RELATOS DE AULA

O que é o paradoxo EPR? Uma reconstruyo didática do artigo de Einstein, Podolsky e RosenWhat is the EPR paradox?

A didactic reconstruction of the article by Einstein, Podolsky and Rosen

 

Ramon Wagner¹*

Alfonso Werner da Rosa²

Nathan Willig Lima¹

Matheus Monteiro Nascimento¹

 

instituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Av. Bento Gongalves 9500 - Caixa Postal 15051 - CEP 91501-970 - Porto Alegre, RS, Brasil.

²Faculdade de Educagao, Universidade de Passo Fundo, BR 285, Sao José - CEP 99052-900 - Passo Fundo, RS, Brasil.

*E-mail: ramonwagner1934@hotmail.com

Recibido el 16 de julio de 2021 | Aceptado el 18 de noviembre de 2021

 

Resumo

O objetivo deste trabalho é proporcionar uma reconstrugao didática do artigo de Einstein, Podolsky e Rosen, introduzindo os aspectos teóricos necessários para a compreensao do trabalho (os quais usualmente sao apresentados nas fases iniciais dos cursos de Mecánica Quántica), discutindo a estrutura do argumento original e explicando o paradoxo a partir das próprias colocagoes retiradas do artigo. A partir da apresentagao que estamos propondo, o paradoxo EPR pode ser apresentado em disciplinas introdutórias de Mecánica Quántica da graduagao (para bacharelado e licenciatura), viabilizando a compreensao da discussao sobre a completude da teoria quán-tica proposta por Einstein, Podolsky e Rosen e o entendimento da gánese do conceito que, posteriormente, ficaria conhecido como emaranhamento quántico.

Palavras-chave: EPR; Teoria quántica; História e filosofia; Fontes primárias; Emaranhamento.

 

Abstract

The objective of this work is to provide a didactic reconstruction of the article by Einstein, Podolsky e Rosen, introducing the theoretical aspects necessary for the understanding of the work (which are usually presented in the initial phases of Quantum Mechanics courses), discussing the structure of the original argument and explaining the paradox from the very statements taken from the article. Based on the presentation we are proposing, the EPR paradox can be presented in introductory undergraduate courses in Quantum Mechanics (for bachelors and licentiate degrees) enabling the understanding of the discussion on the completeness of quantum theory pro-posed by Einstein, Podolsky and Rosen and by the genesis of the concept that would later become known as quantum entanglement.

Keywords: EPR; Quantum theory; History and philosophy; Primary sources; Entanglement.

 

I. INTRODUJO

No inicio do século XX, diferentes estudos sobre a natureza da radiagao e da matéria culminaram no que hoje denominamos Teoria Quantica (TQ). Entende-se, de uma forma geral, que a primeira formulagao axiomática¹ da TQ tenha sido proposta por von Neumann (1932) e, até hoje, no contexto didático, sao apresentadas reformulagoes dessa abor-dagem postulacional (Cohen-Tannoudji, Diu e Laloe, 1977; Freire Jr., 2011; Ostermann, Pereira, Cavalcanti e Pessoa Jr, 2012). A interpretagao desse formalismo matemático, entretanto, foi alvo de disputa nao somente na genese da Teoria (Jammer, 1974) bem como vem suscitando confrontos na comunidade de físicos ao longo de toda historia da TQ (Freire, 2015).

Um episodio importante nessa historia foi a conferencia de Solvay, em 1927, na qual foi protagonizado um grande debate entre Einstein e Bohr sobre a interpretagao da Teoria². Embora se considere que Bohr tenha saido vitorioso, dando origem ao que ficou conhecido posteriormente como Interpretagao da Complementaridade³ (Cushing, 1994; Howard, 2004), Einstein seguiu descontente nao somente com a descrigao indeterminista da realidade; mas, sobre-tudo, com o que - posteriormente - ele explicitou como um afastamento da visao de mundo realista⁴.

Um dos principais argumentos de Einstein contra a interpretagao da Complementaridade e a favor de uma interpretarlo realista da TQ foi apresentado em seu artigo intitulado "A descrigao da realidade física fornecida pela mecánica quántica pode ser considerada completa?', escrito em 1935 juntamente com Boris Podolsky e Nathan Rosen (1935). As discussoes trazidas nesse trabalho ficaram conhecidas, posteriormente, como o paradoxo EPR.

Alguns livros didáticos tradicionais de TQ abordam o paradoxo EPR (Auletta, Fortunato e Parisi, 2009; Gottfried e Yan, 2003; Griffiths, 2011), adotando, entretanto, um formalismo matemático diferente ou analisando situagoes diferentes com relagao ao que foi apresentado no trabalho original - usualmente em partes mais avangadas dos cursos. Por isso, muitas vezes o paradoxo EPR nao é tratado em disciplinas de graduagao, principalmente na licenciatura em Física, apesar de sua importancia histórica. Ademais, na área de Ensino de Física, alguns trabalhos também discutem o paradoxo EPR (Griffiths, 1987; Reisler, 1971) - mas nao apresentam uma reconstrugao didática do trabalho original.

Nesse sentido, buscando contribuir para o ensino de TQ, nosso objetivo, no presente trabalho, é apresentar uma reconstrugao didática do artigo de Einstein, Podolsky e Rosen, explicitando quais sao seus pressupostos e qual é a estrutura do argumento; valendo-se do exemplo e do formalismo do próprio trabalho. Reproduzindo, assim, de forma didática a discussao original. Discutimos, também, as consequencias que o paradoxo EPR trouxe no desenvolvimento da TQ.

Conforme argumentamos, tal abordagem permite que o paradoxo EPR seja tratado em fases mais iniciais da for-magao de físicos (bacharéis e licenciados). Ademais, o presente trabalho se alinha com a perspectiva de que trazer fontes históricas primárias pode contribuir para enriquecer o ensino da TQ, permitindo que os alunos de graduagao tenham contato com as ideias dos autores, suas argumentagoes, objetivos e preocupagoes (Karam, 2020; Lima, Cavalcanti e Ostermann, 2021; Lima e Karam, 2021).

Para fazer tal apresentagao, na segao II, apresentamos fundamentos da TQ, passando pelo formalismo necessário para a compreensao dos principais elementos abordados no artigo EPR. Ao fazer isso, pretendemos conectar a discussao subsequente, sobre o artigo EPR, com tópicos vistos nos cursos e livros tradicionais de TQ. Na segao III, abordamos o paradoxo EPR em si, abrangendo a estrutura do argumento utilizado no artigo original, o experimento mental que foi proposto pelos autores, a descrigao do problema e, por fim, as conclusoes que Einstein, Podolsky e Rosen chega-ram. Na segao IV, é apresentada uma discussao acerca do argumento utilizado no artigo EPR e suas implicagoes no desenvolvimento da TQ. Por fim, na segao V, fazemos nossas consideragoes finais apresentando algumas sugestoes para o uso dessa discussao nos cursos de TQ em nível de graduagao, tanto para bacharelado quanto para licenciatura em Física.

II. FUNDAMENTOS DA TEORIA QUÁNTICA

Nessa segao, apresentamos alguns elementos fundamentáis para compreensao da discussao do paradoxo EPR. Para tanto, referimo-nos a alguns conceitos usualmente apresentados em cursos de TQ. Primeiramente, apresentamos os conceitos (subsegao A) e, na sequencia, apresentamos a descrigao de uma partícula livre (subsegao B).

A. Principáis elementos usados por Einstein, Podolsky e Rosen

Para compreender o argumento presente no artigo escrito por Einstein, Podolsky e Rosen, mapeamos seis conceitos fundamentais de TQ, os quais apresentamos na sequencia, em diálogo com textos didáticos contemporáneos.

A.1. Estados e funfao de onda

Em diferentes teorias físicas, existem representagoes matemáticas específicas nas quais podem-se encontrar as informagoes sobre o sistema físico. Por exemplo, na Mecánica Clássica, ao conhecer a lagrangeana ou a hamiltoniana é possível descrever a evolugao mecánica do sistema. Na termodinámica, ao conhecer a fungao entropia ou a energia interna que descreve o sistema (ou qualquer potencial termodinámico), podemos obter todas as informagoes sobre o sistema.

Na TQ, o conceito fundamental é o de estado quántico, representado por uma fungao⁵ de onda. Ao conhecer a fungao de onda, podemos obter todas as informagoes possíveis sobre um sistema. Einstein, Podolsky e Rosen falam sobre estado da seguinte forma:

Para ilustrar as ideias envolvidas, vamos considerar a descrigao mecánico-quántica do comportamento de uma partícula com um único grau de liberdade. O conceito fundamental da teoria é o conceito de estado, que deveria ser completamente caracterizado pela fungao de onda ty, que é uma fungao das variáveis escolhidas para descrever o comportamento da partícula. (Einstein et al., 1935, p. 778)

Se estamos descrevendo a fungao de onda na representagao da posigao, temos uma fungao *Â¥(x, t) para descrever o sistema. Como veremos na sequencia, essa fungao pode ser obtida a partir da solugao da Equagao de Schrodinger juntamente com condigoes iniciais e de contorno. A *Â¥(x, t) tem natureza complexa de forma que para conectar a descrigao matemática com os resultados empíricos também será necessário usar a fungao complexo-conjugada V(x, t).

A.2. Interpretado probabilística da funfao de onda

De acordo com a interpretagao estatística de Born, assumimos que a probabilidade de encontrarmos uma partícula, em um problema unidimensional, entre dois pontos a e b é apresentada no artigo da seguinte forma:

De acordo com a mecánica quántica, podemos dizer que a probabilidade relativa de que uma medigao da coordenada terá resultado situado entre a e b é:

b    b

P(a, b) = J tytydx = J dx = b — a

a    a

Como essa probabilidade é independente de a, mas depende apenas da diferenga b — a, vemos que todos os valores de coordenada sao possíveis. (Einstein et al., 1935, p. 778)

Se integrarmos essa fungao entre os limites de —ro e +ro a probabilidade de a partícula estar nesse intervalo é de 100% :

(1)

P = J+™^l'v⁽x,t^)l2dx = 1

A.3. Observáveis e operadores

Na TQ, existem algumas propriedades do sistema que podem ser determinadas a partir de uma sequencia de opera-góes físicas ou medigóes, "correspondendo a cada quantidade físicamente observável A existe um operador, que pode ser designado pela mesma letra" (Einstein et al., 1935, p. 778). Essas propriedades podem ser representadas por letras maiúsculas (exemplo: A, B, X Y) ou letras com acento circunflexo (exemplo: p, q,É) e levam o nome de "observáveis". Os operadores que representam grandezas físicas observáveis podem atuar sobre as fungoes de onda. Alguns exem-plos de operadores que representam os observáveis posigao, momento, energia mecánica e energia cinética sao respectivamente (Griffiths, 2011):

q=x	(2)
p = -(±) r    2ní\dxJ	(3)
z = --(Pi i \dtj	(4)
K = -- (-f¿) 2m\dx2/	(5)

Para que um operador possa representar uma grandeza observável ele precisa ser, necessariamente, um operador auto-adjunto (hermitiano)⁶. Na TQ matricial, em que os operadores sao representados por matrizes, a matriz que representa um operador hermitiano é igual a sua transposta conjugada. Tal condigao garante que os autovalores as-sociados a medigao (o que será discutido no próximo item) sejam números reais. O valor esperado (valor médio) de um observável Q(p,x) pode ser expresso da seguinte forma (Griffiths, 2011)

(Q) = f v*Qvdx    (6)

A.4. Decomposigao espectral e medidas

As autofungoes de um operador hermitiano se dividem em duas categorias, dependendo se o espectro do operador é discreto ou continuo. No primeiro caso, quando os autovalores formam um conjunto discreto, as autofungoes estao no espago de Hilbert e constituem estados realizáveis fisicamente (sao quadrado-normalizáveis). No segundo caso, quando os autovalores estao distribuidos em um intervalo continuo, as autofungoes nao sao quadrado-normalizáveis (no entanto, é possível formar pacotes de onda que sejam normalizáveis) e, portanto, nao representam fungoes de onda possíveis.

Ademais, os espectros discretos tem duas propriedades importantes, seus autovalores sao reais e as autofungoes pertencentes a autovalores distintos sao ortogonais.

Adicionando a condigao de ortogonalidade mais a condigao de normalizagao (ortonormalidade) é possível expressar

^f ^m⁽x')'$n⁽%')    ^mn    ⁽⁷⁾

Para os espectros contínuos, embora as fungoes nao sejam ortogonais no sentido usual, obtém-se uma outra forma de ortonormalidade, denominada ortonormalidade de Dirac (Cohen-Tannoudji et al., 1977):

f ^x^_x,dx = S(x -x')    (8)

Como pode ser observado na equagao acima, diferentemente da representagao da ortonormalidade do espectro discreto, o espectro contínuo tem a sua ortonormalidade expressa na forma de uma delta de Dirac ó(x — x₀).

A fungao delta de Dirac S(x — x₀) representa uma distribuigao infinitamente alta e infinitesimalmente estreita em x₀, cuja área é 1.

+ tt — <tt

S(x — x₀)dx = 1

(9)

Ao multiplicarmos uma fungao f(x) por S(x — a), obtemos o mesmo resultado que seria encontrado ao multiplicar f(a) pela fungao S(x — a), pois o produto será sempre zero (Butkov, 1988), a nao ser pelo ponto f(a):

f(x)S(x — a)=f(a)S(x — a)    (10)

De forma que

J+T f^(x)S(x — a)dx =f⁽a)    8⁽x — a)dx = f⁽a)    (11)

o que é conhecido como propriedade de filtragem da fungao delta de Dirac. Existem diferentes formas de representar a delta de Dirac. Uma possível forma pode ser obtida por sua representagao como uma transformada de Fourier. Lembrando que uma fungao pode ser expressa pelo par Fourier, dado por

f(x)=^$⁺_TF(k)e^ikxdk    (12)

e

^F(k) =^h$_T f⁽x^)e_^lkxdx    (13)

Escolhendo entao f(x) = S(x) em (12):

S(x)=^f_;T^F(^k)e^Íkxdk    (14)

Entao,

F(k)=^f_;T⁵(^x)e_^Íkxdx    (15)

Utilizando a propriedade de filtragem (11) teremos que J+T S(x)e^lkxdx = e^lk0 = 1, dessa forma

(16)

(17)

i

F¿ñ

substituindo (16) em (14) tem-se:

S(x) =— (^+T e^Lkxdk

^v ' 2n^J_T

resultando na forma integral da fungao delta de Dirac, a qual é chamada de representagao de Fourier da fungao delta. Quando deslocada da origem, assume a forma

5(x — a) =    e^ik(x_^a)dk    (18)

No formalismo da TQ, um sistema físico isolado pode se encontrar em um estado formado pela sobreposigao dos autoestados de um determinado operador:

^(x,t) = Ci$i(x,t) + C2$2(x,t) + ••• + c_n$_n(x,t)    (19)

em que ^_i(x, t), ^₂(x, t) e c_n^_n(x, t) sao autoestados de um observável. Segundo o postulado de projegao de Von Neumann, quando uma medida de tal observável é realizada, o estado do sistema "colapsa" para um dos possíveis autoestados. A probabilidade da medida resultar no autovalor correspondente ao autoestado é dada por Icil² (Sakurai e Napolitano, 2013). Tal fenómeno de passagem de um estado sobreposto para um único autoestado é o que foi denominado colapso da fungao de onda.

Conforme já mencionamos, a decomposigao espectral depende da característica do espectro (discreto ou continuo), sendo que a fungao ^ pode ser escrita como uma somatória (espectro discreto) ou uma integral (espectro continuo) dos autoestados de um observável ou ainda, ter características mistas. A forma mais geral de representagao de uma fungao de onda como combinagao linear dos autoestados de um operador pode ser expressa da seguinte forma (Landau e Lifshitz, 1977):

(20)

= Z_na_nVn⁽^⁾ + J a_f^lF_f⁽q⁾df

Para o entendimento do artigo EPR, é importante reconhecermos os autoestados do operador posigao e momento. Com operador posigao dado pela expressao (2), tem-se que seus autoestados podem ser representados por uma delta de Dirac, pois:

c¡^ = cjS(x — a) = aS(x — a) = aty    (21)

Por outro lado, com o operador momento dado pela expressao (3), pode-se mostrar que seus autoestados tem a forma de uma exponencial complexa:

p^ = pe^lkx

= pe

.,2np.

^L(—^)x

h d

e

2rn dx

. ,2up. ^)X

= pe

.,2np.

^l(—^)x

= pxp

(22)

em que foi usada a relagao de de Broglie, na qual k = ^E =    .

Uma síntese das representagoes e descrigoes (Griffiths, 2011), com alguns complementos, dos espectros discreto e continuo podem ser observados na tabela abaixo

Quadro I. Comparagao da descrigao matemática e diferengas entre os espectros discreto e continuo.

ESPECTRO DISCRETO

ESPECTRO CONTÍNUO

r

Ortonormalizagao x Ortonormalidade de Dirac

%%dp

S(p-p')

Expansao da fungao de onda

OT

M^x) ="^c_sd_s(x)

S = 1

+ OT

ty{x)= J C_pu_p(x⁾dp

— OT

Quadrado da norma

= £k_;^|2

r

c(p)^* c(p)^dp

r

dp^pW
A.5. Evolugao temporal para um sistema fechado: equagao de Schrodinger

Enquanto o colapso da fungao de onda se refere a evolugao de um sistema mediante o processo de medida. Quando um sistema está isolado, a evolugao temporal da fungao de onda se dá de forma determinista e pode ser obtida com a solugao da equagao de Schrodinger⁷, que pode ser expressa da seguinte forma para o caso unidimensional:

h² d²w(x,t) 2m dx²

+ V(x)w(x, t) = ¿h

dw (x,t) dt

(23)

Uma forma de resolver a Equagao de Schrodinger é buscando solugoes que podem ser expressas por separagao de variáveis, isto é,

w(x, t) = ^(x)p(t)

(24)

aplicando (24) em (23), podemos obter⁸

dty(t) ÍE ^

dt    h

(25)

e

22

^— - ^^(x) + ^VxP^(x) = ^E^^(x)

(26)

A equagao (26) é conhecida como equagao de Schrodinger independente do tempo. A solugao de (24) é simples-mente:

-Ht

(p(t) = e ti

(27)

⁷    Para uma discussao sobre a derivagao da fungao de onda, ver Lima e Karam (2021)

⁸    Para mais detalhes ver (D. J. Griffiths, 2011)

A solugao de (26) depende do potencial V do sistema sendo estudado. De uma forma geral, a solugao da equagao de Schrodinger é dada por:

'Â¥_n⁽x,t) = ^_n⁽x)e

iEn_t â–  h ¹

(28)

Ademais, a solugao geral da equagao de Schrodinger pode ser expressa como uma combinagao linear de solugoes separáveis⁷

w⁽x, t) = E“=i

c„^„⁽x⁾e

iEn*. ' h ^c

(29)

A.6. Principio da incerteza

Podemos expressar o Principio da Incerteza Matematicamente da seguinte forma:

o_xa_p > ^h    (30)

As variáveis a_x e a_p representam o desvio padrao da posigao e do momento respectivamente⁸. Pode-se entender o principio da incerteza da seguinte forma: podemos preparar um grande número de sistemas físicos idénticos. Se medirmos a posigao de uma partícula em cada sistema, teremos uma distribuigao de valores de posigao. Podemos também medir o momento da partícula em cada um dos sistemas. Quanto mais bem localizada for essa partícula, isto Ã©, quanto menor for o desvio padrao sobre as medidas de posigao obtidas para os sistemas idénticos, maior será o desvio padrao da medida de momentum obtido para o mesmo conjunto de sistemas, e vice-versa (Griffiths, 2011). É possível mostrar, matematicamente, que essa relagao de Incerteza é consequéncia do fato de os operadores posigao e momento nao comutarem. De uma forma geral, para dois operadores que nao comutam, pode-se obter uma relagao entre suas incertezas:

0>|>(:1<A3>)²    (31)

onde Á,B = ÁB — BÁ é o comutador de dois operadores (Griffiths, 2011, p. 110). No artigo de Einstein, Podolsky e Rosen, a discussao sobre a incerteza é apresentada da seguinte forma:

De forma mais geral, é mostrado na mecánica quántica que, se os operadores correspondentes a duas grandezas físicas, digamos A e B, nao comutam, isto é, se AB?BA, entao o conhecimento preciso de um deles impede o conhecimento do outro. Além disso, qualquer tentativa de determinar o último experimentalmente alterará o estado do sistema de modo a destruir o conhecimento do primeiro. (Einstein et al., 1935, p. 778)

Para o caso específico do artigo EPR, a relagao de comutagao⁹ entre posigao e momento pode ser expressa como

Q,P_X =

h

¿m

(32)

B. Exemplo: partícula livre

Para a partícula livre, a equagao de Schrodinger independente do tempo tem a seguinte solugao

$(x) = Ae^ikx + Be^-ikx = Ae⁽—^)px + Be^-(~

,2nL

-( )px

(33)

incluindo a parte dependente do tempo e⁽ n ’, entao

hkt

w(x, t) = Ae^{lk(x (} ’

2 m’ + Be

hkt.

^-ífc(x+(—’

(34)

Nesse caso, o primeiro termo se refere a partícula se movendo para a direita e o segundo termo para a partícula e movendo em sentido negativo, para a esquerda. A fungao de onda nao é normalizável, pois

(35)

f-+™'v*_k'Â¥_kdx=mi²    =mi²k)

A soluto da equagao de Schrodinger dependente do tempo pode ser escrita como uma combinado linear de solugoes separáveis, conforme discutido na segao anterior

(36)

^(k)e^l(kx-(2^⁾dk

essa fungao pode ser normalizada para um <p(k) apropriado. Porém, carrega um intervalo de k e, portanto, um intervalo de energias e velocidades. É possível determinar $(k) para que coincida com a fungao de onda inicial:

^w(x,⁰⁾ =1^$+™ $(^k’ ^elk%dk    (37)

A solugao do problema, genérico, para a partícula livre é (36), em que

$(k) =^f+^Ü'Â¥⁽x, 0’ e^-Lkxdx    (38)

III. O ARGUMENTO EPR

Para Einstein, Podolsky e Rosen, em uma teoria completa, deve haver um elemento teórico correspondente a cada elemento de realidade, de forma que um critério para a realidade de uma quantidade física é a possibilidade de realizar previsoes sem alterar o sistema (Einstein et al., 1935). Mais especificamente, as teorias físicas devem levar em consideragao uma distingao entre os elementos da realidade objetiva e os conceitos físicos operados pela teoria.

A partir disso, para que possamos julgar a pertinencia de uma teoria física, os autores formulam duas perguntas que devem ser feitas frente a ela: 1) a teoria é correta? 2) a descrigao dada pela teoria é completa? Para que uma teoria seja considerada completa é necessário que cada elemento da realidade seja relacionado a um elemento teórico, ou: "cada elemento da realidade física deve ter uma contrapartida na teoria//'s/ca"(Einstein et al., 1935, p. 777). Os autores chamam essa imposigao de condigao de completude.

A TQ, na forma concebida por Bohr, Heisenberg, e a Interpretagao da Complementaridade, assume que a fungao de onda, ^, nos fornece a descrigao completa para um sistema. Essa fungao de onda é expressa como a sobreposigao de autoestados de um operador que representa uma grandeza física observável. Ao fazer uma medida, nao temos como saber previamente qual autovalor a medida fornecerá, apenas a probabilidade de se obter aquele autovalor. Ademais, pelo princípio da incerteza, ao fazermos a medida de um observável A, o sistema se encontrará em um autoestado do operador A. Nesse momento, o sistema nao estará em um autoestado de um operador B (que nao comuta com A) mas em uma sobreposigao de autoestados de B. Ou seja, nunca é possível ter o sistema simultanea-mente no autoestado de dois operadores que nao comutam e isso significa que o sistema nao tem os valores de A e B definidos simultaneamente.

Segundo os autores, a conclusao usual da TQ para isso é afirmar que "quando o momento de uma partícula é conhecido, suas coordenadas nao possuem realidade física" (p. 778). Assim, os autores elencam duas consequencias para esse problema: "(1) A descrigao da TQ para a realidade dada pela fungao de onda é incompleta ou (2) quando os operadores correspondentes a duas quantidades físicas nao comutam, as duas quantidades nao podem ter realidade simultánea" (p. 778).

Como a TQ, em sua forma usual, assume que a fungao de onda nos fornece uma descrigao completa da realidade física de um sistema, Einstein, Podolsky e Rosen apresentam um experimento mental que tem por objetivo provar por absurdo a incompletude da TQ. Basicamente, os autores partem do pressuposto que a TQ está completa e, com a análise do experimento mental, mostram que, obrigatoriamente, tal premissa conduz a nogao de que as grandezas posigao e momento devem ser reais simultaneamente - o que contradiz a interpretagao usual. Logo, a conclusao é que a TQ está incompleta. A estrutura do argumento está representada na Figura 1.

FIGURA 1. A imagem representa a estrutura do argumento EPR, contendo as duas principáis proposites relacionadas ao fato de a TQ ser completa ou incompleta, com base na realidade simultanea atribuida a posigao e ao momento. Através do experimento mental, Einstein, Podolsky e Rosen mostram que p e x tem realidade simultanea, o que descartaria o argumento de que a Teoria Quantica é incompleta.

A. O experimento mental proposto

Com o que foi apresentado na segao II, podemos discutir o experimento mental proposto por Einstein, Podolsky e Rosen:

Para este propósito, vamos supor que temos dois sistemas, I e II, que permitimos interagir do tempo t = 0 até t = T, após o qual supomos que nao há mais nenhuma interagao entre as duas partes. Supomos ainda que os estados dos dois sistemas antes de t = 0 eram conhecidos. Podemos, entao, calcular com a ajuda da equagao de Schrodinger, o estado do sistema combinado I + II em qualquer momento subsequente; em particular, para qualquer t > T. Vamos designar a fungao de onda correspondente por W. Nao podemos, no entanto, calcular o estado em que qualquer um dos dois sistemas é deixado após a interagao. Isso, de acordo com a mecánica quantica, pode ser feito apenas com a ajuda de outras medigoes, por um processo conhecido como a redugao do pacote de onda. Vamos considerar o essencial deste processo. (Einstein et al., 1935, p. 779)

Fizemos um esquema simples (Figura 2) para representar o que é proposto pelos autores. Dois sistemas podem interagir em uma certa regiao do espago, pela qual passam de t = 0 até t = T. Para t>T, as partículas nao interagem mais. Se conhecemos o estado inicial do sistema, podemos descrever o estado do sistema em qualquer tempo usando a equagao de Schrodinger. Mas isso nao nos permite saber o estado em que cada sistema é deixado após a interagao. Para isso, precisaríamos fazer alguma medida (usando algum tipo de detector).

FIGURA 2. A imagem acima ilustra a situagao explicada por Einstein, Podolsky e Rosen, onde dois sistemas, I e II interagem em uma determinada regiao e por um breve intervalo de tempo. Conhecendo os sistemas I e II no instante t=0 é possivel descrever a interagao I+II através da Equagao de Schrodinger. Mas para sabermos as informagoes do sistema após essa interagao, seria necessário realizar uma medigao.

O percurso adotado no artigo EPR é partir do pressuposto de que a TQ é uma teoria completa e mostrar que isso conduz a nogao de que dois operadores que nao comutam representam grandezas que sim existem simultaneamente - o que contradiz a interpretadlo usualmente adotada. Para isso, propoem um operador A representando uma grandeza observável. Esse operador possui um conjunto discreto de autovalores a₁,a₂,a₃,... correspondendo aos autoe-stados u₁(x₁),u₂(x₁),u₃(x₁) ... em que x₁ representa a variável do primeiro sistema. Entao a V (fungao de onda do sistema composto) pode ser expressa em termos de fungoes de x₁:

V = Z^_n⁽x₂)u_n(x 1)    (39)

Em que ^„(x₂) faz o papel de coeficiente da expansao de V na base formada pelos autoestados ortonormais do operador A, desempenhando o papel dos c_n na expressao (29). Os autores, entao, comentam:

Suponha agora que a quantidade A é medida e verifica-se que tem o valor a_k. Entao se concluiu que após a medigao o

primeiro sistema é deixado no estado dado pelafungao de onda u_k(x₁) e que o segundo sistema é deixado no estado dado

pela fungao de onda ^_k(x₂). (Einstein et al., 1935, p. 779)

Com o processo de medida, entao, obtemos o sistema I em um autoestado do operador A. Tal resultado, entretanto, é fruto de termos escolhido a grandeza A para ser medida. Por outro lado, poderíamos ter escolhido fazer uma medida com uma grandeza B, cujo operador nao comuta com A. Nesse caso, os possíveis resultados de medida sao os autovalores b₁,b₂,b₃ do operador correspondentes aos autoestados v₁(x₁),v₂(x₁), v₃(x₁). Nesse caso, podemos es-crever V(x) expandindo-a em termos dos autoestados de B:

V ='Z$_s⁽X2⁾v_s⁽X1⁾    (40)

Analogamente ao que discutimos anteriormente, $_s(x₂) deve ser entendido como o coeficiente de expansao em termos da base formada pelos autoestados ortonormais do operador B. Da mesma forma, também, se fazemos uma medida e verificamos que o sistema I está no autoestado v_r(x₁), entao, também sabemos que II está no autoestado $_r(x₂). O importante no argumento é perceber que podemos escolher se queremos medir a grandeza A ou a grandeza B no sistema I. Isso, entretanto, determina qual é o estado do sistema II. Como os sistemas nao interagem, qualquer medigao no sistema I nao pode alterar o sistema II. Logo, as grandezas associadas aos estados que o sistema II assume já deveriam ser reais antes mesmo da medigao. Aqui já está a essencia do argumento EPR.

Einstein, Podolsky e Rosen, entretanto, vao mais adiante e exemplificam o problema supondo que A e B sao os operadores posigao e momento. Nesse caso, ao invés de termos espectros discretos, trataremos de espectros continuos. Assim, os autores propoem escrever a fungao de onda da seguinte forma

V= £2 e^^(Xl-X2+X0)Pd_V    (41)

em que x₀ é uma constante. Veja que ao escrever a V com essa decomposigao espectral, estamos representando uma "soma" sobre os autoestados do operador momento para o sistema I, dado pela equagao (34), isto é, para uma partícula livre (visto que as partículas nao estao mais interagindo):

2ni

(42)

(43)

u_p⁽X1⁾ = e~h^pXl

Logo, a fungao associada ao sistema II é dada por

tp_v(x2) = e^^(x0-X2)p

A qual também representa uma partícula livre. Existe, entretanto, um detalhe importante: enquanto u_p(x₁) é

autoestado do operador p =

h d 2ni dxi

com autovalor associado +p. ^_p(x₂) é autoestado do operador p =

h d 2ni d%2

asso-

ciado com o autovalor —p. Ou seja, Einstein, Podolsky e Rosen descrevem duas partículas livres com momentos opos-tos. Esse detalhe é extremamente importante: como as partículas interagiram durante um intervalo de tempo, isoladas do resto do universo, temos, por conservagao de momento, que seus momentos resultantes devem ser opos-tos. É esse fato que faz com que, ao medir o momento do sistema I, saibamos necessariamente o momento do sistema II. Caso contrário, teríamos uma violagao de uma lei Física. É justamente essa característica do experimento mental de Einstein que torna as duas medidas "atadas" uma a outra, que dá origem ao que, posteriormente, foi denominado

de emaranhamento quántico (discutiremos esse ponto na próxima segao). Assim, no caso de expandirmos a fungao V, temos

(44)

(45)

(46)

V = J-T^P^(x2^)uP^(x1^)dP

Por outro lado, podemos representar a fungao de onda como autoestado do operador posigao:

V = J_⁺j0_x(x₂>_x⁽Xi)dx

em que

v_x⁽Xi) = S⁽x-x i⁾

no qual x é o autovalor associado para o operador x₁. E, analogamente,

0x(^x2) = hS(x + Xo - X2)    (47)

que é autoestado do operador x₂ com autovalor x + x₀. Se usamos a representagao de Fourier da delta de dirac, conforme discutimos na subsegao A.4, vemos que

0*(x₂) =    _e^2ni/h(x_^x2^+xo⁾Pdp    (48)

Dessa forma, se substituirmos (48) em (45) e usarmos a propriedade da filtragem, retomamos a descrigao dada por (41) - mostrando que as descrigoes sao consistentes na descrigao da mesma realidade. Sintetizamos os resultados no quadro II.

Quadro II. O quadro mostra as fungoes e os respectivos valores dos seus coeficientes de expansao dependo da escolha que tomar-mos em relagao a medigao de p ou q. Escolhendo medir o momento, a posigao nao ficará bem definida, sendo possível adotar u_p(x₁) como autoestado e ^_p(x₂) como coeficiente de expansao. O mesmo vale para a escolha da posigao, onde podem ser observados o autoestado v_x(x₁) e o coeficiente de expansao 0_x(x₂). Pode-se destacar ainda que ao multiplicarmos, nos dois casos, o autoestado pelo seu respectivo coeficiente de expansao obtemos a fungao de onda do sistema composto. Na parte do momento através da integral de forma direta e na parte da posigao através da representagao da fungao delta pela integral de Fourier.

V =	r + ^ 2tc¿ e-h-(^1_^2+Xo)Pdp •'_ro
Se escolhermos p	Se escolhermos q
2ni up(X1) = e~VXl	Vx(X1) = Ó(x-X1)
2m ^fe) = e- P(*°-*2)	0x(X2) = M(x + Xo -X2)
p bem definido	x bem definido
x nao definido	p nao definido

Ou seja, quando escolhemos se vamos medir a posigao ou o momento do sistema I, definimos em qual estado estará o sistema II (por conta do emaranhamento criado pela conservagao de momento). Observamos que os autoe-stados do operador posigao e momento sao significativamente distintos. Como os sistemas nao estao interagindo, entretanto, a medida no sistema I nao pode afetar o estado no sistema II. Logo, deve-se concluir que as duas grandezas representadas por operadores que nao comutam devem ter realidade simultaneamente. Os valores de posigao e momento já deveriam ser reais independentemente das medidas. Com isso, os autores, concluem:

Anteriormente, provamos que (1) a descrigao mecánico quántica da realidade dada pela fungao de onda nao está completa ou (2) quando os operadores correspondentes a duas quantidades físicas que nao comutam as duas quantidades nao podem ter realidade simultánea. Comegando, entao, com a suposigao de que a fungao de onda dá uma descrigao completa da realidade física, chegamos a conclusao de que duas quantidades físicas, com operadores que nao comutam, podem ter realidade simultánea. Assim, a negando de (1) leva a negagao da única outra alternativa (2). Somos, portanto, forjados a concluir que a descrigao mecánico-quántica da realidade física dada pelas fungoes de onda nao está completa. (Einstein et al., 1935, p. 780)

O ponto principal é que o estado possível para o sistema II depende da medida feita no sistema I. Assim, ao escolher qual grandeza medir no sistema I, instantáneamente, se teria um estado definido para o II caso esse estado já nao existisse antes. Portanto, ainda que implicitamente, o argumento está montado sobre a impossibilidade de se transmitir qualquer informadlo instantaneamente - o que violaria a Teoria da Relatividade Especial (discutiremos isso na próxima segao). Em outras palavras, o argumento assume a nogao de localidade nas interagóes físicas. Por fim, os autores concluem

Enquanto nós mostramos, entao, que a fungao de onda nao prove uma descrigao completa da realidade física, deixamos aberta a questao se tal descrigao completa existe ou nao. Nós acreditamos, entretanto, que tal teoria é possível. (Einstein et al., 1935, p. 780)

IV. DISCUSSAO SOBRE O ARGUMENTO EPR

O artigo EPR, apresentando críticas a completude da TQ, gerou diversas consequencias para o desenvolvimento da teoria. Primeiramente, deve-se ressaltar que a proposta dos autores nao foi aceita por Niels Bohr, que - também em 1935 - publicou um artigo com mesmo título do artigo de Einstein, Podolsky e Rosen - reafirmando sua defesa da interpretagao da complementaridade:

Mostra-se que certo "critério de realidade física" formulado em artigo recente com o título acima de A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen contém uma ambiguidade essencial quando aplicado a fenómenos quánticos. Nesse contexto, um ponto de vista denominado "complementaridade" é explicado, a partir do qual a descrigao da mecánica quántica dos fenómenos físicos parece cumprir, dentro de seu escopo, todas as demandas racionais de completude. (Bohr, 1935, p. 696)

Ademais, como mencionamos, o experimento mental proposto no artigo EPR indica um novo tipo de fenómeno físico: quando dois sistemas quánticos interagem, a fungao de onda resultante passa a correlacionar os resultados de medida sobre um sistema com as propriedades do outro sistema - de forma que eles nao podem mais ser representados independentemente. Como discutimos, ao propor a fungao de onda dada pela expressao (40), Einstein, Podolsky e Rosen conseguem, ao determinar o estado da partícula I, instantaneamente, determinar o estado da partícula II.

Esse novo fenómeno foi explorado de forma mais profunda por Schrodinger (1935, 1936) - que cunhou o termo "emaranhamento" para caracterizar tal fenómeno. Mais do que isso, Schrodinger reconhece que o emaranhamento nao é simplesmente uma característica da TQ, é "A" característica, mostrando de forma incontestável enquanto essa se afasta da Física Clássica:

Quando dois sistemas, dos quais conhecemos os estados por seus respectivos representantes, entram em interagao física temporária devido a forgas conhecidas entre eles, e quando após um tempo de influencia mútua os sistemas se separam novamente, entao eles nao podem mais ser descritos da mesma maneira como antes, viz. dotando cada um deles com um representante próprio. Eu nao chamaría isso de um, mas sim o trago característico da mecánica quántica, aquele que forga todo o seu afastamento das linhas clássicas de pensamento. Pela interagao, os dois representantes (ou fungoes ty) tornaram-se emaranhados. (Schrodinger, 1935, p. 555)

Assim, podemos dizer que o argumento EPR consistiu em revelar o fenómeno do emaranhamento na TQ. Para os autores, tal fenómeno deve ser considerado inaceitável visto que ele indica a possibilidade de fenómenos nao-locais. Isto é, ao medir uma partícula, instantaneamente, a outra partícula é afetada nao importa o quao distante ela esteja. Partindo da nogao de localidade, os autores defendem uma visao realista, defendendo que duas grandezas representadas por operadores que nao comutam devem existir simultaneamente.

Se os autores estivessem corretos, a TQ estaria incompleta e estaria faltando a descrigao de parámetros que per-mitisse, de antemao, caracterizar todas as grandezas físicas do sistema. Esses parámetros ficaram conhecidos pelo termo "variáveis ocultas". Assim, embora Einstein, Podolsky e Rosen, nao tenham proposto nenhuma alternativa a interpretagao da Complementaridade da TQ, o caminho a ser seguido em sua proposta seria encontrar uma teoria de variáveis ocultas locais.

Em 1952, David Bohm (1952a), físico norte-americano, inspirado nas discussóes de Einstein, apresenta uma proposta alternativa a interpretagao da Complementaridade, propondo uma formulagao causal e determinista da TQ em termos de variáveis ocultas. Apesar de sua inspiraglo nos trabalhos de Einstein, a proposta de Bohm segue tratando de variáveis nlo-locais¹⁰.

Pode-se parecer que essa discussao sobre existencia ou nao de variáveis locais e sobre completude ou nao da TQ seja um objeto de estudo puramente filosófico, ficando fora do alcance da Física. Entretanto, John Bell (1964) mostrou que seria possível haver uma diferenga empírica entre um sistema quantico ter variáveis ocultas locais ou nao¹¹. Ou seja, Bell conseguiu mostrar que há diferengas físicas mensuráveis que permitem analisar se a interpretadlo usual da TQ (que implica efeitos nao locais) ou a proposta de variáveis locais está correta. Todos os resultados experimentais, até hoje, apontam para a correglo da TQ e, portanto, para a existencia de fenómenos nao-locais, contrariando a con-cepglo do artigo EPR.

Deve-se ressaltar que a n!o-localidade da TQ nao viola a Teoria da Relatividade Espacial, segundo a qual é impos-sível uma informagao ser transportada com velocidade acima da velocidade da luz. Caso isso fosse possível, haveria quebra de nexo causal e poderíamos ter efeitos ocorrendo antes das causas. Isso nao significa, entretanto, que nao é possível ter algum tipo de fenómeno acima da velocidade da luz. Ele só nao pode transportar informagao e prover relagoes de causa e efeito. Por exemplo, imagine que projetemos a luz de lanterna em um anteparo. Se o anteparo está a uma distancia d da lanterna, e movemos a lanterna com velocidade angular w, a imagem da lanterna no anteparo se moverá com velocidade v = <¿id. Se a distancia for grande o suficiente, a velocidade da imagem no anteparo pode superar a velocidade da luz. Isso nao viola a Teoria da Relatividade, pois o fenómeno físico envolve a emiss!o de luz da fonte até o anteparo e isso ocorre com transmiss!o de informagao da velocidade da luz. NIo conseguimos com esse fenómeno transmitir nenhuma informagao ou produzir qualquer efeito com velocidade superior a da luz.

O mesmo acontece com o emaranhamento quantico. Quando fazemos uma medida sobre uma partícula, nao conseguimos controlar qual resultado podemos obter e, portanto, nao temos como causar um efeito específico na outra partícula. Nao há nenhum transporte de informagao e, portanto, nao há nenhum vínculo causal que possa ser estabe-lecido com esse processo.

Dessa forma, somos levados a concluir que a TQ é uma teoria nao local. Como discute Griffiths (2011), o argumento EPR acabou tendo uma história surpreendente. Os autores partiram da localidade para provar o realismo e, com o desenvolvimento histórico, a questlo da realidade nao ficou definida e ainda abandonamos a localidade.

V. CONSIDERALES FINAIS

O artigo EPR é um artigo historicamente muito relevante para o desenvolvimento da TQ. Nele, é apresentada uma crítica a formulaglo da TQ que se tornou hegemónica e que era defendida por pesquisadores como Niels Bohr. Par-tindo da noglo de localidade, Einstein, Podolsky e Rosen defendem que grandezas representadas por operadores que nao comutam devem existir simultaneamente - o que contradiz a interpretaglo da Complementaridade. Esse argumento teve, entretanto, desenvolvimentos surpreendentes. Primeiramente, conduziu ao reconhecimento do fenómeno do emaranhamento como uma característica fundamental da TQ, conforme argumentou Schrodinger. E, posteriormente, levou ao reconhecimento de que a TQ é uma teoria nao-local a partir das verificagoes experimentais do teorema de Bell.

Reconhecendo sua importancia e a possibilidade de apresentá-lo em fases mais iniciais dos cursos de TQ, incluindo para cursos de licenciatura em Física, apresentamos, neste artigo, uma reconstruglo didática do artigo original. Para contribuir com o entendimento do argumento, apresentamos na seglo II, uma revislo dos conceitos de TQ que sao necessários, remetendo-nos ao artigo e aos livros didáticos contemporaneos. Na sequencia, na seglo III, reconstruí-mos a derivaglo e a argumentaglo do artigo, valendo-nos dos conceitos revisados na seglo anterior. Por fim, na seglo IV, discutimos brevemente as consequencias históricas advindas do artigo e comentamos suas implicagoes para o entendimento contemporáneo da TQ como uma teoria nlo-local.

Conforme discutimos na introduglo, a apresentaglo de fontes históricas primárias no contexto do ensino de Física tem sido defendida por diferentes autores. Deve-se atentar, entretanto, que nao é qualquer fonte histórica ou qualquer episódio que contribui para as discussoes didáticas. Karam (2021), por exemplo, discute que os episódios devem ser cuidadosamente escolhidos para que se adequem ao contexto pedagógico. Nesse sentido, defendemos que o artigo escrito por Einstein, Podolsky e Rosen (1935) é uma fonte extremamente interessante para ser levada para os cursos de teoria quantica do bacharelado e licenciatura.

Primeiramente, trata-se de um artigo curto e, portanto, de rápida leitura. Em segundo lugar, o artigo é estruturado de uma forma lógica e clara, o que permite discutir a própria natureza da argumentaglo científica. Em terceiro lugar, o formalismo matemático usado pelos autores é compatível com o formalismo e conceitos vistos em cursos introdu-tórios de Teoria Quántica, o que torna possível compreende-lo com relativa facilidade. Por fim, o artigo aborda um dos temas mais importantes, conceitual e historicamente, da Teoria Quantica contemporánea, o emaranhamento quántico, tópico usualmente abordado em fases finais dos cursos de Teoria Quántica (as vezes, nem sendo abordado).

De qualquer forma, deve-se atentar que um texto científico, como um artigo, é muito diferente de um texto didá-tico. Ele foi escrito por especialistas para dialogar com outros especialistas. Por isso, nao somente o formato do texto é específico, mas também a linguagem e os conceitos abordados. Para que um texto científico possa ser apresentado no contexto pedagógico, é necessário haver uma preparado, ou transposigao didática (Chevallard, 1991). Neste artigo, apresentamos justamente uma narrativa que permite fazer a tradugao entre o contexto científico e o didático. Primeiramente, na segao II, apresentamos, de forma estruturada, os conceitos básicos da Teoria Quántica, que sao utilizados no artigo EPR. Muitos desses conceitos aparecem no artigo original, mas nao sao explicados pelos autores (como a representagao da delta de Dirac por sua transformada de Fourier, por exemplo). Além de preparar o leitor, fazendo uma conexao com os conhecimentos usualmente apresentados em cursos de quántica, o que, do ponto de vista didático, corresponderia a relacionar o novo assunto aos conhecimentos prévios do aluno, o texto também traz uma representagao do argumento em formato de diagrama - ajudando a explicitar o que está em questao na crítica dos autores - e uma representagao do experimento mental, o que também nao há no artigo original. Entendemos que esses elementos, juntamente com a explicagao organizada do argumento, permitem criar a transposigao didática ne-cessária.

Sugerimos que tal tópico seja abordado em cursos de Teoria Quántica da graduagao, seja licenciatura ou bachare-lado, logo após a apresentagao do formalismo matemático da Teoria. Isso fará com que o tópico seja abordado muito mais cedo do que o é usualmente. Uma possível forma de se fazer isso na sala de aula seria seguir a seguinte sequencia. 1) Pedir para os alunos fazerem uma primeira leitura do artigo original e entregar ao professor todas as dúvidas. 2) O professor pode, entao, apresentar a revisao teórica necessária (o correspondente a segao II deste artigo) e discutir seu o argumento geral (com as figuras 1 e 2, por exemplo). 3) Os alunos podem fazer uma nova rodada de leitura e, entao, 4) o professor apresenta o desenvolvimento do artigo detalhadamente. Pode-se, nesse momento, 5) promover uma discussao na sala sobre o argumento apresentado no artigo. Ao seguir esses passos, entendemos que, primeira-mente, gera-se um fator motivacional, provocando nos alunos a vontade de entender um artigo importante da história da Teoria Quántica, escrito por cientistas que contribuíram significativamente para ciencia. Na sequencia, garante-se que todos os conhecimentos prévios necessários sejam sistematizados de forma a viabilizar a compreensao do texto. Por fim, apresenta-se o artigo e promove-se um debate, de forma que os alunos possam se aprofundar no entendi-mento do tema e elaborar sua compreensao sobre o tópico em questao.

Esperamos que esse trabalho contribua para a comunidade de Ensino de Física, viabilizando que a discussao sobre tal tema possa ser efetivamente levado para o contexto pedagógico. Entendemos que a discussao do trabalho original em sala de aula pode ser um fator importante de motivagao para estudantes de Física e pode contribuir para um melhor entendimento da TQ.

 

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1

   A formulagao axiomática se refere a organizagao da teoria em uma sequencia de postulados, os quais nao necessitam de demonstragao para que sejam aceitos. É um trabalho que busca elaborar e sintetizar a Teoria Quantica (Bunge, 2007)

2

   Parte da discussao entre Einstein e Bohr pode ser encontrada no livro "Teoria atómica e describo da Natureza' (Niels Bohr, 1934)

3

   Existe na literatura uma distingao entre Interpretagao da Complementaridade de Bohr e a Interpretagao de Copenhague (Gomatam, 2007). No presente artigo vamos nos referir ao termo Interpretagao da Complementaridade. A Interpretagao da Complementaridade possui tres diferentes proposigoes (Jammer, 1966) complementaridade onda-partícula (natureza dual da radiagao e matéria), a complementaridade paralela (duas grandezas de um mesmo modelo físico nao podem ser medidas com precisao absoluta) e complementaridade circular (complementaridade entre a descrigao dada pela equagao de Schrodinger e a realizada por uma medigao experimental).

4

   Para uma visao realista, o ente real existe "em si', independente do nosso conhecimento (Bunge, 1973). A visao de mundo realista de Einstein, mais especificamente, trata da capacidade de predizermos com 100% de probabilidade o valor de uma quantidade Física, independente da forma como é realizada a medigao.

5

A descrigao dos sistemas físicos na Teoria Quántica é dada por meio de um objeto matemático denominado vetor de estado, conceito que substitui as posigoes e velocidades na Mecánica Clássica (Laloe, 2001). O vetor de estado nao é uma propriedade de um sistema físico, mas um procedimento experimental para testar e/ou preparar sistemas físicos.

6

Essa afirmagao é a mais tradicionalmente difundida. Porém, existem formulagoes menos restritivas, em que mesmo os operadores nao-adjuntos tem autovalores reais (Bender et al., 2003; Mostafazadeh, 2001)

7

   Estamos escrevendo a solugao geral como um somatório por simplicidade. Deve-se notar, entretanto, que isso só é adequado para sistemas confinados. Para um sistema nao confinado, o espectro do operador hamiltoniano é contínuo e a solugao geral é dada por uma integral.

8

   A representagao pode ser escrita como o_x = ^<x¿> — <x>¿ e o_v = ^<p¿> — <p>¿. Sendo que <x> e <p> sao os valores esperados de x e p, da mesma forma que <x¿> e <p¿> sao os valores esperados dos observáveis ao quadrado.

9

   A relagao de comutagao entre posigao e momento pode ser escrita da seguinte forma (Sakurai & Napolitano, 2013):

ih

\^quVi) = 2Ü^Sii

Essa relagao implica que q e p_x sao observáveis incompatíveis, sendo impossível encontrar autoestados simultáneos de q e p_x;

10

   O foco do artigo de Bohm (Bohm, 1952a, 1952b) nao deixava clara a explicagao nao-local das variáveis ocultas, mas a interpretaglo atual dessa questlo deixa claro que na verdade a nao-localidade já estava presente nessas discussoes em torno das variáveis ocultas de Bohm.

11

   Uma apresentaglo sobre o teorema de Bell para populagao geral foi apresentada de forma muito clara e acessível em (Mermin, 1985)