INTRODUJO

No comego da década de 2000, poucos livros didáticos (LD) abordavam conteúdos de física moderna (^{Ostermannn & Ricci, 2002}), porém, as pesquisas e discussoes em ensino de física apontam sobre a importancia de se abordar tópicos de física moderna no ensino de ciencias. Nessa ocasiao, Ostermann & Ricci (2002, 2004) apresentaram dois artigos alertando sobre algumas inconformidades na abordagem do conteúdo de Teoria da Relatividade Especial (TRE) presentes em poucas obras brasileiras, que na ocasiao, já tratavam desse assunto e em livros internacionais, que muitas vezes servem de fonte para licenciandos e autores de livros didáticos (^{Osterman, Ricci, 2004}) apresentam: (1) uma abordagem inadequada sobre a contrajo relativística e aparencia visual dos corpos que sofrem esse efeito; (2) a apresentagao do conceito (problemático) de massa relativística. Em paralelo aos trabalhos de Ostermann & Ricci (2002, 2004), Martins (1998, 2012) apontou que livros didáticos e de popularizadlo da ciencia apresentam concepgoes equivocadas sobre a relagao massa-energia, E = mc ² . Recentemente, Nunes, Queirós e Cunha (2021) mostraram que as incongruencias apontadas por Ostermannn & Ricci (2002) sobre a aparencia visual de uma contragao de Lorentz, ainda estao presentes nos doze livros didáticos de física aprovadas pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD-2018).

Tendo vista que há poucos trabalhos que promovem discussoes abordando o ensino de relatividade na educagao básica (Sampaio et al., 2019) propusemos fazer uma análise do conteúdo de TRE com todos os 12 LD de física aprova- dos pelo PNLD-2018, verificando como estes livros abordam o conceito de massa e a relagao massa-energia, verificando se foram erradicadas as incongruencias levantadas por Ostermann & Ricci (2004) e Martins (1998, 2012).

Assim, esse ensaio apresenta os resultados obtidos por essa análise e foi estruturado da seguinte forma: na segao Incongruéncias Conceituais sobre a Relatividade Especial, discutimos as incongruencias denunciadas por Ostermann & Ricci (2004) e Martins (1998, 2012). Optamos por fazer uma discussao detalhada, dialogando com vários autores, para que o material produzido nessa segao, e suas respectivas subsegoes, possa servir de subsídios para licenciandos, professores, estudantes e autores de LD. Em seguida, detalhamos a metodologia que empregamos para fazer a aná lise. A seguir, apresentamos os resultados e discutimos, em subsegoes, cada uma das incongruencias detectadas. Por fim, apresentamos as consideragoes finais.

Convém enfatizar que esse trabalho nao visa minimizar a importancia dos LD e seus respectivos autores. Estamos cientes que o LD é um material complexo, que envolve diversas dimensoes e, por essa razao, esse trabalho nao deve ser usado para emitir um juízo conclusivo sobre a qualidade dos LD. Estas discussoes visam contribuir para o aperfei- goamento do conteúdo dos LD e dar subsidios que auxiliem os educadores e educandos nas discussoes sobre TRE.

A. O Conceito de Massa Relativística

O conceito de massa apresenta uma rica história (Jammer, 1999, 2009), mas que muitas vezes é omitida dos livros didáticos e técnicos. Inicialmente, o conceito de massa confundia-se com as nogoes de peso ou de matéria (Jammer, 1999, 2009). Algumas narrativas atribuem ao filósofo natural e matemático italiano Galileu Galilei a definigao moderna de massa, porém, isso nao é verídico (Westfall, 1966, Jammer, 1999, 2009).Foi Newton, em seu Principia, que tentou fornecer uma definigao rigorosa de massa, distinguindo a massa inercial, que ele associou a quantidade de matéria de um corpo (^{Newton, 2012a}, p. 39), e a massa gravitacional, que ele associou a interagao gravitacional, mas nao espe- culou sobre a sua natureza (Westfall, 1993, ^{Cohen, 1999}, Jammer, 1999, 2009). Newton também realizou experimentos envolvendo péndulos cujo bulbo era feito de diferentes materiais e concluiu que a massa inercial e massa gravitacional eram equivalentes (^{Whittaker, 1952}, 1953, Westfall, 1993, Cohen, 1999, Newton, 2012). No século XVIII, Euler definiu a massa inercial como uma medida da inércia do corpo por meio do coeficiente entre forga e aceleragao (Jammer, 1999). Embora a obra de Newton e a definigao de Euler tenham ganhado forte adesao, principalmente a partir do século XVIII (Whittaker, 1952, Westfall, 1966, 1993, Cohen, 1999, Jammer, 1993, 1999, 2009), porém alguns comenta ristas e críticos denunciaram um caráter circular entre as definigoes de massa e forga (Poincaré, 1902, Whittaker, 1952, Westfall, 1993, Cohen, 1999, Jammer,1999, 2009).

No final século XIX, os desenvolvimentos na eletrodinamica indicavam que a natureza última da massa poderia ser eletromagnética (Poincaré, 1895, 1900, 1902, 1904, 1905, 1906, 1908, Lorentz, 1912, 1931, Langevin, 1913, Whittaker, 1953, Martins, 1989, 2005, 2015, Darrigol, 1995, 1996, 2003, 2004, 2006, Miller, 1997). Ainda no final do século XIX, estudos envolvendo elétrons em altas velocidades, mostravam que sua inércia crescia a medida que sua velocidade se aproxima da velocidade da luz. O fato mais curioso é que a variagao da massa inercial do elétron era diferente para as diregoes longitudinais e transversais, em relagao ao movimento (Langevin, 1913, Whittaker, 1953, Fadner, 1988, Mar tins, 1989, 2005, 2012, 2015, Darrigol, 1995, 1996, 2003, 2004, 2006, ^{Costa, 1995}, Miller, 1997). Em 1898 e 1900, o físico Phillip Lenard (1862-1947) mediu a razao e/m (sendo e é a carga do elétron, m sua massa) para elétrons em velocidades próximas a da luz e detectou um aumento de sua massa (MARTINS, 2005, 2015). Estes resultados foram confirmados em 1901, pelo físico Walter Kaufmann (1871-1947) (Miller, 1997, Martins, 2005, 2015). Em 1902, o físico Max Abraham (1875-1922), mostrou que a variagao da massa do elétron dependeria da diregao em que a forga externa é aplicada sobre a carga

(Miller, 1997, Martins, 2005, 2015). De forma simplificada, Abraham mostrou que é mais fácil acelerar (ou desacelerar) um elétron do que defleti-lo, pois no primeiro caso a inércia é menor (^{Martins, 2005}, 2015). Embora, o modelo matemático proposto por Abraham tenha sido contestado por Bucherer e, posteriormente, por Lorentz, todos eles concordavam com as implicagoes qualitativas apresentadas por Abraham (Fadner, 1988, Martins, 1989, 2005, 2012, 2015, Darrigol, 1995, 1996, 2003, 2004, 2006, Miller, 1997).

INCONGRUENCIAS CONCEITUAIS SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL

Como dito na introdugao neste ensaio, buscamos verificar se as incongruencias conceituais em relatividade denuncia¬das por Ostermann & Ricci (2004) e Martins (1998, 2012) aparecem nos LD de física aprovados no PNLD-2018. Como estas inconsistencias apareceram em LD aprovados no PNLD-2012 (Neves, 2014) e no PNLD-2015 (Jardim, Otoya, Oli- veira, 2015), e sao recorrentes em livros técnicos e de divulgagao científica nacionais e internacionais (Ostermann, Ricci, 2004, Martins, 1998, 2012, Nunes, Queirós, 2020), trata-se entao de concepgoes sobre a relatividade que já se enraizaram e se tornaram obstáculos epistemológicos, no sentido proposto por ^{Bachelard (1996}). A superagao destes obstáculos, diz-nos Bachelard (1984) exige a prática da filosofia do nao, isto é, aprender a dizer nao a essas percepgoes incongruentes (Moreira, Massoni, 2016, p. 27).

Por isso, para superarmos essas incongruencias conceituais, é necessário estudá-las em sua origem, mostrar porque elas sao ou se tornaram incongruentes, dispondo de argumentos sólidos e um diálogo proficuo com outros auto¬res, construindo uma interpretagao mais adequada sobre a Teoria da Relatividade Especial. Por essa razao, optamos em discutir cada uma das tres incongruencias em subsegoes próprias. Em cada uma delas faremos uma pequena con- textualizagao histórica sobre o conceito e apresentaremos um arsenal de argumentos sólidos que mostram porque elas sao incongruentes e, por essa razao, a formagao de um espirito científico exige que digamos nao a elas.

Paralelo a esses desenvolvimentos, em 1900, Henri Poincaré mostrou que a radiagao também deveria apresentar uma massa inercial (Poincaré, 1900, Lorentz, 1912, 1931, Langevin, 1913, Whittaker, 1953, Kantor, 1954, Fadner, 1988, Martins, 1989, 2005, 2012, 2015, Darrigol, 1995, 1996, 2003, 2004, 2006, Miller, 1997). Posteriormente, Abraham e Hasenhorl, mostraram que uma caixa perfeitamente espelhada, cheia de radiagao, deveria sofrer um aumento de sua inércia (Lorentz, 1912, 1931, Langevin, 1913, Whittaker, 1953, Kantor, 1954, Fadner, 1988, Martins, 1989, 2005, 2012, 2015, Darrigol, 1995, 1996, 2003, 2004, 2006, Miller, 1997). Embora todos estes resultados tenham aparecido antes dos trabalhos de Einstein, eles foram assimilados pela Teoria da Relatividade. Assim, logo que a Teoria da Relatividade surgiu, os pesquisadores reconheceram trés tipos de massa inercial (Langevin, 1913, ^{Costa, 1995}, Miller, 1997, Martins, 1989, 2005, 2012, 2015):

Massa cinética, associada a energia eletromagnética de uma carga em movimento;

Massa maupertuisiana de Poincaré, que está associado a quantidade de movimento (momento) dos corpos pon- deráveis e da radiagao; Massa acelerativa, de Abraham, que está associada a forga aplicada sobre um corpo ponderável. Essa massa acelerativa pode ser longitudinal (quando a forga aplicada sobre o corpo é paralela ao vetor deslocamento dele) ou transversal (quando a forga aplicada sobre o corpo é perpendicular ao seu vetor deslocamento).

Em seu ensaio de 1905, Einstein estudou a variagao da inércia dos elétrons em movimento uniforme como uma consequéncia do princípio da relatividade e propos que esse efeito deveria ser verificado em todos os corpos ponde- ráveis (Einstein, 1905a). Einstein (1905b) também deduziu uma regra para transformagao das massas longitudinal e transversal, porém a dedugao desta última estava incorreta (Cullwick, 1983, Miller, 1997, Martins, 2015). Em 1906, Planck corrigiu o erro de Einstein e apresentou a forma relativística da hamiltoniana (Planck, 1906, Whittaker, 1953, Miller, 1997, Martins, 2015). A partir da hamiltoniana, Planck definiu o momento generalizado e a partir dele, mostrou que todas as massas inerciais poderiam ser deduzidas a partir desse princípio (Planck, 1906, Whittaker, 1953, Miller, 1997, Martins, 2015). Em 1908 e 1909, G. N. Lewis e R. C. Tolman, desenvolveram, a partir do trabalho de Planck, os fundamentos básicos da dinámica relativística (Lewis, Tolman, 1909, Martins, 2015). Esse trabalho superou aos de seus predecessores porque desenvolvía a dinámica relativística sem fazer uso de argumentos eletromagnéticos.

Até esse momento, todos os estudos sobre a dinámica relativística utilizavam o eletromagnetismo como ponto de partida. Lewis e Tolman produziram uma versao da dinámica de partículas que era independente do eletromagnetismo, ou seja, que partía apenas de conceitos mecánicos - que é o modo como atualmente se apresenta essa teoria em livros didáticos. Um dos aspectos importantes do trabalho desses autores foi definir a massa como a razao entre o momentum e a velocidade - ou seja, tomando a equagao p = m.v como uma definigao da massa. Desse modo, os antigos conceitos de massa longitudinal e massa transversal (que eram baseados na equagao F = ma) acabaram sendo abandonados. (^{Martins, 2015}, p. 239)

Segundo essa interpretagao, a massa newtoniana (de aqui em diante denotada por m) seria tao somente o valor da massa de repouso da partícula, enquanto a massa relativística dependeria da velocidade da partícula em relagao ao observador. Portanto, massa nao mais seria uma propriedade exclusiva de uma partícula ou um corpo, mas um atributo físico relativo, dependente do observador. Talvez seu maior atrativo seja o de permitir continuar escrevendo o momentum linear relativís tico com a forma matemática de seu correspondente newtoniano, apenas substituindo-se a massa newtoniana (massa de repouso) pela massa relativística. (^{Ostermann, Ricci}, 2004, p. 87)

Essa definigao tem sido usada para justificar a razao pela qual um corpo ponderável nao pode atingir velocidades iguais ou maiores que a luz, pois sua inércia relativística seria infinita ou imaginária (Ostermann, Ricci, 2004). Porém, como vimos nesse breve histórico, Searle e Thompson já haviam chegado a essa conclusao estudando o campo eletro- magnético de elétrons em alta velocidade, anos antes do surgimento da relatividade especial. O fato que queremos chamar a atengao é que a introdugao de uma massa relativística traz mais problemas conceituais do que benefícios.

Um primeiro problema com essa nogao é que ela induz a pensar que as expressoes para outras grandezas mecánicas podem ser obtidas das correspondentes expressoes newtonianas apenas substituindo-se, nelas, a massa newtoniana pela massa relativística. [...] Um segundo problema, e mais grave, com a nogao de massa relativística, surge da identificagao tácita de m_r com a medida da inércia de um corpo material que é, por definigao, a massa inercial. Tanto na Mecánica Clássica como em sua versao relativística, a massa é sempre definida e medida por suas propriedades inerciais (massa inercial) ou gravi- tacionais (massa gravitacional). [...] Outra crítica que se pode fazer ao conceito de massa relativística é aquele pode dar ao aluno a impressao de que os efeitos relativísticos sao devido a algo que acontece com o corpo, ao passo que eles sao uma consequencia das propriedades do espago e do tempo. [...] A massa relativística nao é uma grandeza relevante sequer do ponto de vista formal. Sob o ponto de vista histórico, isso fica evidente a partir da necessidade que houve de reformular o conceito newtoniano de momentum linear, para manter a covariáncia do princípio da conservagao do momentum linear, e nao o conceito newtoniano de massa. Outra indicagao disso é fornecida pela relagao existente entre a energia mecánica de uma partícula livre e o valor de seu momentum linear. (^{Ostermann, Ricci, 2004}, p. 88-90)

Além disso, nos invariantes, que aparecem na formulagao 4-vetorial da teoria da relatividade especial, "o conceito de massa relativística nao tem lugar nem qualquer fungao. [...] a massa que aparece nessa formulagao é a massa newtoniana." (Ostermann, Ricci, 2004, p. 90). Como essa formulagao é a base da construgao da Teoria da Relatividade Geral, "percebemos, entao, que a nogao de massa relativística é inteiramente supérflua e descartável na teoria da relatividade inteira, incluindo a gravitagao." (Ostermann, Ricci, 2004, p. 91). Do ponto de vista do ensino de ciéncias, o conceito de massa relativística deve ser suprimido nas aulas sobre relatividade.

Com isso, se evitaria que o aluno fosse induzido, em seu contato formal com a RR [Relatividade Restrita], a utilizar este conceito; e, ao mesmo tempo, se reforgaria a ideia de que é o momentum linear relativístico que difere do newtoniano no limite de velocidades relativísticas, e nao a massa relativística de sua correspondente newtoniana. Na RR se deveria, desde o início, falar apenas em uma massa, a massa newtoniana, evitando-se inclusive a expressao dúbia massa de repouso. Muito mais adequado é introduzir o conceito de momentum linear relativístico do que o de massa relativística. O conceito de momentum linear newtoniano é bastante usado no ensino médio (a chamada quantidade de movimento), e valeria a pena mostrar como ele é generalizado na RR. Infelizmente, poucos livros didáticos disponíveis para o ensino médio o fazem. (^{Okun, 1989}, p. 99)

Dadas essas dificuldades, a tendencia mais comum entre os educadores é considerar o conceito de massa relati vística como supérfluo e potencialmente danoso, pois pode levar a uma concepto incongruente da teoría da relativi dade (Hecht, 2009, Jardim, Otoya, Oliveira, 2015). Na proposta de reconstruyo educacional da Teoria da Relatividade para o Ensino Médio, apresentada por Kamphorst et al. (2021) ao periódico Science and Education, o conceito de massa relativística nao é abordado. Por outro lado, há alguns pesquisadores e educadores que insistem na relevancia do conceito de massa relativística (Sandin, 1991; Hecht, 2009). Uma síntese dos argumentos a favor do ensino do conceito de massa relativística aparece em um manifesto de Sandin (1991). O principal argumento dos defensores é que "a massa relativística pinta um quadro da natureza que é bela em sua simplicidade" (Sandin, 1991, p. 1036) e remove-la de todos os livros didáticos seria uma forma de censura (Sandin, 1991, p. 1036).

Infelizmente, os argumentos de Sandin (1991) nao superam as críticas levantadas por Okun (1989), Ostermann & Ricci (2004), Hecht (2009) e Jardim, Otoya & Oliveira (2015). Por essa razao, acreditamos que a abordagem mais ade- quada é aquela adotada por Kamphorst et al. (2021), isto é, nao introduzir o conceito de massa relativística.

B. Concepgóes Equivocadas Sobre a Relagao Massa-Energia

Na subsegao anterior, vimos que o surgimento da relagao massa-energia, E = mc ² , está estreitamente conectado com os estudos sobre uma suposta natureza eletromagnética da massa e precede o surgimento da Teoria da Relatividade Especial (Ives, 1952, Fadner, 1988, Martins, 1989, 2005). Porém, foi com Einstein que esta relagao foi popularizada e se tornou um símbolo da Teoria da Relatividade e da própria física. Segundo Martins (2012, p. 122): "a equagao E = mc2 é uma das mais famosas de toda física, e tem sido apresentada de forma errónea tanto na divulgagao científica quanto em livros didáticos".

Outras incongruencias estao relacionadas a maneira como a relagao massa-energia é interpretada. Uma destas incongruencias está relacionada sobre o limite de validade desta equagao. "Praticamente todos os textos de divulgagao sobre relatividade apresentam essa equagao como sendo totalmente geral, ou seja, válida para todas as formas de energia: a toda massa m estaria associada uma energia E dada por E = mc ² , e vice-versa." (Martins, 2012, p. 123). É verdade que Einstein (1905b) inferiu que essa relagao fosse uma lei geral, porém, Planck (1907) mostrou que essa equagao é válida apenas para um ponto material ou para um sistema fechado que nao esteja sob agao de pressoes externas. Planck (1907) mostrou que para sistemas extensos sobre agao de pressoes externa, a variagao da inércia do sistema é devido a variagao da entalpia, portanto a relagao massa-energia deve ser substituída por uma relagao massa- entalpia (cf. Martins, 2012, p. 139-144). Einstein (1907) também mostrou que uma barra horizontal em movimento uniforme, sendo comprimida por forgas de mesma intensidade em cada uma de suas extremidades, também apresen tará um aumento de sua inércia, mas que essa relagao nao obedece a equagao massa-energia. Também nos estudos sobre sistemas extensos e contínuos, "o próprio conceito de massa inercial maupertuisiana deve ser abandonado, sendo necessário utilizar um novo conceito, o de tensor de momento-energia" (Martins, 2012, p. 123). Além disso, uma pesquisa conduzida por Silvia Petean, mostrou que a relagao massa-energia nao se aplica para o caso da energia potencial elétrica (Martins, 1989, 2012, Petean, 1991). Entao, qual o limite de validade desta equagao?

Pode-se afirmar (embora nao estejamos provando isso aqui) que a relagao E = mc2 é válida apenas para sistemas isolados.

Ela pode ser interpretada de forma correta da seguinte forma: "Se a energia total de um sistema isolado é E, entao esse sistema tem uma massa inercial m = E/c ² ." (Martins, 2012, p. 123)

A segunda incongruencia associada a relagao massa-energia é aquela denunciada por Martins (2012), que afirma que esta equagao estabelece uma equivalencia entre massa e energia e que por isso, na teoria da relatividade, pode- se eliminar o conceito de massa. Trata-se de um equívoco conceitual, como podemos ver na explanagao longa, porém necessária de Martins (2012, p. 124-125):

Mesmo se fosse uma relagao geral, essa equagao nao poderia ser interpretada como uma equivalencia nem como uma conversao entre massa e energia. Vejamos o motivo. De acordo com o próprio significado da palavra equivalente, duas coisas podem ser consideradas equivalentes quando "tem o mesmo valor", em algum sentido. Por exemplo, 32° Fahrenheit sao equivalentes a 0 ° Celsius e 4,2 Joules sao equivalentes a 1 caloria. Nesses dois exemplos, estamos utilizando nomes diferentes para indicar uma mesma coisa (certa temperatura, ou certa quantidade de energia). É como utilizar os nomes "estrela matutina" e "estrela vespertina" para indicar Venus: trata-se de designagoes diferentes para um mesmo objeto. Se massa e energia fossem equivalentes, isso significaria que essas palavras representam a mesma coisa, descritas de formas diferentes. Nesse caso, a relagao E = mc² seria um simples tipo de definigao e nao seria uma lei física. Ninguém considera, por exemplo, que a equagao de conversao de calorias para joules ou de temperatura Celsius para temperatura Fahrenheit seja uma lei física. Se E = mc2 estabelecesse uma equivalencia entre massa e energia, essa relagao jamais poderia prever fenómenos nem ser testada experimentalmente, e sua utilidade científica seria muito pequena. É fácil de ver, no entanto, que massa e energia nao sao nomes diferentes para uma mesma coisa. Sao grandezas físicas que sao definidas e medidas de modos independentes. Em principio, podemos medir a massa de um corpo, depois fornecer-lhe ou retirar-lhe energia (por exemplo, por passagem de calor) e medir novamente sua massa. Os processos de medida de massa e de energia sao total mente independentes, e podemos testar se as variagoes de massa e energia sao proporcionais ou nao, se dependem do tipo de energia fornecida, e se obedecem a relagao quantitativa ñE = Am.c2. Essa relagao foi confirmada, por exemplo, no estudo de reagoes nucleares. É claro que, na prática, nao conseguimos fazer esse tipo de teste em experimentos de laboratório ordinários porque as variagoes de massa seriam inferiores a sensibilidade de nossos instrumentos; mas basta sabermos que isso é possível em principio para vermos que se trata de uma lei física, com conteúdo empírico, que pode ser testada - e nao uma definigao disfargada".

Além disso, agrava o fato de que a massa total de um sistema pode ser aferida, porém o mesmo nao se aplica a energia total, nesse caso só podemos medir a variagao de energia do sistema (^{Martins, 2012}, p. 125). Novamente, é verdade que Einstein (1905b) propós que a inércia de um sistema seria uma medida de sua energia total, porém, como essa conclusao deriva da premissa que essa equagao descreve uma lei geral, mas como, posteriormente, essa premissa foi refutada por Planck (1907) e pelo próprio Einstein (1907), a conclusao também deve ser rejeitada. Também é pre ciso ver que as dedugoes que estabelecem a correlagao entre a variagao e de massa e a variagao de energia para corpos ponderáveis, tomam como ponto de partida o teorema trabalho-energia bem como a relagao entre massa e velocidade (Martins, 2012, p. 125). Portanto, "estender essa relagao para a massa de repouso da partícula exige um salto concei- tual" (Martins, 2012, p. 125).

A terceira incongruencia, também denunciada por Martins (2012), afirma que existe uma transformagao entre massa em energia e vice-versa. Alguns autores ainda inferem a partir desse fato que a relatividade introduz um novo tipo de lei de conservagao: a da massa-energia.

Se a energia pudesse se transformar em massa, teríamos várias consequencias estranhas. Em primeiro lugar, a energia nao se conservaria pois, quando surgisse massa, desapareceria energia. Seria a soma E + m.c2 que se conservaria. Em segundo lugar, se a equagao E = m.c2 for válida e, além disso, a energia puder ser transformada em massa, nem a massa nem a energia se conservam. No entanto, tanto a massa quanto a energia se conservam. Essa interpretagao está equivocada. Suponhamos que um corpo A recebe calor do corpo B. Tanto a energia quanto a massa de A vao aumentar, e tanto a massa quanto a energia de B vao diminuir. A energia total do sistema e a massa total do sistema A + B sao constantes. [...] [Por tanto,] se tanto a massa quanto a energia se conservam, é claro que um nao pode se converter ou transformar no outro. (Martins, 2012, p. 125-127)

Alguns autores tratam a matéria como sinónimo de massa, e usam como "prova" da transformagao de massa em energia, o processo de aniquilagao entre um elétron e um pósitron. Trata-se também de uma interpretagao equivo cada:

Consideremos agora um exemplo que é muitas vezes citado como "prova" de transformagao de massa em energia: um elétron e um pósitron podem se aniquilar, produzindo dois ou tres fótons de radiagao g. Nesse caso, se nao levarmos em conta a massa maupertuisiana dos fótons, a massa nao se conservaria; mesmo assim, seria inadequado falar em transfor magao de massa em energia, pois a energia total inicial é igual a energia total final. Se levarmos em conta a massa mau pertuisiana da radiagao g tanto a massa quanto a energia se conservaram. Vemos, assim, que um ponto crucial em todas essas discussoes é saber se podemos ou nao atribuir uma massa a radiagao. Como já dissemos, nao se pode atribuir uma massa de repouso a luz no vácuo; mas pode-se associar a ela uma massa dinámica. Muitas vezes, as pessoas que falam sobre transformagao de massa em energia estao confundindo massa com matéria e energia com radiagao. Na aniquilagao de um elétron e um pósitron temos, inicialmente, matéria (em certo sentido); depois da aniquilagao nao temos matéria, mas temos radiagao. Teríamos, assim, uma transformagao de matéria (massa) em radiagao (energia). Na física clássica, a massa era realmente identificada com a quantidade de matéria do corpo. No entanto, na teoria da relatividade, o conceito é muito diferente. Se matéria e massa fossem o mesmo conceito, nao poderíamos falar sobre a variagao de massa de uma determi nada quantidade de matéria, quando essa matéria é acelerada. Da mesma forma, nao se deve identificar os conceitos de energia e radiagao. A radiagao tem energia, mas um corpo material também tem energia. (Martins, 2012, p. 125-127)

Acreditamos que o melhor exemplo para desconstruir a concepgao de equivalencia ou transformagao entre massa e energia é aquele também proposto por Martins (2012):

Enfim, vale a pena comparar a equagao E = mc² da relatividade com a relagao E = hf, da teoria quántica. Por que motivo, no segundo caso, ninguém fala em equivalencia entre energia e frequencia, ou transformagao de energia em frequencia? Nos

dois casos temos uma constante universal (c ou h) relacionando duas grandezas físicas, que sao proporcionáis. Essas duas equagoes sao exatamente da mesma natureza. Nenhuma delas estabelece nem equivalencia nem possibilidade de transfor mando de uma coisa na outra. (Martins, 2012, p. 128)

Por fim, uma quarta incongruencia bastante popular envolvendo essa relagao, é aquela apontada por Nunes & Queirós (2020) na qual afirma-se que a luz nao tem massa. Assim, convém perguntar: "pode-se associar uma massa a luz? Depende do tipo de massa. Nao faz sentido associar uma massa acelerativa a luz, pois ela nao pode ser acelerada (pelo menos no vácuo). Mas pode-se associar a radiagao uma massa maupertuisiana.". (Martins, 2012, p. 118). Esse foi o raciocinio empregado por Poincaré (1900) e, posteriormente, por Einstein (1906). Os dois pesquisadores conclu- íram que a massa associada da luz é dada por (Martins, 2012, p. 120): m = p/c = E/c ² .

Portanto, a luz apresenta um tipo particular de massa, porém nao podemos associar essa inércia a uma massa de repouso, pois nao existe referencial inercial onde a luz esteja em repouso. (Martins, 2012).

METODOLOGIA

A partir das incongruencias levantadas por Ostermann & Ricci (2002, 2004) e Martins (2012) e discutidas nas subsegoes da segao anterior, estabelecemos duas categorias a priori para orientar a análise dos livros didáticos (Tabela I).

TABELA I: Categorias conceituais para análise do conteúdo. Fonte: Autoral. 

O material para análise foram os capítulos que abordam de Teoria da Relatividade nos livros didáticos de Física aprovados pelo PNLD-2018, e podem ser vistas na Tabela II.

TABELA II: Livros didáticos analisados. Fonte: Autoral. 

Para cada obra analisada, atribuímos uma nomenclatura: C, quando o conceito é apresentado no livro de maneira correta; I, quando o conceito é apresentado no livro de maneira incorreta; A, quando o conceito nao é apresentado no livro. Por fim, após a análise, construimos uma tabela para sintetizar os resultados obtidos (cf. Tabela III).

RESULTADOS E ANÁLISES

A pesquisa evidenciou que apesar dos esforgos do MEC e a constante reformulagao dos livros didáticos, os problemas conceituais apontados por Ostermann & Ricci (2004) e Martins (1998, 2012) ainda estao presentes nos livros. A Tabela 3, sintetiza as incongruencias encontradas em cada obra.

TABELA III: Ficha de análise e quantificagao. Fonte: Autoral. 

Nas próximas subsegoes discutiremos detalhadamente cada uma destas incongruencias.

O Conceito de Massa Relativística

Das obras analisadas, a dinámica relativística está ausente nas obras [C], [G] e [I]. Das que abordam esse tema, somente as [E], [J] e [L] discutem os conceitos de momento e energia relativísticos sem fazer uso do conceito (proble mático) de massa relativística. Convém observar que nenhuma destas obras discute o momento relativístico, porém dado o nível introdutório do assunto, nao consideramos como um demérito.

Quanto a abordagem, a obra [J] e [L] apresentam de forma sucinta as expressoes matemáticas da energia "total" e cinética relativísticas, porém somente a obra [L] discute que a medida que a velocidade tende a velocidade da luz no vácuo, a energia tenderá ao infinito (devido ao fator de Lorentz). Na obra [E], o autor faz uma longa discussao sobre a energia relativística, com base no trabalho de 1906 de Einstein e após deduzir a relagao massa-energia, ele apresenta a forma relativística da energia cinética e da energia "total" O autor nao discute o que aconteceria se a velocidade do corpo fosse igual a velocidade da luz, mas esse fenómeno pode ser facilmente inferido pelo professor a partir da equagao da energia relativística. Já as obras [A], [D], [F] E [H] trazem uma segao intitulada massa relativística, incor- rendo nas incongruencias discutidas anteriormente. Destas obras, destacamos que a obra [A] [F] e [H] enfatizam que o aumento da massa nao significa um aumento da quantidade de matéria, apenas da inércia. As obras [B] e [K], embora nao empreguem o nome massa relativística, porém comentem as mesmas incongruencias discutidas anteriormente. A obra [B] também enfatiza que "o aumento na inércia (aumento de massa) de uma partícula em virtude se sua velo cidade nao significa aumento da quantidade de matéria" (Guimaraes, Piqueira, Carron, 2016, p. 199).

Concepgóes Equivocadas sobre a Relagao Massa-Energia

Dos doze livros analisados, somente a obra [G] nao aborda a relagao massa-energia. Porém, todos os 11 livros come- tem uma ou mais incongruencias envolvendo essa equagao, discutidas na segao 2.3. Primeiro, convém observar que nenhuma destas obras discutem a existencia de uma massa dinámica associada a luz, elas se limitam em afirmar que a massa de repouso da luz é nula.

Sobre a afirmagao de que a relagao massa-energia estabelece uma relagao de equivalencia (segunda incongruencia) entre essas duas grandezas, elas aparecem de forma explícita nas obras [A], [C], [D], [E], [F], [I], [J] e [L]. Nas obras [A], [C], [D], [F] e [I], o termo equivaléncia é empregado sem comentários adicionais. Na obra [J] o autor emprega o raciocínio de uma equivalencia, como a de caloria e energia ou entre as temperaturas de diferentes escalas termomé- tricas:

10⁷kWh (considerando 1 kWh = 3,6^10⁶ J). Supondo que uma residéncia consuma, em média, 500 kWh de energia por més, isso quer dizer que 1 g de massa poderia abastecer essa casa por 50000 meses ou aproximada mente 4166 anos (isso, claro, numa situagao hipotética na qual tivéssemos um aproveitamento de 100 % nas reagoes en volvidas). Sabendo desse potencial, o processo de conversao de massa em energia é utilizado nos reatores das usinas atómicas. A maioria dos físicos de partículas, entretanto, utiliza outra unidade em vez do joule, o chamado elétron-volt (eV), sendo sua relagao igual a: 1 eV = 1,6^10^-19J. (^{Barreto Filho, Silva, 2016}, p. 214, Destaque Nossos).

Uma discussao semelhante, mas mais sucinta também aparece na obra [L]

Einstein chegou a equagao E₀ = mc² relacionando a massa de um objeto com uma nova forma de energía, a energía de repouso, que engloba todas as formas de energia contidas no objeto, e descobriu serem equivalentes os conceitos de energia e massa. Assim, 1 kg = (3,0^10⁸)² J = 0,9^10¹⁷ J. (Alvarenga, Máximo, Guimaraes, 2017, p. 249)

E também na obra [E]:

Em outras palavras, massa e energia sao duas manifestagoes distintas na mesma realidade física, e o valor c² pode ser entendido apenas como um fator de transformagao entre essas grandezas. Assim, adotando dois algarismos significativos, as relagoes entre a unidade de massa, 1,0 kg e a de energia, 1,0 J, sendo c = 3,0^10⁸ m/s, sao: 1,0 kg = 9,0^10¹⁶ J e 1,0 J = 1,1^10¹⁷ kg. Como a massa expressa em joules ou a energia em quilogramas resultam em valores numéricos em geral pouco convenientes, costuma-se utilizar o elétron-volt (eV) e seus múltiplos como unidade prática de massa e energia, entendidas como uma só grandeza - massa-energia. (Gaspar, 2017, p. 225-226)

Veja que o autor comete o equívoco conceitual de afirmar que a relatividade funde massa e energia (e, por conse- guinte as suas leis de conservado) em uma única entidade que ele chama de massa-energia. O que a relatividade introduz, no estudo de sistemas extensos e continuos, é um tensor momento-energia, uma vez que o conceito de massa maupertuisiana mostra-se inadequado no estudo desses sistemas (Martins, 2012).

Quanto a terceira incongruencia, aquela que afirma que massa pode ser convertida (ou transformada) em energia, ela aparece nas obras [A], [B], [D], [E], [H], [I], [J], [K] e [L]. Abaixo apresentamos os trechos onde os autores falam de transformagao de massa em energia:

: "Todas as reagoes que liberam energia, inclusive as reagoes químicas exotérmicas, fazem-no devido a uma

perda de massa, que se transforma em energia". (Biscoula, Boas, Doca, 2016, p. 273).

: "Essa expressao representa a famosa equagao de Einstein que relaciona as transformagoes entre matéria e

energia. É usada para o cálculo de transformagao de massa em energia, ou vice-versa." (p. 199).

: "O quadrado da velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo (c2) corresponde ao fator de conversao da

massa em energia e vice-versa" (^{Bonjorno et al., 2016}, p. 220). E, mais a frente, os autores escrevem: "Essa

fórmula trata da interconversao de massa e energia" (p. 221).

: Embora a palavra transformagao de massa em energia nao seja discutida no corpo do texto, ela aparece no

exercício 5, cujo enunciado é: "qual massa de um corpo que, se fosse transformada em energia elétrica, pode-

ria fornecer energia durante 10 anos a uma casa que consome 300 kWh por mes?" (p. 226).

: "O processo de conversao de massa em energia é utilizado nos reatores das usinas atómicas. [...] Sabendo

desse potencial, o processo de conversao de massa em energia é utilizado em reatores nucleares" (p. 214).

: "Nesse processo, os 4 milhoes de toneladas de hidrogénio que nao viram hélio sao convertidos em energia."

(p. 241).

: "Com a teoria da relatividade especial, Einstein mostrou que a massa pode ser considerada uma 'forma espe

cial' de energia. Massa pode ser convertida em energia e energia pode ser convertida em massa" (p. 200).

: "Em outro artigo, também publicado em 1905, Einstein provou a equivalencia entre massa e energia, formulando sua famosa equagao: E = m c2. Essa equagao simples implica que a massa pode ser convertida em ener-

gia, e vice-versa." (p. 256).

: "Existem reagoes em que uma quantidade de matéria pode desaparecer, surgindo energia em seu lugar. Exis-

tem também reagoes que criam matéria, caso tenhamos um suprimento adequado de energia" (p. 249).

Observe que as obras [B] e [L] apresentam um agravante: elas tratam massa como sinónimo de matéria, uma vez que inferem, a partir da relagao massa-energia, que matéria pode ser transformada em energia. Na obra [I], essa incongruencia fica subentendida quando os autores afirmam que o hidrogénio é convertido em energia.

Quanto a quarta incongruencia a interpretagao inadequada sobre o processo de aniquilagao entre o elétron e o pósitron, ou o processo inverso de criagao, ela só aparece superficialmente na obra [L].

É importante enfatizar que destas 11 obras, somente o livro E enfatiza ao leitor que a relagao massa-energia é apenas válida para sistemas isolados. Por outro lado, nenhum dos 11 livros alertam que a relagao massa e energia nao pode ser aplicada para algumas formas de energia, como a energia potencial elétrica. Os autores também chamam a energia relativística de energia total, o que é uma incongruencia conceitual, pois essa equagao nao leva em conside- ragao as energias de configuragao (potencial) do sistema.

CONSIDERALES FINAIS

A análise sobre como o conceito de massa e a relagao massa-energia é abordado nos tópicos de Teoría da Relatividade Especial nos livros didáticos aprovados no PNLD-2018, mostra que apesar dos alertas de Ostermann & Ricci (2004) e Martins (1998, 2012) sobre as incongruencias que devem ser evitadas, estas ainda ocorrem em algumas obras. Mais precisamente, o conceito (problemático) de massa relativística, muito difundido em livros técnicos internacionais (^{Os termann, Ricci}, 2004), apresenta uma adesao menor nos livros didáticos nacionais: tres livros optaram em nao discutir dinámica relativística e tres livros apresentam essa discussao sem recorrer a esse termo.

Já a relagao massa-energia, cujas incongruencias sao comuns tanto em livros técnicos, como apontam Ostermann & Ricci (2004) e Martins (2012), e livros de divulgagao científica, como denúncia Martins (1998, 2012), aparece em 11 das 12 obras analisadas. Os autores ainda defendem que essa relagao estabelece uma equivalencia, no sentido lato, entre massa e energia, e, inferem com base nessa equivalencia, que a massa pode se transformar em energia (ou vice versa). A obra de Gaspar (2017) estabelece o "principio de conservagao da massa-energia", o que é inadequado (cf. segao 2.3). Pelo menos duas obras (Guimaraes, Piqueira, Carron, 2016, Alvarenga, Máximo, Guimaraes, 2017), ainda tratam massa como sinónimo de matéria, e deduzem que matéria pode se transformar em energia. Esse tipo de argu mento afirma que uma equagao que relaciona duas grandezas físicas diferentes, como Energia e Massa, por meio de uma constante, como a velocidade da luz no vácuo ao quadrado, ontologicamente significa que essas grandezas sao equivalentes e/ou podem se transformar uma na outra. Isso leva a implicagoes absurdas, como afirmar que a relagao entre Energia e Frequencia, mediada pela constante de Planck, permite concluir que Energia é equivalente a Frequen- cia ou que energia pode se transformar em Frequencia ou, ainda, por meio da transitividade, de que Massa é equiva lente a Frequencia e uma pode se transformar na outra.

Acreditamos que essas incongruencias nao devem ser minimizadas e ignoradas por educadores da educagao básica e autores de livros didáticos, pois

Dado o caráter violador do senso comum intrínseco a Relatividade Restrita, tais tarefas sao inevitáveis ao professor. Omití- las, simplesmente, é transmitir erroneamente o conteúdo, reforjando nao somente as concepgoes espontáneas que o aluno evoca da simples leitura do texto, mas também todas aquelas advindas do uso e abuso de temas da Relatividade Restrita na literatura nao-científica, no cinema e na televisao, correndo o sério risco de transformar educagao científica em ficgao científica. (Ostermann, Ricci, 2002, p. 188)

Como expressamos na Introdugao, nao temos por intengao desmerecer os LD e seus autores, nem apresentar um veredito final sobre a qualidade desse material. Acreditamos que nao existe obra completa ou imune a erros, por isso é importante realizar uma leitura crítica, comparando com outras obras e com estudos correlatos na literatura acadé mica. Esse tipo de ceticismo moderado, caracterizado por uma atitude crítica e reflexiva, deve ser estimulado entre os educandos, principalmente em uma época que está sendo definida por discursos de pós- verdade e fake news.

AGRADECIMINTOS

O presente trabalho foi realizado com apoio da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS/MEC - Brasil.