravedad interpoladas con RNA (Redes Neuronales Artificiales), en el cálculo de los modelos geoidales. Por lo tanto, se utilizó de la RNA, para interpolar las anomalías de Bouguer, aire libre y Helmert sobre una malla regular de 5' con el objetivo de calcular el modelo geoidal de Santa Catarina. Se calcularon tres modelos geoidales utilizando las redes generadas con RNA. Se utilizó el modelo GEOID2014, calculado por el LTG (Laboratorio de Topografía y Geodesia) para la comparación. Los cuatro modelos geoidales fueron evaluados utilizando la información de 53 mediciones GNSS, sobre los puntos fijos de las líneas de nivelación fornecidas por el IBGE (Instituto Brasileiro de Geografía y Estadística). La comparación tuvo como objetivo identificar cuál de los modelos tiene mejor consistencia con la referida información. Se obtuvo los valores de los errores medios cuadráticos de 0,17, 0,13, 0,17 y 0,17 m. El modelo geoidal que utilizó la malla de la anomalía Helmert, interpolada con la RNA, mostró el mejor resultado.

Palabras claves: Red neuronal; Geoide; GNSS; Nivelación; Altura.

ABSTRACT

To assess the impact of using gravity anomalies interpolated with Artificial Neural Networks (ANN) over geoid model compuation, this technique was used to interpolate Bouguer, free-air and Helmert gravity anomalies into a 5’ regular grid to compute the Santa Catarina State geoidal model. Three geoidal models were computed using the grids determined with ANN. The GEOIDE2014, computed by LTG (Geodesy and Topography Laboratory), was used for comparison. Therefore, the four geoidal models were assessed using information, provided by IBGE (Brazilian Institute of Geography and Statistics), of 53 leveling stations in which the geodetic altitude were determined with GNSS observations, called in this paper as GNSS/RN. The 53 geoidal heights were obtained from the difference between geodetic height and normal-orthometric height from the geometric (spirit) levelling. Such comparison has the aim of identify which models present better consistence with these points. It was obtained RMS of 0.17, 0.13, 0.17 and 0.17 m, where the geoidal model computed with the grid of Helmert anomaly interpolated with ANN presented the best result.

Keywords: Neural Network; Geoid; GNSS; Spirit levelling; Height.

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INTRODUCCIÓN

La ondulación geoidal, en lo que se refiere a la descomposición espectral, se puede dividir en tres componentes: las longitudes de onda larga, media y corta. Con la adquisición de modelos globales del geopotencial (MGGs) de las misiones espaciales como CHAMP (CHAlenging Mini-satellite Payload), LAGEOS (Laser Geodynamics Satellites), GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) y más recientemente GOCE (Gravity field and steady state Ocean Circulation Explorer), pueden determinarse las componentes de longitudes de onda larga y media de la ondulación geoidal.
El componente de longitud de onda corta de la ondulación geoidal, es obtenida de la evaluación de la integral de Stokes modificada en la malla de anomalías residuales, cuya solución eficiente utiliza el algoritmo llamado Fast Fourier Transform (FFT). En este caso, es necesario el uso de una malla regular de anomalía de gravedad residual de la zona de interés. Debe tenerse en cuenta que la densidad de las mediciones gravimétricas y la altura asociada con la anomalía de gravedad, se refleja en la calidad con la que el componente de longitud de onda corta puede ser estimado. En este artículo, sólo la primera será discutida.
Normalmente las mediciones gravimétricas se llevan a cabo a intervalos irregulares y puede haber zonas sin información. En este caso, para hacer los cálculos con la FFT, la generación de una malla regular de anomalías de gravedad se vuelve importante. Abbas et al., (1990), presentan una comparación entre algunos métodos de interpolación para usar en geofísica y geodesia. Tierra y Freitas (2005), indican un buen rendimiento de la RNA en la interpolación de anomalía de Bouguer y aire libre, en una región con escasa gravimetría. Miranda et al. (2009) utiliza la RNA en la interpolación de anomalías aire libre en la región de Imbituba. Otros artículos muestran buen comportamiento de la RNA para determinar la ondulación del geoide (Kuhar et al., 2001, Maia, 2003, Stopar et al., 2006, Veronez et al., 2009, Akcin y Celik, 2013).
En este trabajo se presenta una evaluación del GEOIDE2014 y tres modelos de geoide calculados sobre mallas regulares de anomalías de gravedad de Bouguer, aire libre, y Helmert, interpolados con RNA. Cabe destacar, que el cálculo de los modelos de geoide se realizó teniendo en cuenta la anomalía Helmert. Este modelo utiliza una arquitectura Multilayer Perceptrons (MLP) con una única capa de neuronas ocultas (Haykin, 1999). Las entradas se definieron como la latitud, la longitud, la altura ortométrica y la gravedad normal, mientras que la salida es una de las dichas anomalías de la gravedad. Los detalles sobre la metodología adoptada en la formación de la RNA están en el tema llamado determinación de las mallas regulares de anomalía de gravedad con RNA. El área de este estudio fue definida por -24° y -32° en latitud y -56° y -46° en longitud (Fig. 1).

Figura 1. Distribución de datos terrestres de gravimetría (azul – conjunto de estimación, rojo – conjunto de validación).
Figure 1. Distribution of terrestrial gravity data (in blue – estimate set, in red – validation set).

DESAROLLO TEÓRICO

Redes neuronales artificiales
Las redes neuronales artificiales se componen de un número determinado de entradas y unidades de procesamiento, llamadas neuronas, que están conectadas a través de pesos sinápticos. Las entradas se propagan a través de la topología de RNA, siendo transformadas por los pesos sinápticos y por la función de activación (AF) de las neuronas. Recibiendo entradas de las neuronas n (yi), la neurona k calcula su salida a través de ec. (1) (Haykin, 1999):

donde yi es la salida calculada por la neurona i; wki es el peso sináptico entre la neurona i y la neurona k y bk es el peso sináptico entre la neurona k y un valor constante diferente de cero, conocido como bias. Por lo general, se atribuye valor 1 o -1 para el último. Si la neurona está conectada a las entradas, el término yi se sustituye por la entrada correspondiente.
Funciones de activación no lineales del tipo asimétrica sigmoidal, se muestran en la solución de problemas de naturaleza no lineal. La ec. (2) es una función que entra en la categoría bipolar (Wilamowski et al., 2001):

donde x es calculado por ec. (3):

El MLP, también conocido como una red de multicapa, debido al flujo de datos es unidireccional. Las entradas se propagan desde la capa de entrada a la salida, a través de una o más capas ocultas (Haykin, 1999).
Cybenko (1989), Funahashi (1989) y Hornik et al. (1989), demostraron que una red MLP con una sola capa oculta, es capaz de aproximar cualquier función continua dentro de una precisión predeterminada, esto sólo es posible si la capa oculta tiene número suficiente de neuronas. Sin embargo, para obtener un buen rendimiento con la RNA es necesario entrenarla para evitar que se ajuste el ruido existente en el conjunto de datos. El desafío de este método es para determinar la cantidad ideal de neuronas.

Entrenamiento de la MLP
El proceso de estimación de los parámetros de la RNA (pesos sinápticos), llamado entrenamiento, es un proceso iterativo. Una estrategia utilizada en la definición de la cantidad de neuronas ideal, es aquella que considera una MLP con la menor cantidad de neuronas posibles, sin que ello afecte su capacidad de calcular la cantidad de interés correctamente. En esta situación, se dice que el control de la complejidad del modelo, se obtiene mediante regularización estructural (Bishop, 2008).
El entrenamiento de la RNA, requiere la disponibilidad de un conjunto de datos (muestras) que contiene parámetros correlacionados con la cantidad que se desea calcular, conocida como entradas, así como la cantidad que se determinará, conocida como salida.
La correlación cruzada es una herramienta que se puede utilizar para determinar el número óptimo de neuronas ocultas. En este caso, el 20% de los datos de entrenamiento se separa para llevar a cabo una evaluación de la solución. Entrena la RNA con diferentes cantidades de neuronas ocultas y elige la que produce una mejor concordancia con los datos de la evaluación (Bishop, 2008).
Destaca que es necesario determinar el valor de los pesos sinápticos para cada MLP con diferente topología. El objetivo de los métodos desarrollados para este fin, es reducir al mínimo una función obtenida a partir de la diferencia entre la salida calculada por la MLP y la salida correspondiente del conjunto de datos de entrenamiento (Haykin, 1999). Después del entrenamiento, los parámetros de la MLP son fijos y la cantidad de interés se puede calcular.
Entre los métodos desarrollados para entrenar MLP, el Levenberg-Marquardt (LM) se destaca por su capacidad de presentar una buena relación entre la estabilidad y la velocidad de convergencia (Battiti, 1992, Wilamowski et al., 2001).
En este método considera una MLP con p parámetros para ser estimados con el método LM utilizando s muestras. La ec. (4) muestra el vector de corrección de los parámetros en la iteración j (Hagan y Menhaj, 1994):

donde:
A - (s x p) matriz jacobiana;
I - (p x p) matriz de identidade;
 - tasa de aprendizaje;
e - (s x 1) vector de error (diferencia entre la salida calculada por la MLP y la salida correspondiente del conjunto de datos de entrenamiento).

Los elementos de la matriz A son definidos con detalle en Hagan y Menhaj (1994) y Wilamowski et al., (2001). Una manera óptima para calcular los elementos de esta matriz se presenta en Wilamowski y Yu (2010a).
En este método de entrenamiento, la tasa de aprendizaje se ajusta automáticamente en cada iteración, lo que garantiza la convergencia del proceso. Sin embargo, teniendo en cuenta que la matriz a invertir es de orden igual a la cantidad de parámetros a ser estimados, el tiempo de cálculo aumenta exponencialmente a medida que el número de neuronas ocultas se incrementa, siendo un factor a ser considerado en la adopción de este método.
En su versión original, este método requiere una gran cantidad de retropropagación (backpropagation) para calcular la función que desea reducir al mínimo. Wilamowski y Yu (2010b) desarrollaron una metodología que elimina este paso del cálculo, llamada forward-only.

Determinación del modelo geoidal
La determinación del modelo geoidal en esta investigación, se realizó utilizando el paquete computacional Canadiense SHGEO (Stokes-Helmert’s approach to geoid computation). El esquema de cálculo puede resumirse en cinco pasos (Matos et al., 2012, Ellmann y Vaníček, 2007, Blitzkow et al., 2008):
1. Cálculo de las anomalías de aire libre de puntos gravimétricos observados (coordenadas geodésicas, altura ortométrica y aceleración de la gravedad);
2. Cálculo de las anomalías completas de Bouguer, para obtener después las anomalías de aire libre medias en las mallas de 5'. Para estos cálculos son necesarias las anomalías de la etapa anterior y un modelo digital del terreno (MDT);
3. Cálculo de las anomalías de Helmert en la superficie de la tierra, que se obtienen mediante la adición de la anomalía de aire libre media, el efecto directo topográfico, el efecto atmosférico directo y el efecto topográfico indirecto secundario;
4. Realización de la integral de Stokes con el uso de la técnica remove-compute-restore. El procesamiento de la integral modificada de Stokes propuesto por Featherstone et al. (2003) se ha realizado mediante la técnica de FFT.
5. Adición del efecto indirecto topográfico primario en las ondulaciones del geoide, que se refiere a un "geoide ficticio" llamado co-geoide (Gemael, 1999; Matos, 2005), para obtener las ondulaciones del geoide referidas al nuevo geoide.

En la región oceánica, se utilizó de las anomalías de aire libre por el DTU10 (Andersen, 2010). El modelo geopotencial utilizado fue el GO_CONS_GCF_2_DIR_R5 (Bruinsma et al., 2013) con un grado 200.
El cálculo de las ondulaciones del geoide para Santa Catarina, requiere datos gravimétricos en la región del cálculo. Diferentes universidades, institutos de investigación y organizaciones, en América del Sur aportaron datos. Es importante mencionar:
1. IBGE;
2. Observatorio Nacional, Petrobras, Agencia Nacional de Petróleo (ANP) y diversas universidades;
3. NGA (National Geospatial-Intelligence Agency);
4. GETECH Group plc;
5. Institutos civiles y militares de los países de América del Sul.

Se utilizó el modelo de geoidal GEOID2014 (Blitzkow et al., 2014) para comparar los resultados obtenidos con los modelos determinados con las mallas de anomalía de la gravedad generadas por la red neuronal. El GEOID2014 se obtuvo dentro del mismo esquema descrito anteriormente, pero basado en el modelo geopotencial EIGEN-6C3stat (n=m=200) (Shako et al., 2014) y sin el uso de la red neuronal para llenar el vacío gravimétrico.

METODOLOGÍA

Datos de gravimetría
Se utilizó un conjunto de 20.857 observaciones gravimétricas ubicados en la zona comprendida entre las latitudes -24° y -32° y longitudes -56° y -46 °, cuya distribución espacial se muestra en la Figura 1. Se observa que, con excepción de la región costera, el estado de Santa Catarina tiene cobertura densa de gravimetría, mientras que en Paraguay y buena parte de Rio Grande do Sul la distribución es más escasa.

Determinación de las mallas regulares de anomalía de gravedad con RNA
El modelo de la RNA utilizado para interpolar las anomalías de Bouguer, de aire libre y de Helmert, para una malla regular de 5' emplea la arquitectura MLP, con una única capa de neuronas ocultas, donde se definen las entradas como la latitud, la longitud, la altura ortométrica y la gravedad normal, mientras que la salida es una de las anomalías antes mencionadas, como se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Modelo de la RNA.
Figure 2. ANN model.

El número de neuronas ocultas se definió con el objetivo de la regularización estructural. Para eso, se utilizó la correlación cruzada. En el inicio del entrenamiento, se estableció la RNA con sólo 2 neuronas ocultas, mediante el aumento de esta cantidad de 4 neuronas para cada proceso. Teniendo en cuenta que los parámetros de cada RNA evaluados, fueron determinados en un proceso iterativo, con la necesidad de establecer los valores iniciales para estos parámetros. En esta investigación, el proceso se completó con 200 iteraciones y los parámetros iniciales han sido definidos por un conjunto de números aleatorios entre 1 y -1.
Los pesos sinápticos de la RNA se calcularon utilizando el programa NBN_LTG. Estos son una adaptación del programa desarrollado por Machado (2012), que permite entrenar la RNA con la arquitectura de la MLP, desde la versión forward-only del método de Levenberg-Marquardt.
El programa MLP_Propagation desarrollado en este estudio, se utilizó para calcular las mallas regulares de anomalías de la gravedad desde los pesos sinápticos determinados en el entrenamiento. Los programas utilizados para entrenar la RNA y generar la malla regular de anomalía de gravedad, se han desarrollado en Fortran 77.

Validación de los modelos geoidales
Para evaluar la calidad de la ondulación geoidal a partir de las diferentes soluciones adoptadas, 53 referencias de nivelación y posicionamiento GNSS (GNSS/nivelación), determinadas por el IBGE, fueron utilizadas. La distribución espacial de los puntos se puede ver en la Figura 3. Teniendo en cuenta que las estaciones GNSS/nivelación, se distribuyen con el fin de evaluar no sólo el resultado obtenido en Santa Catarina, sino también en el ámbito de los estados de Paraná y Rio Grande do Sul, los cuales fueron considerados en la investigación. En cuanto a los datos, proporcionados por el IBGE, presentan una desviación estándar en el rango de 7 a 10 cm en la zona de estudio. Estos puntos son todavía escasos en la región, y no presentan una distribución homogénea, sino que le permiten verificar la consistencia entre las cantidades.

Figura 3. Ubicación de los puntos GNSS/nivelación.
Figure 3. Location of GNSS/levelling stations.

Es importante tener en cuenta que la altura ortométrica-normal de las referencias de nivelación, se obtuvo por medio de la nivelación geométrica (definida en un sistema de marea media), mientras que las alturas geodésicas se determinaron con GNSS y se hace referencia a SIRGAS2000, que es un sistema libre de marea (Fortes, 2003). Por lo tanto, con el fin de conciliar, las alturas ortométricas-normales se transformaron en el sistema libre de la marea mediante la ec. (5) (Tenzer et al., 2010.):

donde k y h son los números de Love y sus valores son 0,30 y 0,62, respectivamente, y ϕ es la latitud geocéntrica. Esto era necesario porque el GNSS y los GGMs, están relacionados con un sistema libre de marea.
Se calcularon tres modelos de geoide utilizando las mallas de anomalías de Bouguer, aire libre y Helmert generadas con la RNA. El primer modelo geoidal sigue el esquema de cálculo descripto en el tema llamado determinación del modelo geoidal, desde el punto 2. El segundo modelo, desde el punto 3 y el último modelo, comienza desde la técnica remove-compute-restore, en el punto 5.
El método de interpolación bilineal se utilizó para obtener las ondulaciones geoidal de los puntos GNSS/nivelación de los modelos geoidal generados y del GEOID2014. Todos los modelos geoidal probadas, están en el sistema libre de la marea.

RESULTADOS

Evaluación del entrenamiento de las RNA
Analizando el comportamiento de la media cuadrática (RMS), del conjunto de validación de anomalías de gravedad con respecto a las calculadas por la RNA durante el entrenamiento, se encontró que el valor RMS inicial tenía alrededor de 12 mGal. El RMS fue reducido cuando hubo aumento de neuronas ocultas hasta que se alcanzó un nivel. Las mallas de anomalías de gravedad se han generado con el número de neuronas ocultas, resultando en 128, 118 y 108 neuronas ocultas, en el caso de anomalía de Bouguer, aire libre y Helmert, respectivamente.
La figura 4, muestra la distribución espacial de RMS obtenidos con el conjunto de datos de validación (mGal) de anomalías de Bouguer, aire libre y Helmert, respectivamente. Se observa una similitud entre las soluciones. Diferencias con mayor magnitud han ocurrido en zonas de terreno accidentado y/o con medida escasa, la aceleración de la gravedad.

Figura 4. Distribución espacial de las diferencias de anomalía de la gravedad (datos de validación).
Figure 4. Spatial distribution of gravity anomaly difference (validated data).

La Figura 5 muestra la distribución de las diferencias de anomalías de gravedad calculado sobre el conjunto de datos de validación. Parece que alrededor del 79% de la diferencia de las anomalías de Bouguer y aire libre están dentro de ± 5 mGal. Este porcentaje aumenta hasta el 81% en el caso de la anomalía de Helmert. El RMS de la validación fue 4,48, 4,51 y 4,47 mGal, respectivamente.

Figura 5. Distribución de las diferencias de la anomalía de gravedad.
Figure 5. Gravity anomaly difference distribution.

La Tabla 1, muestra algunas estadísticas de diferencias de anomalías de la gravedad. Se observa que las soluciones presentarán diferencias de medias cercanas a 0. Esto demuestra que prácticamente no hay errores sistemáticos. También se puede notar que los efectos aleatorios de las tres soluciones son alrededor de 4,5 mGal.

Tabla 1. Estadísticas de las diferencias de anomalías de la gravedad (mGal).
Table 1. Statistics of gravity anomalies difference (mGal).

Evaluación de los modelos geoidales
La comparación estadística de los valores de la ondulación geoidal obtenido de las estaciones GNSS/nivelación, con la calculada por el modelo geoidal se puede ver en la Tabla 2. Se observa que la ondulación geoidal calculada con la solución RNA_Helmert, presenta la media y el RMS más pequeño, lo que demuestra que esta solución es la menos afectada por los efectos sistemáticos y aleatorios.

Tabla 2. El análisis estadístico de las diferencias absolutas utilizando GNSS/nivelación
Table 2. Statistical analysis of absolute difference using GNSS/levelling.

La Figura 6 muestra los histogramas de las diferencias en la gama de 0,2 m. Teniendo en cuenta que el 90% de las diferencias de ondulación geoidal de la solución RNA_Helmert es entre 0,2 y 0,2 mGal. Para otras soluciones, este porcentaje se reduce aproximadamente a 75%.

Figura 6. Histogramas de las diferencias absolutas en intervalos de 0,2 m para los modelos mencionados.
Figure 6. Histogram of absolute difference in intervals of 0.2 m for the mentioned models.

La Figura 7 muestra el mapa de las discrepancias entre los puntos GNSS/nivelación y el modelo geoidal GEOID2014. Se observa que los modelos geoidales calculados con las mallas obtenidas con la RNA mostraron un buen desempeño en la región de terreno irregular, que se encuentra al sudeste de Santa Catarina. Cabe destacar, que la solución calculada con la malla RNA_Helmert, mostró mejores resultados en el sur de Rio Grande do Sul y el oeste de Paraná. Se observa también que este modelo tuvo el peor resultado en dos puntos: en las regiones del noroeste de Rio Grande do Sul y Paraná.

Figura 7. Mapa de las diferencias absolutas.
Figure 7. Map of absolute difference.

Las figuras 8 y 9 muestran el relieve de la zona de estudio, desde el MDT, y una representación del modelo geoidal calculada con la malla RNA_ Helmert, respectivamente. Se puede ver que el valor de la ondulación geoidal tiende a aumentar de este a oeste, debido a la influencia de los Andes. Se observa también, la influencia de la masa contenida en la zona con más relieve en el valor de la ondulación del geoide.

Figura 8. Mapa del MDT.
Figure 8. DTM map.

Figura 9. Modelo geoidal de SC obtenido con la malla RNA_Helmert.
Figure 9. SC geoid model obtained with the RNA_Helmert grid.

CONCLUSIONES

En este artículo se presentó una comparación de las ondulaciones geoidales calculadas por GEOID2014 y por tres modelos geoidales computados con mallas de anomalías de Helmert, aire libre y Bouguer, obtenidos con la técnica de RNA.
A partir de la evaluación de los modelos geoidales con los puntos de GNSS/nivelación, se observa que la solución Helmert_RNA presentó resultados 23% mejor que otras soluciones, que muestra una mayor confiabilidad para su uso. Por lo tanto, se afirma que este resultado demuestra que la aplicación de esta metodología está indicada para el llenado de vacíos gravimétricos de la malla regular de esta anomalía, obtenida mediante el esquema de cálculo del modelo geoidal descrito en el tema llamado determinación del modelo geoidal.
Por último, esta técnica también se utiliza para generar otras mallas de anomalías de Helmert en otras regiones de Brasil. Cabe señalar, que los resultados preliminares muestran que es factible en el llenado de pequeños vacíos gravimétricos. Sin embargo, no presenta buenos resultados para la interpolación o extrapolación de esta información en las regiones con un gran vacío gravimétrico, como en el caso del Norte, Centro y Noreste de Brasil.

Agradecimientos

Los autores agradecen a las organizaciones civiles y militares de diferentes países por los datos gravimétricos asignados al LTG. En particular, la exquisita obra de CGED/IBGE.

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Recibido: Mayo, 2016
Aceptado: Julio, 2017